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%création des ensembles de nombres
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\title[Présentation en Latex avec Beamer]{Cours de terminale S\\Probabilités : lois à densité}
\author{V. B. et S. B.}
\institute{Lycée des EK}
\date{}
%\date{\today}


\begin{document}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}


\section{Variables aléatoires continues}

\begin{frame}
Considérons une variable aléatoire susceptible de prendre n'importe quelle valeur réelle appartenant à un intervalle donné. Cet intervalle peut être $[0; 1]$ ou $\R$ par exemple. Une telle variable aléatoire est dite continue. \pause

La durée de vie d'une ampoule électrique est un exemple de variable aléatoire continue. Dans ce cas, les valeurs prises sont dans l'intervalle $[0;+\infty[$. \pause

L'ensemble des valeurs étant infini, la probabilité d'obtenir exactement une valeur particulière est nulle en général. On cherchera donc plutôt à déterminer des probabilités du type $P(X\in I)$, où $I$ est un intervalle, par exemple $P(a \leq X \leq b)$.

\end{frame}

\subsection{Densité d'une variable aléatoire continue}

\begin{frame}

\begin{block}{Définition}

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans un intervalle $[a;b]$. Si $X$ prend toutes les valeurs de $[a;b]$, on dit que $X$ est \alt<2->{\color<2>{blue}continue. }{\ldots \ldots \ldots }\pause \pause Dans ce cas, la densité de probabilité de la variable aléatoire $X$ est \alt<4->{\color<4>{blue}une fonction $f$ positive, continue sauf éventuellement en un nombre fini de points et telle que :
$$\int_{a}^{b}f(x)\text{d}x=1$$ }{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

$$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $$

~
      
} \pause

\end{block} \pause

\end{frame}

\begin{frame}

Le produit $f(x)\text{d}x$ joue, pour une variable aléatoire continue, le même rôle que la probabilité $P(x)$ pour une variable aléatoire discrète. La "somme des probabilités" est ici représentée par $\displaystyle{\int_{a}^{b}f(x)\text{d}x}$ et vaut 1.

\end{frame}

\begin{frame}

\textbf{Propriétés}

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans un intervalle $I=[a;b]$, de densité $f$ et $J$ un intervalle inclus dans $I$, par exemple $J=[u;v]$.\pause
 
 ~
 
$\bullet$ La probabilité de l'événement $\{X\in J\}$, est \alt<3->{\color<3>{blue}l'aire du domaine défini par $x\in J$ et $0\leq y\leq f(x)$.}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause

\begin{figure}[htbp]
\begin{minipage}{0.8\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.6\textwidth]{va_image1.pdf}
\end{center}
\end{minipage}
\end{figure}


\end{frame}

\begin{frame}

$\bullet$ Si $f$ est continue sur $[u;v]$, alors $P(u \leq X \leq v)=$ \alt<2->{\color<2>{blue}$\displaystyle{\int_{u}^{v}f(x)\text{d}x}=F(v) - F(u)$ où $F$ est une primitive de $f$. }{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
\ldots \ldots \ldots \ldots }\pause \pause En particulier, $P(X = u) = P(X=v)=$ \alt<4->{\color<4>{blue}$0$.}{\ldots }\pause \pause

~

$\bullet$ On peut remplacer des inégalités larges par des inégalités strictes : \alt<6->{\color<6>{blue}$P(u \leq X \leq v)=P(u < X \leq v)=P(u \leq X < v)=P(u < X < v)$.}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 
\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause

~

$\bullet$  L'événement $(X>u)$ est l'événement contraire de l'événement $(X\leq u)$, d'où : \alt<8->{\color<8>{blue}$P(X > u)=1-P( X \leq u)$.}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
\ldots \ldots \ldots }\pause \pause

~

$\bullet$ \quad  $P(u \leq X \leq v)=$\alt<10->{\color<10>{blue}$P(X \leq v)-P( X < u)$.}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause

\end{frame}

\begin{frame}
\textbf{Exemple}

Supposons qu'on choisisse au hasard un  point sur un segment de longueur 3. La probabilité que ce point se trouve dans un intervalle donné de ce segment est proportionnelle à l'amplitude de l'intervalle. Le choix d'un tel point est équivalent au choix d'un nombre quelconque dans l'intervalle $[0;3]$.
	
	Soit $f$ la fonction définie par : $f(x) =\cfrac{1}{3}$ \quad si $ 0 \leq x \leq 3$.
\end{frame}

\begin{frame}
	
	La fonction $f$ est continue, positive, sur $[0;3]$ et
	 $\displaystyle{\int_{0}^{3}f(x)\text{d}x=1}$. \pause
	 
	 ~
	 
	 $P(1\leq X \leq 2)=$\alt<3->{\color<3>{blue}$\displaystyle{\int_{1}^{2}f(x)\text{d}x}$}{\ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause \alt<5->{\color<5>{blue}$=1/3$}{$=\ldots$}\pause \pause
	 
	 
	 $P(X \leq 2)=$\alt<7->{\color<7>{blue}$\displaystyle{\int_{0}^{2}f(x)\text{d}x}$}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause \alt<9->{\color<9>{blue}$=2/3$}{$=\ldots$}\pause \pause
	 
	 $P( X < 1)=$\alt<11->{\color<11>{blue}$\displaystyle{\int_{0}^{1}f(x)\text{d}x}$}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause \alt<13->{\color<13>{blue}$=1/3$}{$=\ldots$}\pause \pause
	 
	  $P(X =1)=$\alt<15->{\color<15>{blue}$\displaystyle{\int_{1}^{1}f(x)\text{d}x}$}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause \alt<17->{\color<17>{blue}$=0$}{$=\ldots$}\pause \pause
	
	~
	
	On dit que la variable aléatoire qui a  pour densité de probabilité $f$, suit la loi uniforme sur $[0;3]$. 
	
\end{frame}

\subsection{Loi uniforme}

\begin{frame}

\begin{block}{Définition}
Une variable aléatoire  suit une loi uniforme sur $[a;b]$ si sa densité de probabilité $f$ est définie par \alt<2->{\color<2>{blue}$$f(x) =\cfrac{1}{b-a} \qquad \text{pour} \quad  a \leq x \leq b$$}
{$$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $$

~}\pause \pause

\end{block}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{block}{Propriété}
$$P(u\leq X\leq v)=\alt<2->{\color<2>{blue}\displaystyle{\int_{u}^{v}\frac{1}{b-a}\text{d}x}=\frac{v-u}{b-a}}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots =\ldots \ldots \ldots}$$ \pause \pause
\end{block}

 \begin{figure}[htbp]
\begin{minipage}{0.8\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.6\textwidth]{va_image2.pdf}
\end{center}
\end{minipage}
\end{figure}
\pause
Cette probabilité est proportionnelle à la longueur du segment $[u;v]$.

La loi uniforme correspond en probabilités discrètes à un tirage équiprobable dans un ensemble fini.

\end{frame}

\begin{frame}
\textbf{Espérance}

Pour une variable aléatoire discrète l'espérance est la somme des produits $x_{i}P(X=x_{i})$. Pour une variable aléatoire continue à valeur dans $[a;b]$, nous définissons de manière analogue l'espérance par :
	\alt<2->{\color<2>{blue}$$E(X)=\int_{a}^{b}xf(x)\text{d}x$$}{$$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $$
	
	~}\pause \pause
	
	Les propriétés de l'espérance dans le cadre des variables aléatoires discrètes sont conservées ici.	
	
	~
	
	Dans l'exemple 1.1.3, on a $\displaystyle{E(X)=\int_{0}^{3}xf(x)\text{d}x =}$\alt<4->{\color<4>{blue}$\displaystyle{\int_{0}^{3}\frac{x}{3}\text{d}x= \frac{3}{2}}$.}{\ldots \ldots \ldots = \ldots}\pause \pause 
	
	Ceci correspond au point milieu de l'intervalle $[0;3]$.
	
\end{frame}

\begin{frame}

Dans le cas général d'une loi uniforme, si $g(x)=xf(x)=\cfrac{x}{b-a}$\, alors une primitive $G$ de $g$ est définie par $G(x)=$\alt<2->{\color<2>{blue}$\cfrac{x^2}{2(b-a)}$\, , }{\ldots \ldots \ldots}\pause \pause d'où :

	$$E(X)=\displaystyle{\int_{a}^{b}\frac{x}{b-a}\text{d}x}=\alt<4->{\color<4>{blue}G(b)-G(a)=}{\ldots \ldots \ldots}\pause \pause \alt<6->{\color<6>{blue}\frac{b^2}{2(b-a)}-\frac{a^2}{2(b-a)}}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}$$\pause \pause $$=\alt<8->{\color<8>{blue}\frac{b^2-a^2}{2(b-a)}=}{\ldots \ldots \ldots}\pause \pause \alt<10->{\color<10>{blue}\frac{a+b}{2}}{\ldots \ldots }\pause \pause $$
	
	~
	
	On obtient le milieu de $[a;b]$.
	
	\end{frame}
	
\subsection {Lois exponentielles}

\begin{frame}

\begin{block}{Définition}
Soit $\lambda$ un réel strictement positif.

Une variable aléatoire $T$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ si sa densité de probabilité $f$ est définie par :
\alt<2->{\color<2>{blue}$$f(x)=\lambda \text{e}^{-\lambda x} \qquad \text{pour tout} \quad x\geq 0$$}{$$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$$

~} \pause \pause 

\end{block}

Cette densité est la densité du temps de désintégration d'un atome radioactif et cette loi de probabilité intervient souvent dans les durées de fonctionnement d'un composant électronique.

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{figure}[htbp]
\begin{minipage}{0.9\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{va_image3.pdf}
\end{center}
\caption{Densité de la loi exponentielle de paramètre $\lambda=1,5$ avec $P(a\leq X\leq b)$.}
\end{minipage}
\end{figure}

\end{frame}

\begin{frame}

\textbf{Calculs}

Une primitive de $f$ est la fonction $F$ définie sur $[0;+\infty[$ par : $F(x)=$\alt<2->{\color<2>{blue}$-\text{e}^{-\lambda x}$.}{\ldots \ldots \ldots}\pause \pause

Si $a$ et $b$ sont deux réels tels que $0\leq a \leq b$, alors :
$$P(T\leq b)=\int_0^b\lambda \text{e}^{-\lambda x}\text{d}x=\alt<4->{\color<4>{blue}F(b)-F(0)=-\text{e}^{-\lambda b}-(-\text{e}^0)=1-\text{e}^{-\lambda b}}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}$$\pause \pause

Puisque $P(T\leq a)=P(T<a)$, on peut alors déduire :

$P(a\leq T\leq b)= $\alt<6->{\color<6>{blue}$ P(T\leq b)-P(T\leq a)=1-\text{e}^{-\lambda b}-1+\text{e}^{-\lambda a}=\text{e}^{-\lambda a}-\text{e}^{-\lambda b}$}{$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $ 

\ldots \ldots \ldots \ldots} \pause \pause 

~

et aussi :
$$P(T> a)=\alt<8->{\color<8>{blue}1-P(T\leq a)=1-(1-\text{e}^{-\lambda a})=\text{e}^{-\lambda a}}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}$$\pause \pause

\end{frame}

\begin{frame}

La loi exponentielle est "sans mémoire", $T$ vérifie la propriété de durée de vie sans vieillissement :

$$P_{(T \geq t)}(T \geq t+h)=\frac{P(T \geq t+h)}{P(T \geq t)}=\alt<2->{\color<2>{blue}\frac{\text{e}^{-\lambda (t+h)}}{\text{e}^{-\lambda t}}=\text{e}^{-\lambda h}=P(T \geq h)}{ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}$$ \pause \pause

\end{frame}

\begin{frame}


$T$ prend ses valeurs dans $[0;+\infty[$. Nous allons étendre la définition de l'espérance mathématique en posant :
$$E(T)=\lim_{b\rightarrow +\infty}\int_0^b xf(x) \text{d}x$$
avec ici $f(x)=\lambda \text{e}^{-\lambda x}$.

\begin{block}{Propriété}

Si $T$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ alors : \alt<2->{\color<2>{blue}$$E(T)=\frac{1}{\lambda}$$}{$$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $$

~}\pause \pause

\end{block}


\end{frame}


\begin{frame}

\begin{exampleblock}{Démonstration}

On cherche une primitive $G$ de la fonction $g$ définie par $g(x) =xf(x)$.

On connait la dérivée d'un produit : $(uv)'=\alt<2->{\color<2>{blue}u'v+uv'}{\ldots \ldots \ldots}$, \pause
\pause soit $uv'=\alt<4->{\color<4>{blue}(uv)'-u'v}{\ldots \ldots \ldots \ldots}$. \pause \pause

Donc une primitive de $uv'$ est la fonction $uv$ à laquelle on retranche une primitive de $u'v$. \pause

Si on pose $u(x)=x$ et $v'(x)=\lambda \text{e}^{-\lambda x}$, on obtient $v(x)=\alt<7->{\color<7>{blue}-\text{e}^{-\lambda x}}{\ldots \ldots \ldots}$; \pause \pause

$u'(x)v(x)=\alt<9->{\color<9>{blue}-\text{e}^{-\lambda x}}{\ldots \ldots \ldots }$, \pause \pause et une primitive $H$ de $u'v$ est définie par $H(x)=\alt<11->{\color<11>{blue}\frac{1}{\lambda}\text{e}^{-\lambda x}}{\ldots \ldots \ldots}$. \pause \pause

Finalement,  $G$ est définie par $G(x)= \alt<13->{\color<13>{blue}-x\text{e}^{-\lambda x}-\frac{1}{\lambda}\text{e}^{-\lambda x}}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}$.\pause \pause

\end{exampleblock}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{exampleblock}{suite de la démonstration}
On calcule maintenant l'intégrale : $$\int_0^b xf(x) \text{d}x=\alt<2->{\color<2>{blue}G(b)-G(0)}{ \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause=\alt<4->{\color<4>{blue}-b\text{e}^{-\lambda b}-\frac{1}{\lambda}\text{e}^{-\lambda b}+\frac{1}{\lambda}}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}$$\pause \pause
$$ =\alt<6->{\color<6>{blue}\frac{1}{\lambda}\left(-\lambda b\text{e}^{-\lambda b}-\text{e}^{-\lambda b}+1\right)}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}$$\pause \pause

$\displaystyle{\lim_{b\rightarrow +\infty}\text{e}^{-\lambda b}}$\alt<8->{\color<8>{blue}$= 0$}{$= \ldots$}; \pause \pause
$\displaystyle{\lim_{X\rightarrow -\infty}X\text{e}^X}$\alt<10->{\color<10>{blue}$= 0$}{$= \ldots$} \pause \pause d'où, par composition :
$\displaystyle{\lim_{b\rightarrow +\infty}\lambda b\text{e}^{-\lambda b}}$\alt<12->{\color<12>{blue}$= 0$.}{$= \ldots$} \pause \pause

En conclusion $$E(T)=\lim_{b\rightarrow +\infty}\int_0^b xf(x) \text{d}x=\alt<14->{\color<14>{blue}\frac{1}{\lambda}}{\ldots}$$
\pause \pause

\end{exampleblock}

\end{frame}

\section{Loi normale centrée réduite}

\subsection{Définition}

\begin{frame}

\begin{block}{Définition}

Une variable aléatoire continue $X$ suit la loi normale centrée réduite  si sa densité de probabilité $f$ est définie sur $\R$  par  \alt<2->{\color<2>{blue}$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\text{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}$$}{$$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $$

~}\pause   

\end{block} 
\pause

On écrit :  $X$ suit la loi normale $\mathcal{N} (0;1 )$.\pause 

~

En calculant la dérivée, $\displaystyle{f'(x)=\frac{-x}{ \sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{x^{2}}{2}}}$, on constate que cette dérivée s'annule en $x=0$, qu'elle est du signe de $-x$, et que $f$ admet un maximum, en $x=0$, égal à $\cfrac{1}{ \sqrt{2\pi}}$ .

\end{frame}

\begin{frame}

De plus $f(-x)=f(x)$, la fonction $f$ est \alt<2->{\color<2>{blue}paire}{\ldots \ldots }\pause \pause, et sa courbe représentative est \alt<4->{\color<4>{blue}symétrique }{\ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause par rapport à l'axe des ordonnées.

~

C'est une courbe en forme de "cloche" dont l'aire sous la courbe est égale à 1.
    
\end{frame}

\begin{frame}

\begin{figure}[htbp]
\begin{minipage}{0.9\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{va_image4.pdf}
\end{center}
\caption{Densité de la loi normale centrée réduite}
\end{minipage}
\end{figure}

\end{frame}

\begin{frame}

\textbf{Remarque} : le nom "loi normale" a été donné par Henri Poincaré (fin du XIXème siècle); l'adjectif "normale" s'explique par le fait que cette loi décrit et modélise des situations aléatoires concrètes et naturelles. Prenons par exemple une 
population de 1000 personnes dont la taille moyenne est 170 cm. En traçant l'histogramme des tailles, 
on obtient une courbe en cloche et la population se concentre essentiellement autour de la moyenne. Ce résultat est lié au théorème qui suit.

\end{frame}

\subsection{Théorème de Moivre-Laplace}

\begin{frame}

Ce théorème est admis; il a été démontré par De Moivre dans le cas $p=0,5$, puis par Laplace pour $p$ quelconque.
\begin{block}{Théorème}
Soit $p\in]0;1[$; si la variable aléatoire $X_n$ suit une loi binomiale de paramètre $n$ et $p$ pour tout entier naturel $n$ non nul, et si $Z_n$ est la variable aléatoire  définie par $Z_n=\cfrac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}$\, , alors, pour tous réels $a$ et $b$, la probabilité $P(Z_n\in[a;b])$ tend vers $\displaystyle{\int_a^b\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\text{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}\text{d}x}$\, lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
\end{block}
\textbf{Remarque}

$np$ est l'espérance de $X_n$ et $np(1-p)$ est la variance de $X_n$.

\end{frame}

\subsection{Propriétés et calculs}

\begin{frame}

En utilisant la symétrie de la courbe de densité, on obtient : \alt<2->{\color<2>{blue}$P(X\leq 0)=P(X\geq 0)=0,5$}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause 

et \alt<4->{\color<4>{blue}$P(X\leq -a)=P(X\geq a)=1-P(X\leq a)$. }{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause 

~

$P(X\in [a;b])$ est représenté sur la figure.

\begin{figure}[htbp]
\begin{minipage}{0.9\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{va_image5.pdf}
\end{center}
\caption{$P(a\leq X \leq b)$ est l'aire de la partie colorée}
\end{minipage}
\end{figure}

\end{frame}

\begin{frame}

Cette probabilité est donnée avec une calculatrice Casio par "\textbf{NormCD(a,b)}" (Touche OPTN, choisir STAT, puis DIST, puis NORM et Ncd)
et sur Texas par "\textbf{normalFRép(a,b)}", ( Menu \textbf{distrib}, choisir normalFRép).

~

\textbf{Attention} : les calculatrices ne nous donnent pas les probabilités $P(X \leq a)$.

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{exampleblock}{Méthodes de calcul :} \pause

si  $a>0$, on écrit : 

 $P(X\leq a)=$\alt<3->{\color<3>{blue}$P(X\leq 0)+P(0\leq X \leq a) =0,5+P(0\leq X \leq a)$}{$ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $
}\pause \pause

~

 $P(X\geq a)=$\alt<5->{\color<5>{blue}$1-P(X\leq a)=1-(0,5+P(0\leq X \leq a))$
 
 $\qquad \qquad =0,5-P(0\leq X \leq a)$}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 
 
 \qquad \qquad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause
  
  ~
  
 si  $a<0$, on écrit : \pause
 
 $P(X\geq a)=$\alt<8->{\color<8>{blue}$P(a\leq X\leq 0)+P(X\geq 0)= P(a\leq X\leq 0)+0,5$}{$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$}\pause \pause

~

 $P(X\leq a)=$\alt<10->{\color<10>{blue}$1-P(X\geq a)=1-(P(a\leq X\leq 0)+0,5)$
 
 $\qquad \qquad =0,5-P(a\leq X \leq 0)$}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
 
 \qquad \qquad\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots} \pause \pause
 \end{exampleblock}
 
~

Il est conseillé de faire un dessin.

 \end{frame}
 
 \begin{frame}
 
Pour la suite, on note $\Phi(t) = P(X \leq t)$  pour tout $t$ réel, (voir figure). Les résultats précédents se traduisent par $\phi(0)=0,5$ et $\Phi(-a) =1-\Phi(a) $.

~

\begin{figure}[htbp]
\begin{minipage}{0.9\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{va_image6.pdf}
\end{center}
\caption{Loi normale: $\Phi(0,6)$ est l'aire de la partie colorée}
\end{minipage}
\end{figure}

 \end{frame}
 
  \begin{frame}
 
 Donc si $a>0$ \, et si $b>0$ \, alors  $$P(-a \leq X \leq a) =\Phi(a)-\Phi(-a)=\Phi(a)-(1-\Phi(a))= 2\Phi (a) -1$$ et $$P(-b \leq X \leq a) =\Phi(a)-\Phi(-b)=\Phi(a)-(1-\Phi(b))= \Phi (a)+\Phi (b) -1$$
 
  \end{frame}
  
   \begin{frame}
  
  \textbf{Valeurs remarquables}
  
\begin{block}{Théorème}
\alt<2->{\color<2>{blue}Pour tout réel $\alpha\in]0;1[$, il existe un unique réel positif  $u_{\alpha}$ tel que $P(-u_{\alpha} \leq X \leq u_{\alpha}) =1-\alpha$.}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause 
\end{block}

\begin{exampleblock}{Démonstration}

$P(-u_{\alpha} \leq X \leq u_{\alpha}) =2\Phi (u_{\alpha}) -1$. \pause Donc $P(-u_{\alpha} \leq X \leq u_{\alpha}) =1-\alpha$ est équivalent à \pause $2\Phi (u_{\alpha}) -1=1-\alpha$, \pause soit $\Phi (u_{\alpha})=1-\frac{\alpha}{2}=c$ \, avec $c\in]0,5;1[$. 
\end{exampleblock}
 \end{frame}
 
   \begin{frame}
 \begin{exampleblock}{suite démonstration}
 Or, pour $t\geq 0$, $\Phi(t) = P(X \leq t)=0,5+\displaystyle{\int_0^t f(x)\text{d}x}$. \pause 
 
 Donc $\Phi'(t)=f(t)$ et $\Phi$ est la primitive de $f$ qui prend la valeur 0,5 en 0. \pause
 
 $\Phi$ est donc continue, strictement croissante sur $[0;+\infty[$, avec $\displaystyle{\lim_{t \rightarrow +\infty}\Phi(t)=1}$. \pause D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe, pour tout réel $c\in]0,5;1[$, un réel unique $k$ positif tel que $\Phi(k)=c$. On note ce réel $u_{\alpha}$.
 \end{exampleblock}
 
 \end{frame}
 
   \begin{frame}
   
 Tableau de variation de $\Phi$ :

~

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\begin{minipage}{0.8\textwidth}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
$\begin{array}{|c|lcr|}
\hline
t &  0 ~ \qquad  & & ~ \qquad +\infty \\
\hline 
\Phi'(t)=f(t) & & ~ ~ & \\
\hline
\Phi(t) &    & &  \\ 
\hline
\end{array}$
\end{minipage}
\end{center}
\end{figure}
\begin{figure}[htbp]
\begin{pgfpicture}{0cm}{-5cm}{4cm}{-7cm}
\begin{pgfscope} 
\pgfsetlinewidth{1pt} 
\pgfnodebox{Node1}[virtual]{\pgfxy(1.9,-3.0)}{$+$}{2pt}{2pt}
\pgfnodebox{Node2}[virtual]{\pgfxy(0.4,-3.9)}{$0,5$}{2pt}{2pt}
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\pgfsetendarrow{\pgfarrowto}
\pgfnodeconnline{Node2}{Node3}
\end{pgfscope} 
\end{pgfpicture}
\end{figure}

 \end{frame}
 
 \begin{frame}
 
 On obtient le nombre $u_{\alpha}$ avec une calculatrice Casio, par "\textbf{InvNormCD(c)}" (Touche OPTN, choisir STAT, puis DIST, puis NORM et InvN),
ou Texas, par "\textbf{FracNormale(c)}", ( Menu \textbf{distrib}, choisir FracNormale). \pause

Par exemple, pour obtenir $u_{0,05}$, nous devons résoudre l'équation $\Phi(u_{0,05})=1-\frac{0,05}{2}$, soit $\Phi(u_{0,05})=0,975$. \pause 

Une calculatrice nous donne $u_{0,05}\simeq 1,96$, autrement dit : \alt<4->{\color<4>{blue}$P(-1,96 \leq X \leq 1,96) \simeq 0,95$;}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause

On obtient de même : $u_{0,01}\simeq 2,58$ , autrement dit : \alt<6->{\color<6>{blue}$P(-2,58 \leq X \leq 2,58) \simeq 0,99$.}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
}\pause \pause

Ces valeurs sont à retenir.
 
 ~
 
\textbf{Remarque :} une calculatrice nous donne en fait l'unique nombre réel $k$ tel que $P(X<k)=c$ où $c\in]0;1[$. 

 \end{frame}
 
 \subsection{Espérance mathématique}
 
 \begin{frame}
 
 On pose $$E(X)=\lim_{a\rightarrow -\infty}\int_a^0 xf(x) \text{d}x + \lim_{b\rightarrow +\infty}\int_0^b xf(x) \text{d}x$$

On démontre (exercice) que $E(X)=0$.

On admet que la variance $V(X)$, définie par $V(X)=E\left((X-E(X))^2\right)$, vaut 1.

~

Ceci justifie les adjectifs "centrée" et "réduite" : une variable aléatoire est dite centrée et réduite si son espérance est nulle et si son écart type vaut 1.

 \end{frame}

\section{Lois normales}

\subsection{Définition}
  
\begin{frame}

\begin{block}{Définition}
\alt<2->{\color<2>{blue}Une variable aléatoire continue $X$, d'espérance mathématique $m$ et d'écart type $\sigma$  ($\sigma  > 0$) suit la \textbf{loi normale} $\mathcal{N} (m ;\sigma^2 )$ de paramètres $m$ et $\sigma$ si et seulement	si la variable aléatoire $T = \cfrac{X-m}{\sigma} $ suit la loi normale $\mathcal{N} (0 ; 1)$, c'est-à-dire la \textbf{loi normale centrée réduite}.}{~

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 

\ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
 
 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
 
  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
 }\pause \pause
\end{block}

~

\textbf{Remarque} : on dit aussi loi gaussienne, loi de Gauss ou loi de Laplace, \ldots 

\end{frame}

\begin{frame}

La densité de probabilité $f$ de $X$, définie sur $\R$, a une courbe représentative en forme de "cloche" qui admet la droite d'équation $x=m$ comme axe de symétrie. Elle est représentée ci-dessous, à gauche avec $m=-1$ \, et \, $\sigma=1$, à droite avec $m=1,4$ \, et \, $\sigma=0,3$.

~

\begin{figure}[htbp]
\begin{minipage}{0.9\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.6\textwidth]{va_image7.pdf}
\end{center}
\caption{Densités de lois normales : à gauche $\mathcal{N} (-1 ; 1 )$ et à droite $\mathcal{N} (1,4 ; 0,09  )$}
\end{minipage}
\end{figure}

\end{frame}

\subsection{Calcul de probabilités}

\begin{frame}

 La probabilité $P(X\in [a;b])$ est donnée par une calculatrice.

Casio : "\textbf{NormCD(a,b,$\sigma$, m)}" (Touche OPTN, choisir STAT, puis DIST, puis NORM et Ncd)

Texas : "\textbf{normalFRép(a,b,m,$\sigma$)}", ( Menu \textbf{distrib}, choisir normalFRép). \pause

On utilise la symétrie de la courbe densité par rapport à la droite d'équation $x=m$ et les mêmes méthodes que pour la loi normale centrée réduite. 

En particulier :  $P(X\leq m)= $\alt<3->{\color<3>{blue}$ P(X\geq m) $}{\ldots \ldots}\pause \pause \alt<5->{\color<5>{blue}$ =0,5$.}{$ =\ldots$}\pause \pause 

~

\textbf{Attention} : les calculatrices ne nous donnent les probabilités $P(X \leq a)$.

\end{frame}
 
\begin{frame}

\begin{exampleblock}{Méthodes de calcul}\pause

si  $a>m$, on écrit : 
 $P(X\leq a)=$\alt<3->{\color<3>{blue}$P(X\leq m)+P(m\leq X \leq a)=0,5+P(m\leq X \leq a)$}{$ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $
}\pause \pause

~

 $P(X\geq a)=$\alt<5->{\color<5>{blue}$1-P(X\leq a)=1-(0,5+P(m\leq X \leq a))$
 
 $\qquad \qquad =0,5-P(m\leq X \leq a)$}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 
 
 \qquad \qquad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause

~

si  $a<m$, on écrit : \pause

$P(X\geq a)=$\alt<8->{\color<8>{blue}$P(a\leq X\leq m)+P(X\geq m)=P(a\leq X\leq m)+0,5$}{$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$}\pause \pause

~

 $P(X\leq a)=$\alt<10->{\color<10>{blue}$1-P(X\geq a)=1-(P(a\leq X\leq m)+0,5)$
 
 $\qquad \qquad =0,5-P(a\leq X \leq m)$}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
 
 \qquad \qquad\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots} \pause \pause

\end{exampleblock}

Il est conseillé de faire un dessin.

\end{frame}

\begin{frame}

\textbf{Remarque :} 

si $X$ suit la loi normale $\mathcal{N} (m ;\sigma^2  )$ et si $a$ est un réel quelconque, en posant $T = \cfrac{X-m}{\sigma} $,  on obtient $P(X \leq a) = P\left(T \leq \cfrac{a-m}{\sigma}\right)= \Phi \left( \cfrac{a-m}{\sigma}\right)$ 

et $P(m-a\leq X \leq m+a) =P\left(-\cfrac{a}{\sigma}\leq T \leq \cfrac{a}{\sigma}\right)=2\Phi\left(\cfrac{a}{\sigma}\right)-1$

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{block}{Cas particuliers}

 (résultats obtenus avec la calculatrice) : 
\alt<2->{\color<2>{blue}$$P(X\in [m-\sigma;m+\sigma])=P(-1\leq T \leq 1)$$
$$\quad \text {soit} \quad P(X\in [m-\sigma;m+\sigma])\simeq 0,683$$}{$$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$$
$$ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$$ }\pause \pause 
\alt<4->{\color<4>{blue}$$P(X\in [m-2\sigma;m+2\sigma])=P(-2\leq T \leq 2)$$ 
$$\quad \text {soit} \quad P(X\in [m-2\sigma;m+2\sigma])\simeq 0,954$$}{$$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$$
$$ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$$ }\pause \pause
\alt<6->{\color<6>{blue}$$P(X\in [m-3\sigma;m+3\sigma])=P(-3\leq T \leq 3)$$ 
$$\quad \text {soit} \quad P(X\in [m-3\sigma;m+3\sigma])\simeq 0,997$$}{$$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $$
$$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$$ }\pause \pause
\end{block}

\end{frame}

\begin{frame}

\textbf{Equations}

Comme pour la loi normale centrée réduite, une calculatrice permet de déterminer l'unique nombre réel $k$  tel que $P(X<k)=c$ où $c\in]0;1[$. Avec une Casio, par "\textbf{InvNormCD($c$, $\sigma$, $m$)}",
ou avec une Texas, par "\textbf{FracNormale($c$, $m$, $\sigma$)}".

\end{frame}

 \end{document}    
