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%création des ensembles de nombres
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%macro coefficient binomial
\newcommand{\cobin}[2]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \end{pmatrix}}


\begin{document}

\begin{center} \Large \textbf{\fbox{\begin{minipage}{0.6\textwidth}
  \begin{center} Exercices: suites\\
  arithmétiques et géométriques\end{center} 
\end{minipage}}} 
  \end{center}
	
 \vspace{10ex}

\begin {description}

\item [Exercice 1]

~

On considère la suite $(u_n)$ définie par : $u_n=5-2n$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_0$, $u_1$ et $u_2$.
\item Démontrer que $(u_n)$ est une suite arithmétique dont on précisera la raison.
\item Que vaut $u_{100}$ ? Calculer la somme $S=u_0+u_1+ \ldots +u_{100}$.
\end{enumerate}

~

\item [Exercice 2]

~

On considère la suite $(u_n)$ définie par : $u_n=(n+1)^2-n^2$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_0$, $u_1$ et $u_2$.
\item La suite $(u_n)$ est-elle arithmétique ? Si oui, préciser sa  raison.
\item Que vaut $u_{99}$ ? Calculer la somme $S=1+3++5+7+ \ldots +195+197+199$.
\end{enumerate}

~

\item [Exercice 3]

~

On considère la suite $(u_n)$ définie par : $u_{n+1}=u_n+\frac{1}{2}$ et $u_0=0$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
\item Justifier que $(u_n)$ est une suite arithmétique dont on précisera la raison.
\item Que vaut $u_{100}$ ?
\end{enumerate}

~

\item [Exercice 4]

~

La suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r=8$. On sait que $u_{100}=650$. Que vaut $u_0$ ?


~

\item [Exercice 5]

~

Calculer la somme suivante : $S=1+2+3+ \ldots +998+999$.

~

\item [Exercice 6]

~

La suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$. On sait que $u_{50}=406$ et $u_{100}=806$.
\begin{enumerate}
\item Calculer la raison $r$ et $u_0$.
\item Calculer la somme $S=u_{50}+u_{51}+ \ldots +u_{100}$.
\end{enumerate}

~

\item [Exercice 7]

~

Calculer les sommes suivantes : $S_1=1+2+3+ \ldots +2017+2018$ et $S_2=2019+2020+ \ldots +9998+9999$.

~

\item [Exercice 8]

~

Comparer les nombres suivants : $A=2017(1+2+3+ \ldots +2017+2018)$ et $B=2019(1+2+3+ \ldots +2016+2017)$.

~

\item [Exercice 9]

~

On considère une suite géométrique $(u_n)$ de premier terme $u_1=1$ et de raison $q=-2$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_2$, $u_3$ et $u_4$.
\item Calculer $u_{20}$.
\item Calculer la somme $S=u_{1}+u_{2}+ \ldots +u_{20}$.
\end{enumerate}

~

\item [Exercice 10]

~

Déterminer un nombre $x$ tel que les trois nombres 25, $x$ et 16 soient trois termes consécutifs d'une suite géométrique de raison négative.

~

\item [Exercice 11]

~

Calculer le somme $S=1+3+9+27+81+ \ldots + 59049$.

~

\item [Exercice 12]

~

On considère la suite numérique $(u_n)$ définie par $u_0=1$  et, pour tout $n$,
 $u_{n+1}=\frac{1}{3}u_n+n-1$. On pose, pour tout $n$,  $v_n=4u_n-6n+15$.
\begin{enumerate}
\item	 Montrer que $(v_n)$  est une suite géométrique.

\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$; en déduire que, pour tout $n$: $u_n=\frac{19}{4}\times \frac{1}{3^n}+\frac{6n-15}{4}$ \, .

\item Montrer que $u_n$  peut s'écrire $u_n=t_n+w_n$  où $(t_n)$  est une suite géométrique et $(w_n)$  une suite arithmétique dont on précisera pour chacune le premier terme et la raison.
\item Exprimer $T_n=t_0+t_1+ \ldots +t_n$ et $W_n=w_0+w_1+ \ldots +w_n$ en fonction de $n$. 

\item En déduire $U_n=u_0+u_1+ \ldots +u_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}

\end{description}


 \end{document}    
