\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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%création des ensembles de nombres
\font\bbw=msbm10
\def\R{\hbox{\bbw R}}
\def\N{\hbox{\bbw N}}
\def\Z{\hbox{\bbw Z}}
\def\D{\hbox{\bbw D}}
\def\Q{\hbox{\bbw Q}}

%macro coefficient binomial
\newcommand{\cobin}[2]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \end{pmatrix}}


\begin{document}

\begin{center} \Large \textbf{\fbox{\begin{minipage}{0.6\textwidth}
  \begin{center} Exercices de Mathématiques - Suites\\
  Raisonnement par récurrence\end{center} 
\end{minipage}}} 
  \end{center}
	
 \vspace{6ex}

\begin {description}

\item [Question 1]

~

Démontrer que la suite définie par $u_0=5$ et pour tout $n \in \N$, $u_{n+1}=\frac{1}{3}u_n-2$, est minorée par $-3$.

~

\item [Question 2]

~

Montrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence que la somme des carrés des $n$ premiers entiers naturels non nuls est égale à
$\cfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ \, .

~

\item [Question 3]

~

Montrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence l'égalité suivante :

	$\displaystyle{\sum_{k=1}^n k(k+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}}$ pour tout $n \in \N^*$. 

~

\item [Question 4]

~
             
Montrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence l'égalité suivante :


	$\displaystyle{\sum_{k=1}^n k^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}}$ pour tout $n \in \N^*$.

\vspace{12ex}

\begin{center} \Large \textbf{\fbox{\begin{minipage}{0.6\textwidth}
  \begin{center} Exercices de Mathématiques - Suites\\
  Raisonnement par récurrence\end{center} 
\end{minipage}}} 
  \end{center}
	
 \vspace{6ex}

\item [Question 1]

~

Démontrer que la suite définie par $u_0=5$ et pour tout $n \in \N$, $u_{n+1}=\frac{1}{3}u_n-2$, est minorée par $-3$.

~

\item [Question 2]

~

Montrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence que la somme des carrés des $n$ premiers entiers naturels non nuls est égale à
$\cfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ \, .

~

\item [Question 3]

~

Montrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence l'égalité suivante :

	$\displaystyle{\sum_{k=1}^n k(k+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}}$ pour tout $n \in \N^*$. 

~

\item [Question 4]

~
             
Montrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence l'égalité suivante :


	$\displaystyle{\sum_{k=1}^n k^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}}$ pour tout $n \in \N^*$.


\end{description}


 \end{document}    
