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%création des ensembles de nombres
\font\bbw=msbm10
\def\R{\hbox{\bbw R}}
\def\N{\hbox{\bbw N}}
\def\Z{\hbox{\bbw Z}}
\def\D{\hbox{\bbw D}}
\def\Q{\hbox{\bbw Q}}

\newenvironment{defi}{\begin{block}{Définition}\end{block}}

\title[Diaporama du cours]{Terminale S\\Suites numériques}
\author{V. B. J. D. S. B.}
\institute{Lycée des EK}
\date{\today}

\begin{document}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}


\section {Raisonnement par récurrence }

\subsection{Introduction}

\begin{frame}

En Mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d'un entier naturel $n$.

~

Par exemple, la somme des entiers naturels de $1$ à $n$ est égale à  $$\cfrac{n(n+1)}{2}$$ On peut vérifier l'exactitude de ce résultat pour $n=2$, $n=3$, etc :

\begin{itemize}
\pause \item  Pour $n=2$ : \alt<3->{\color<3>{blue}{\quad $1+2=3$ et $\cfrac{2(2+1)}{2}=3$}}{\qquad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}

\pause

~

\pause \item Pour $n=3$ : \alt<5>{\color<5>{blue}{\quad $1+2+3=6$ et $\cfrac{3(3+1)}{2}=6$}}{\qquad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots} 

\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}

Même si on le vérifie jusqu'à  $n=100$, cela ne démontre pas que ce résultat est vrai pour tout $n$.

~

\pause Pour effectuer cette démonstration, on dispose d'un outil particulier : le raisonnement par récurrence.

~

Idée :
le raisonnement par récurrence "est un instrument qui permet de passer du fini à l'infini" (Poincaré).

~

\pause Le principe est le suivant : si on peut se placer d'abord sur un barreau d'une échelle, et si on peut ensuite passer d'un barreau quelconque à son suivant, alors on peut gravir tous les barreaux de cette échelle.

\end{frame}

\subsection{Principe de récurrence}

\begin{frame}

Pour démontrer par récurrence qu'une proposition  $P_n$ est vraie pour tout entier naturel $n\geq n_0$, ($n_0$ un entier naturel quelconque, en général 0 ou 1), on procède en trois étapes :

\begin{itemize}
\pause \item Initialisation : on vérifie que $P_{n_0}$ est vraie, c'est-à-dire que $P_n$  est vraie pour $n=n_0$. 

C'est le premier barreau de l'échelle.
\pause \item Hérédité : On suppose que pour un entier $k$ quelconque, la proposition $P_k$  est vraie.
		        Sous cette hypothèse, on démontre que la proposition $P_{k+1}$  est vraie.
		        
		  C'est le passage d'un barreau quelconque au suivant.
\pause \item Conclusion : $P_n$  est vraie pour tout  entier $n$ ou pour tout entier $n \geq n_0$.
\end{itemize}

\end{frame}

\subsection{Exemple}

\begin{frame}{Exemple}

Montrons que $\displaystyle{\sum_{q=1}^n q= 1+2+ \ldots + n=\cfrac{n(n+1)}{2}}$. 

On note cette proposition $P_n$.

\begin{itemize}[<+->]
\pause \item Initialisation : \alt<3->{\color<3>{blue}{Montrons que $P_n$ est vraie au rang 1, c'est-à-dire que $P_1$ est vraie : 

\quad  $\cfrac{1(1+1)}{2}=1$ ; c'est vérifié.}}{\qquad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}

\end{itemize}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{itemize}[<+->]

 \item Hérédité : \alt<2->{\color<2>{blue}{\quad Supposons que, pour un certain rang $k$, $P_k$ est vraie, c'est-à-dire que :$1+2+ \ldots +k=\cfrac{k(k+1)}{2}$ . 

Montrons alors que $P_{k+1}$ est vraie : c'est-à-dire que : $1+2+ \ldots +(k+1)=\cfrac{(k+1)(k+2)}{2}$ . 

Or $1+2+ \ldots +(k+1)=\cfrac{k(k+1)}{2}+(k+1)=(k+1)\left(\cfrac{k}{2}+1 \right)=\cfrac{(k+1)(k+2)}{2}$ . \qquad cqfd}}{\qquad \ldots \ldots \ldots} 

~

\pause \item Conclusion :\alt<4->{\color<4>{blue}{\quad La propriété $P_n$ est vraie pour tout $n \geq 1$, c'est-à-dire : $1+2+ \ldots +n=\cfrac{n(n+1)}{2}$ . }}{\qquad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots} 

\end{itemize}

\end{frame}
    
\section {Comportement d'une suite numérique}

\begin{frame} {Comportement d'une suite numérique}

Par "étudier le comportement de la suite $(u_n )$", on sous-entend étudier les propriétés du nombre $u_n$ lorsque l'entier $n$ devient de plus en plus grand (variations, encadrement, comportement à l'infini \ldots).

\end{frame}

\subsection {Suites majorées, minorées, bornées }
 
  \begin{frame} 
\begin{block}{Définitions}

Soient $M$ et $m$ deux nombres réels. On dit que la suite $(u_n )$ est :
\begin{itemize}[<+->]
\pause \item majorée par $M$ si \alt<3->{\color<3>{blue}{\quad pour tout $n\in \N, u_n\leq M$.}}{\quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots} 
\pause \item 	minorée par  $m$ si \alt<5->{\color<5>{blue}{\quad pour tout $n\in \N, u_n\geq m$.}}{\quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots} 
\pause \item   bornée si \alt<7->{\color<7>{blue}{\quad pour tout $n\in \N, m\leq u_n\leq M$.}}{\quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots } 
\end{itemize}
\end{block}
 
 \end{frame}
 
  \begin{frame} 
\begin{block}{Exemples}
\begin{itemize}[<+->]
\pause \item   Soit la suite $(\frac{1}{n})_{n\geq 1}=\{1/1  ; 1/2  ; 1/3  ; \ldots \} $.

\vspace{1ex}

\alt<3->{\color<3>{blue}{Pour tout $n\in \N^*, \frac{1}{n}>0$. 

Cette suite est donc minorée par 0, mais aussi par tout réel négatif : un minorant n'est donc pas unique. 

Elle est aussi majorée par 1 et par tout réel $x\geq1$.}}{\qquad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots} 

~


\pause \item Soit la suite $(n^2 )_{n\geq 0}=\{0; 1; 4;  \ldots \}$.

\vspace{1ex}

\alt<5->{\color<5>{blue}{Pour tout $n\in \N, n^2\geq 0$. 

Cette suite est aussi minorée par 0 et par tout réel négatif ; en plus ici, 0 est le minimum de la suite atteint au rang 0. Cette suite n'est pas majorée.}}{\qquad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots} 

\end{itemize}
\end{block}

 \end{frame}
 

   \subsection {Limite finie d'une suite }
   
\begin{frame} 

\begin{block}{Définitions}
La suite $(u_n )$ admet pour limite le réel $\ell$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient 
\alt<2->{\color<2>{blue}{ toutes les valeurs de $u_n$ à partir d'un certain rang.}}{\quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots } 
\pause

~

\pause On écrit alors : \alt<4->{\color<4>{blue}{\quad $$\lim_{n \rightarrow \infty}u_n=\ell$$.}}{$$\ldots \ldots \ldots$$

~} 

\end{block}

\end{frame}

\begin{frame} 

\begin{block}{Interprétation graphique}
\end{block}

\begin{figure}
\begin{pgfpicture}{0.7cm}{0cm}{11.5cm}{5.02cm}
% les axes se coupent à (0.8,2)
\begin{pgfscope} 
\pgfsetendarrow{\pgfarrowsingle}
\pgfsetlinewidth{1pt} 
\pgfxyline(0.55,0.5)(11,0.5) 
\pgfxyline(0.8,0)(0.8,5) 
\end{pgfscope} 
% lignes et point
\begin{pgfscope}
\color{green}
\pgfsetlinewidth{0.5pt}
\pgfsetdash{{3pt}{2pt}}{0pt}
\pgfxyline(6.4,0.53)(6.4,3.6)
\pgfxyline(0.7,3.6)(6.4,3.6)
\color{black}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(0.8,1.6)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(1.2,1.9)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(1.6,2.3)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(2,2.7)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(2.4,3.5)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(2.8,4.2)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(3.2,4.6)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(3.6,4.3)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(4,4.7)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(4.4,4.1)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(4.8,4.4)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(5.2,4.2)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(5.6,4.2)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(6,3.8)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(6.4,3.6)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(6.8,2.8)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(7.2,3.4)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(7.6,3.8)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(8,3.9)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(8.4,3.1)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(8.8,3.45)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(9.2,2.9)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(9.6,3.25)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(10,2.8)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(10.4,3.1)}{1pt}
% texte
\pgfputat{\pgfxy(6.4,0.45)}{\pgfbox[center,top]{p}}
\pgfputat{\pgfxy(0.6,3.6)}{\pgfbox[right,center]{$u_p$}}
\pgfputat{\pgfxy(0.6,3.2)}{\pgfbox[right,center]{$\ell$}}
\pgfputat{\pgfxy(0.6,4.05)}{\pgfbox[right,center]{$b$}}
\pgfputat{\pgfxy(0.6,2.55)}{\pgfbox[right,center]{$a$}}
\pgfputat{\pgfxy(10.5,0.45)}{\pgfbox[center,top]{$n$}}
\pgfputat{\pgfxy(0.6,4.8)}{\pgfbox[right,center]{$u_n$}}
\end{pgfscope}
% l'intervalle
\begin{pgfscope}
\color{red}
\pgfsetdash{{3pt}{3pt}}{0pt}
\pgfxyline(0.7,2.55)(10.4,2.55)
\pgfxyline(0.7,4.05)(10.4,4.05)  
\color{black}
\end{pgfscope}
% la limite
\begin{pgfscope} 
\color{blue}
\pgfsetlinewidth{1pt} 
\pgfxyline(0.7,3.2)(10.4,3.2) 
\end{pgfscope} 
\end{pgfpicture}
\end{figure}
\end{frame}

 \subsection {Limite infinie d'une suite }
 
\begin{frame} 

\begin{block}{Définitions}
Soit $A \in \R$. La suite $(u_n )$ admet pour limite $+\infty$ (resp. $-\infty$) si tout intervalle de la forme $]A ; +\infty[$ (resp. $]-\infty ;A[$) contient \alt<2->{\color<2>{blue}{\quad toutes les valeurs de $u_n$ à partir d'un certain rang.}}{\qquad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots} 
\pause

~

\pause On écrit alors : \alt<4->{\color<4>{blue}{\quad $$\lim_{n \rightarrow \infty}u_n=+\infty \quad \text{(resp.} \, -\infty)$$.}}{$$ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$$

~} 

\end{block}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{block}{Interprétation graphique}

\end{block}

\begin{figure}
\begin{pgfpicture}{0.7cm}{0cm}{11.5cm}{5.02cm}
% les axes se coupent à (0.8,2)
\begin{pgfscope} 
\pgfsetendarrow{\pgfarrowsingle}
\pgfsetlinewidth{1pt} 
\pgfxyline(0.55,0.5)(11,0.5) 
\pgfxyline(0.8,0)(0.8,5) 
\end{pgfscope} 
% lignes et point
\begin{pgfscope}
\color{green}
\pgfsetlinewidth{0.5pt}
\pgfsetdash{{3pt}{2pt}}{0pt}
\pgfxyline(6.4,0.53)(6.4,3.6)
\pgfxyline(0.7,3.6)(6.4,3.6)
\color{black}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(0.8,1.6)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(1.2,1.8)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(1.6,1.3)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(2,1.7)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(2.4,2.1)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(2.8,2.8)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(3.2,3)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(3.6,3.1)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(4,3.65)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(4.4,4.1)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(4.8,4.4)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(5.2,4.2)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(5.6,4.2)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(6,3.8)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(6.4,3.6)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(6.8,3.3)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(7.2,3.5)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(7.6,3.8)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(8,3.9)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(8.4,4.1)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(8.8,4.05)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(9.2,4.2)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(9.6,4.25)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(10,4.6)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(10.4,4.7)}{1pt}
% texte
\pgfputat{\pgfxy(6.4,0.45)}{\pgfbox[center,top]{p}}
\pgfputat{\pgfxy(0.6,3.6)}{\pgfbox[right,center]{$u_p$}}
\pgfputat{\pgfxy(0.6,3.2)}{\pgfbox[right,center]{$A$}}
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\end{pgfscope}
% l'intervalle
\begin{pgfscope}
\color{red}
\pgfsetdash{{3pt}{3pt}}{0pt}
\pgfxyline(0.7,3.2)(10.4,3.2)  
\color{black}
\end{pgfscope}
% la limite 
\end{pgfpicture}
\end{figure}
\end{frame}

\subsection{Limites des suites usuelles }

\begin{frame}

 \begin{block}{Théorèmes}
 $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow+\infty}}n=$ \alt<2->{\color<2>{blue}{$+\infty$}}{\ldots} \pause 
 \qquad \quad \pause $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow+\infty}}n^2=$ \alt<4->{\color<4>{blue}{$+\infty$}}{\ldots} \pause
 \qquad \quad \pause $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow+\infty}}\sqrt{n}=$ \alt<6->{\color<6>{blue}{$+\infty$}}{ \ldots} \pause
 
 ~
 
 \pause
 $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow+\infty}}\cfrac{1}{n}=$ \alt<8->{\color<8>{blue}{$0$}}{\ldots} \pause 
 \qquad \qquad \pause $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow+\infty}}\cfrac{1}{n^2}=$ \alt<10->{\color<10>{blue}{$0$}}{\ldots} \pause 
 \qquad \qquad \pause $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow+\infty}}\cfrac{1}{\sqrt{n}}= $ \alt<12->{\color<12>{blue}{$0$}}{\ldots} \pause 
 
 ~
 
 \pause
 
 Pour tout entier $k\geq 1$ :  \quad  $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow+\infty}}n^k= $ \alt<14->{\color<14>{blue}{$+\infty$}}{\ldots} \pause
 \qquad  \pause $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow+\infty}}\cfrac{1}{n^k}=$ \alt<16->{\color<16>{blue}{$0$}}{\ldots}

\end{block}

\end{frame}

\begin{frame}

Preuve de $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow+\infty}}n^2=+\infty$ : \alt<2->{\color<2->{blue}{\pause
soit $A$ un réel quelconque. \pause

~

Si $A\leq 0$ alors $n^2 > A$ pour tout $n\geq 1$ ; on choisit donc $N=1$. \pause

~

Si $A>0$, pour tout entier $n>\sqrt{A}$, on a $n^2>A$, car la fonction carrée est strictement croissante sur $]0; +\infty[$.
Soit $N$ le plus petit entier tel que $N>\sqrt{A}$; alors $\forall n\geq N$ on a $n^2>A$. \pause

~

Donc $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow+\infty}}n^2=+\infty$}}{\ldots \dots}


 
 \end{frame}

\section {Opérations sur les limites}


\subsection{Somme de deux suites }

\begin{frame}{Somme de deux suites}

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline 
\lim_{n \rightarrow+\infty}u_n & \ell & \ell & \ell & +\infty & -\infty & + \infty \\
\hline \pause
\lim_{n \rightarrow+\infty}v_n & \ell' & +\infty & -\infty & +\infty & -\infty & -\infty \\
\hline \pause
\lim_{n \rightarrow+\infty}u_n+v_n & \pause \color<4->{blue}{\ell + \ell'} & \pause \color<5->{blue}{+\infty} & \pause \color<6->{blue}{-\infty} & \pause \color<7->{blue}{+\infty} & \pause \color<8->{blue}{-\infty} &  \pause \color<9->{blue}{\text{F. I.}} \\
\hline
\end{array}$$

~

F. I. = forme indéterminée; on ne connait pas à priori la réponse.

\end{frame}


\subsection{Produit de deux suites }

\begin{frame}{Produit de deux suites }


$$\begin{array}{|l|c|c|c|}
\hline 
\lim_{n \rightarrow+\infty}u_n & \ell  & \ell \neq 0  &  0 \\
															&       &  $ ou $\pm \infty &    \\  
\hline \pause
\lim_{n \rightarrow+\infty}v_n & \ell' & \pm \infty &  \pm \infty \\
\hline \pause
\lim_{n \rightarrow+\infty}u_n\times v_n & \pause \color<4->{blue}{\ell \times \ell'} & \pause \color<5->{blue}{\pm \infty} \text{ avec R. S.} &  \pause \color<6->{blue}{\text{F. I.}} \\
\hline
\end{array}$$

~

R. S. = règle des signes.

\end{frame}


\subsection{Quotient de deux suites }

\begin{frame}{Quotient de deux suites }


$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline 
\lim_{n \rightarrow+\infty}u_n & \ell  & \ell  & 0 & \ell \neq 0 & \pm \infty &  \pm \infty  \\ 
\hline \pause
\lim_{n \rightarrow+\infty}v_n & \ell'\neq 0 & \pm \infty & 0 & 0 & \ell' &  \pm \infty \\
\hline \pause
\lim_{n \rightarrow+\infty}\cfrac{u_n}{v_n} & \pause \color<4->{blue}{\cfrac{\ell}{\ell'}} & \pause \color<5->{blue}{0} & \pause \color<6->{blue}{\text{F. I.}} & \pause \color<7->{blue}{\pm \infty} \text{ (R. S.)}& \pause \color<8->{blue}{\pm \infty} \text{ (R. S.)}&  \pause \color<9->{blue}{\text{F. I.}} \\
\hline
\end{array}$$

La règle des signes s'applique si $v_n$ est de signe constant sinon il n'y a pas de limite.

\end{frame}

	\subsection{Exemple}
	
\begin{frame}

Etudier la limite de la suite $(u_n )$ définie sur $\N$ par :
$u_n=\cfrac{2}{3n+5}$ \pause

\color<2->{blue}{
$$\lim_{n\rightarrow +\infty}2=2$$ \pause
et
$$\lim_{n\rightarrow +\infty}(3n+5)=+\infty$$ \pause

Donc par quotient : $$\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{2}{3n+5}=0$$}

\end{frame}

\subsection{Formes indéterminées}

\begin{frame}

Les cas des formes indéterminées nécessitent une étude particulière chaque fois qu'ils se présentent. Pour les mémoriser, on les note \alt<2->{\color<2>{blue}{ "$\infty-\infty$", "$0\times \infty$", " $\frac{0}{0}$ ", " $\frac{\infty}{\infty}$ "}}{\, \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots } \pause
\pause
mais ces écritures ne doivent jamais être utilisées dans une rédaction.

~ \pause

Le principe est toujours le même pour "lever" une indétermination : il faut changer l'écriture de la suite.

\end{frame}

\begin{frame}

\textbf{Exemple 1 :}
$u_n=3n^2-n-5$ \pause

~

\color<2->{blue}{
$\lim_{n\rightarrow +\infty}3n^2=+\infty$ \pause
\quad et \quad
$\lim_{n\rightarrow +\infty}(-n-5)=-\infty$, \pause

~

donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}3n^2-n-5=$ F. I. ("$\infty-\infty$").\pause

~

Changement d'écriture : $u_n=n^2(3-\frac{1}{n}-\frac{5}{n^2})$ \pause

~


$\lim_{n\rightarrow +\infty}n^2=+\infty$ \pause
\quad et \quad
$\lim_{n\rightarrow +\infty}(3-\frac{1}{n}-\frac{5}{n^2})=3$ \pause

~

Donc par produit $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty$}



\end{frame}

\begin{frame}



\textbf{Exemple 2 :}
$u_n=\cfrac{3n+5}{-2n+7}$ \pause

~

\color<2->{blue}{
$\lim_{n\rightarrow +\infty}(3n+5)=+\infty$ \pause
\quad et \quad
$\lim_{n\rightarrow +\infty}(-2n+7)=-\infty$, \pause

~

donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=$ F. I. (" $\frac{\infty}{\infty}$ ").\pause

~

Changement d'écriture : $u_n=\frac{n(3+\frac{5}{n})}{n(-2+\frac{7}{n})}=\frac{3+\frac{5}{n}}{-2+\frac{7}{n}}$, \quad ($n\neq 0)$ \pause

~


$\lim_{n\rightarrow +\infty}(3+\frac{5}{n})=3$ \pause
\quad et \quad
$\lim_{n\rightarrow +\infty}(-2+\frac{7}{n})=-2$ \pause

~

Donc par quotient $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=-\frac{3}{2}$}

\end{frame}

\begin{frame}

\textbf{Exemple 3 :}
$u_n=n-\sqrt{n}$ \pause

~

\color<2->{blue}{
$\lim_{n\rightarrow +\infty}n=+\infty$ \pause
\quad et \quad
$\lim_{n\rightarrow +\infty}(-\sqrt{n})=-\infty$, \pause

~

donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=$ F. I. ("$\infty-\infty$").\pause

~

Changement d'écriture : $u_n=n-\sqrt{n}=n(1-\frac{\sqrt{n}}{n})=n(1-\frac{1}{\sqrt{n}})$ \pause

~


$\lim_{n\rightarrow +\infty}n=+\infty$ \pause
\quad et \quad
$\lim_{n\rightarrow +\infty}(1-\frac{1}{\sqrt{n}})=1$ \pause

~

Donc par produit $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty$}


\end{frame}

\section{Limites et comparaison}
\subsection{Comparaison}

\begin{frame}

\begin{block}{Théorèmes}
Soient deux suites $(u_n )$ et $(v_n )$ et un entier naturel $N$ tels que pour tout entier $n\geq  N$, $u_n\leq v_n$.
\begin{itemize}
\item 	Minoration :
si $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} u_n=+\infty}$, alors \alt<2->{\color<2>{blue}{$\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} v_n=+\infty}$}}{\, \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots} \pause
\pause \item	Majoration :
si $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} v_n=-\infty}$, alors \alt<4->{\color<4>{blue}{$\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} u_n=-\infty}$}}{\, \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots} \pause
\end{itemize}
\end{block}

\end{frame}

\begin{frame}

Démonstration du théorème de minoration (\textbf{ROC}) : \pause

~

\color<2-6>{blue}{
On suppose que $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty}$ \pause

~

Il s'agit de démontrer que tout intervalle de la forme $]A; +\infty[$ contient toutes les valeurs de $v_n$ à partir d'un certain rang. \pause

~

Soit $A$ un réel. Comme $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty}$, l'intervalle $]A; +\infty[$ contient tous les $u_n$ à partir d'un rang $p$: $\forall n \geq p$, $u_n > A$.\pause

~

Alors pour tout $n\geq p$, on a $v_n\geq u_n > A$, donc $v_n\in ]A;+\infty[$.\pause

~


On en déduit que $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}v_n=+\infty}$} \pause

~

La démonstration est analogue pour le théorème de majoration.


\end{frame}


\begin{frame}

\begin{block}{Théorème "des gendarmes" (admis)}
On considère trois suites $(u_n )$ , $(v_n )$ et $(w_n )$. Soit un entier $N$ et un réel $\ell$.

On suppose que pour tout entier $n\geq N$, on a $u_n\leq v_n\leq w_n$.

Si les suites $(u_n )$ et $(w_n )$ convergent vers la même limite $\ell$, alors la suite $(v_n )$ \alt<2->{\color<2>{blue}{ converge également vers $\ell$}}{\, \ldots\ldots \ldots\ldots \ldots\ldots \ldots\ldots} \pause
\end{block}

\end{frame}


\subsection{Cas des suites monotones et convergentes}

\begin{frame}
	
\begin{block}{Théorème}
Soit une suite $(u_n )$ convergeant vers un réel $\ell$.

Si la suite $(u_n )$ est croissante, alors elle est \alt<2->{\color<2>{blue}{majorée par $\ell$.}}{\ldots\ldots \ldots\ldots} \pause 
\pause c'est-à-dire que pour tout entier naturel $n$, \alt<4->{\color<4>{blue}{$ u_n\leq \ell$.}}{\ldots\ldots} \pause
\end{block}

\end{frame}

\section{Convergence de certaines suites.}
	\subsection{Convergence des suites monotones}
	
\begin{frame}
	
\begin{block}{Théorèmes}
	Si $(u_n )$ est une suite croissante et majorée, alors elle \alt<2->{\color<2>{blue}{converge.}}{\ldots \ldots \ldots} \pause
	
	~
	
\pause	Si $(u_n )$ est une suite décroissante et minorée, alors elle \alt<4->{\color<4>{blue}{converge.}}{\ldots \ldots \ldots} \pause
	
\end{block}

\pause Attention : Ce théorème ne donne pas la valeur de la limite de la suite, mais seulement son existence et un majorant, ou un minorant, de la suite.

\end{frame}

\begin{frame}

\textbf{Corollaire :}

 
une suite croissante non majorée \alt<2->{\color<2>{blue}{a pour limite $+\infty$.}}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots} \pause
	
	~
	
\pause

Preuve (\textbf{ROC}): \alt<4->{\color<4->{blue}{
Soit $(u_n)$ une suite croissante non majorée et soit $A\in \R$. \pause

\pause Comme $(u_n)$ n'est pas majorée, il existe au moins un entier $p$ tel que $u_p>A$. \pause

Comme $(u_n)$ est croissante, on a $\forall n \geq p$, $u_n\geq u_p$ 

d'où $\forall n \geq p$, $u_n > A$. \pause

Donc à partir du rang $p$, tous les termes de la suite appartiennent à $]A; +\infty [$.

Conclusion : $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty }$
}}{\ldots \ldots}. 

\end{frame}

	\subsection{Limite d'une suite géométrique}	

\begin{frame}
	
\begin{block}{Théorème}
Soit $q$ un réel. 

	Si $q>1$, alors la suite $(q^n )$ \alt<2->{\color<2>{blue}{diverge vers $+\infty$ : $$\lim_{n \rightarrow+\infty}q^n=+\infty$$}}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots\ldots
	
	$$\ldots \dots \ldots\ldots \ldots\ldots$$} \pause
	
\pause	Si $-1<q<1$, alors la suite $(q^n )$ \alt<4->{\color<4>{blue}{converge vers $0$ : $$\lim_{n \rightarrow+\infty}q^n=0$$}}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
	
	$$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots\ldots$$} \pause
	
\pause
	
	Si $q\leq -1$, alors la suite $(q^n )$ \alt<6->{\color<6>{blue}{diverge et n'admet pas de limite.}}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots} \pause
	
\end{block}

\end{frame}

\begin{frame}

\textbf{Preuve} pour $q>1$ (\textbf{ROC}): \pause
\color<2-11>{blue}{
montrons d'abord par récurrence la propriété $P_n$ : pour tout $n\in \N$, avec $a$ réel positif, $(1+a)^n\geq 1+na$. \pause

~

Initialisation : \pause pour $n=0$, $(1+a)^0=1$ et $1+0\times a=1$; donc $P_0$ est vraie. \pause

~

Hérédité : \pause supposons que pour un certain entier $k$, $P_k$ est vraie, soit $(1+a)^k\geq 1+ka$ \pause
et montrons alors que $P_{k+1}$ est vraie,  c'est-à-dire $(1+a)^{k+1}\geq 1+(k+1)a$ ; \pause

$(1+a)^{k+1}=(1+a)^k\times (1+a)$ \pause et $(1+a)^k\geq 1+ka$ d'après l'hypothèse de récurrence.\pause

On en déduit que $(1+a)^{k+1}\geq (1+ka)(1+a)$ car $1+a > 0$. \pause

Ainsi : $(1+a)^{k+1}\geq 1+ka+a+ka^2 \geq1+(k+1)a$ car $ka^2>0$, et $P_{k+1}$ est vraie.}

\end{frame}

\begin{frame}

\color<1-5>{blue}{
Nous avons montré la propriété $P_n$ pour tout $n\in \N $ : 

si $a\geq 0$, $(1+a)^n\geq 1+na$. \pause

~

On pose maintenant $q=1+a$ avec $a>0$, donc $q>1$. \pause 

~

Alors $q^n\geq1+na$, d'après la propriété $P_n$. \pause

~

Or $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}(1+na)=+\infty}$, car $a>0$. \pause

~

Donc d'après le théorème de minoration : $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}q^n=+\infty}$.} \pause

\end{frame}

 \end{document}    
