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\parindent 0.8cm

%création des ensembles de nombres
\font\bbw=msbm10
\def\R{\hbox{\bbw R}}
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\def\Q{\hbox{\bbw Q}}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}
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\lfoot{\small{Bernelas - Bays - Desclaux}}
\rfoot{\small{Lycée Les Eucalyptus 2019-2020}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
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	\begin{center} \Large \textbf{\fbox{\begin{minipage}{0.6\textwidth}
  \begin{center}Terminale S\\Suites numériques\end{center} 
\end{minipage}}} 
  \end{center}

\vspace{2ex}


\section {Raisonnement par récurrence }

\subsection{Introduction}

En Mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d'un entier naturel $n$.
Par exemple, la somme des entiers naturels de $1$ à $n$ est égale à  $\cfrac{n(n+1)}{2}$\,. 

On peut vérifier l'exactitude de ce résultat pour $n=2$, $n=3$, etc :

~

pour $n=2$ : \qquad $1+2=3$ \, et \, $\cfrac{2(2+1)}{2}=3$

~

pour $n=3$ : \qquad $1+2+3=6$ \, et \, $\cfrac{3(3+1)}{2}=6$

~

Même si on le vérifie jusqu'à  $n=100$, cela ne démontre pas que ce résultat est vrai pour tout $n$.

Pour effectuer cette démonstration, on dispose d'un outil particulier : le raisonnement par récurrence.

Idée :
Le raisonnement par récurrence "est un instrument qui permet de passer du fini à l'infini" (Poincaré).
Le principe est le suivant : si on peut se placer d'abord sur un barreau d'une échelle, et si on peut ensuite passer d'un barreau quelconque à son suivant, alors on peut gravir tous les barreaux de cette échelle.

\subsection{Principe de récurrence}

Pour démontrer par récurrence qu'une proposition  $P_n$ est vraie pour tout entier naturel $n\geq n_0$, ($n_0$ un entier naturel quelconque, en général 0 ou 1), on procède en trois étapes :
\begin{itemize}
\item Initialisation : on vérifie que  $P_{n_0}$  est vraie, c'est-à-dire que $P_n$  est vraie pour $n=n_0$. 

C'est le premier barreau de l'échelle.
\item Hérédité : On suppose que pour un entier $k$ quelconque, la proposition $P_k$  est vraie.
		        Sous cette hypothèse, on démontre que la proposition $P_{k+1}$  est vraie.
		        
		  C'est le passage d'un barreau quelconque au suivant.
\item Conclusion : $P_n$  est vraie pour tout  entier $n \geq n_0$.
\end{itemize}

\subsection{Exemple}

Montrons que $\displaystyle{\sum_{q=1}^n q= 1+2+ \ldots + n=\cfrac{n(n+1)}{2}}$\, .

~

Initialisation : montrons que $P_n$ est vraie au rang 1, c'est-à-dire que $P_1$ est vraie : 

  $\cfrac{1(1+1)}{2}=1$ ; c'est vérifié.

~

Hérédité :  supposons que, pour un certain rang $k$, $P_k$ est vraie, c'est-à-dire que :

\qquad \qquad $1+2+ \ldots +k=\cfrac{k(k+1)}{2}$ . 

Montrons alors que $P_{k+1}$ est vraie : c'est-à-dire que : $1+2+ \ldots +(k+1)=\cfrac{(k+1)(k+2)}{2}$ . 

Or $1+2+ \ldots +(k+1)=\cfrac{k(k+1)}{2}+(k+1)=(k+1)\left(\cfrac{k}{2}+1 \right)=\cfrac{(k+1)(k+2)}{2}$ . \qquad cqfd

~

Conclusion : la propriété $P_n$ est vraie pour tout $n \geq 1$, c'est-à-dire : $1+2+ \ldots +n=\cfrac{n(n+1)}{2}$ .


\section {Comportement d'une suite numérique}


Par "étudier le comportement de la suite $(u_n )$", on sous-entend étudier les propriétés du nombre $u_n$ lorsque l'entier $n$ devient de plus en plus grand (variations, encadrement, comportement à l'infini \ldots).


\subsection {Suites majorées, minorées, bornées }
 
 
\textbf{Définitions}

Soient $M$ et $m$ deux nombres réels. On dit que la suite $(u_n )$ est :

~

\begin{itemize}
 \item majorée par $M$ si pour tout $n\in \N, u_n\leq M$.
 
 ~
 
 \item 	minorée par  $m$ si pour tout $n\in \N, u_n\geq m$.
 
 ~
 
 \item   bornée si pour tout $n\in \N, m\leq u_n\leq M$.
 
 ~
 
\end{itemize}
 
   
\textbf{Exemples}
\begin{itemize}
\item   Soit la suite $\left(\cfrac{1}{n}\right)_{n\geq 1}=\{1/1  ; 1/2  ; 1/3  ; \ldots \} $.

~

Pour tout $n\in \N^*, \frac{1}{n}>0$. 
Cette suite est donc minorée par 0, mais aussi par tout réel négatif : un minorant n'est donc pas unique. Elle est aussi majorée par 1 et par tout réel $x\geq1$.

~

 \item Soit la suite $(n^2 )_{n\geq 0}=\{ 0; 1; 4;  \ldots \}$.

~

Pour tout $n\in \N, n^2\geq 0$. 
Cette suite est minorée par 0 et par tout réel négatif ; en plus ici, 0 est le minimum de la suite, atteint au rang 0. Cette suite n'est pas majorée.

\end{itemize}
 

   \subsection {Limite finie d'une suite }

\textbf{Définitions}

La suite $(u_n )$ admet pour limite le réel $\ell$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient toutes les valeurs de $u_n$ à partir d'un certain rang.

\vspace{1ex}

On écrit alors : \quad $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty}u_n=\ell}$

~

\textbf{Interprétation graphique : }

\begin{figure}
\begin{pgfpicture}{-2cm}{24cm}{11.5cm}{5.02cm}
% les axes se coupent à (0.8,2)
\begin{pgfscope} 
\pgfsetendarrow{\pgfarrowsingle}
\pgfsetlinewidth{1pt} 
\pgfxyline(0.55,0.5)(11,0.5) 
\pgfxyline(0.8,0)(0.8,5) 
\end{pgfscope} 
% lignes et point
\begin{pgfscope}
\color{green}
\pgfsetlinewidth{0.5pt}
\pgfsetdash{{3pt}{2pt}}{0pt}
\pgfxyline(6.4,0.53)(6.4,3.6)
\pgfxyline(0.7,3.6)(6.4,3.6)
\color{black}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(0.8,1.6)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(1.2,1.9)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(1.6,2.3)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(2,2.7)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(2.4,3.5)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(2.8,4.2)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(3.2,4.6)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(3.6,4.3)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(4,4.7)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(4.4,4.1)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(4.8,4.4)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(5.2,4.2)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(5.6,4.2)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(6,3.8)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(6.4,3.6)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(6.8,2.8)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(7.2,3.4)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(7.6,3.8)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(8,3.9)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(8.4,3.1)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(8.8,3.45)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(9.2,2.9)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(9.6,3.25)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(10,2.8)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(10.4,3.1)}{1pt}
% texte
\pgfputat{\pgfxy(6.4,0.45)}{\pgfbox[center,top]{p}}
\pgfputat{\pgfxy(0.6,3.6)}{\pgfbox[right,center]{$u_p$}}
\pgfputat{\pgfxy(0.6,3.2)}{\pgfbox[right,center]{$\ell$}}
\pgfputat{\pgfxy(0.6,4.05)}{\pgfbox[right,center]{$b$}}
\pgfputat{\pgfxy(0.6,2.55)}{\pgfbox[right,center]{$a$}}
\pgfputat{\pgfxy(10.5,0.45)}{\pgfbox[center,top]{$n$}}
\pgfputat{\pgfxy(0.6,4.8)}{\pgfbox[right,center]{$u_n$}}
\end{pgfscope}
% l'intervalle
\begin{pgfscope}
\color{red}
\pgfsetdash{{3pt}{3pt}}{0pt}
\pgfxyline(0.7,2.55)(10.4,2.55)
\pgfxyline(0.7,4.05)(10.4,4.05)  
\color{black}
\end{pgfscope}
% la limite
\begin{pgfscope} 
\color{blue}
\pgfsetlinewidth{1pt} 
\pgfxyline(0.7,3.2)(10.4,3.2) 
\end{pgfscope} 
\end{pgfpicture}
\end{figure}


\vspace{36ex}

 \subsection {Limite infinie d'une suite }
 
\textbf{Définitions}

Soit $A \in \R$. La suite $(u_n )$ admet pour limite $+\infty$ (resp. $-\infty$) si tout intervalle de la forme $]A ; +\infty[$ (resp. $]-\infty ;A[$) contient toutes les valeurs de $u_n$ à partir d'un certain rang.


On écrit alors : \quad $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty}u_n=+\infty \quad \text{(resp.} \, -\infty)}$

~

\textbf{Interprétation graphique : }

\begin{figure}
\begin{pgfpicture}{-2cm}{8cm}{11.5cm}{5.02cm}
% les axes se coupent à (0.8,2)
\begin{pgfscope} 
\pgfsetendarrow{\pgfarrowsingle}
\pgfsetlinewidth{1pt} 
\pgfxyline(0.55,0.5)(11,0.5) 
\pgfxyline(0.8,0)(0.8,5) 
\end{pgfscope} 
% lignes et point
\begin{pgfscope}
\color{green}
\pgfsetlinewidth{0.5pt}
\pgfsetdash{{3pt}{2pt}}{0pt}
\pgfxyline(6.4,0.53)(6.4,3.6)
\pgfxyline(0.7,3.6)(6.4,3.6)
\color{black}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(0.8,1.6)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(1.2,1.8)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(1.6,1.3)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(2,1.7)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(2.4,2.1)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(2.8,2.8)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(3.2,3)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(3.6,3.1)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(4,3.65)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(4.4,4.1)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(4.8,4.4)}{1pt}
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\pgfcircle[fill]{\pgfxy(5.6,4.2)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(6,3.8)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(6.4,3.6)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(6.8,3.3)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(7.2,3.5)}{1pt}
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\pgfcircle[fill]{\pgfxy(8,3.9)}{1pt}
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\pgfcircle[fill]{\pgfxy(10,4.6)}{1pt}
\pgfcircle[fill]{\pgfxy(10.4,4.7)}{1pt}
% texte
\pgfputat{\pgfxy(6.4,0.45)}{\pgfbox[center,top]{p}}
\pgfputat{\pgfxy(0.6,3.6)}{\pgfbox[right,center]{$u_p$}}
\pgfputat{\pgfxy(0.6,3.2)}{\pgfbox[right,center]{$A$}}
\pgfputat{\pgfxy(10.5,0.45)}{\pgfbox[center,top]{$n$}}
\pgfputat{\pgfxy(0.6,4.8)}{\pgfbox[right,center]{$u_n$}}
\end{pgfscope}
% l'intervalle
\begin{pgfscope}
\color{red}
\pgfsetdash{{3pt}{3pt}}{0pt}
\pgfxyline(0.7,3.2)(10.4,3.2)  
\color{black}
\end{pgfscope}
% la limite 
\end{pgfpicture}
\end{figure}

\vspace{34ex}

\subsection{Limites des suites usuelles }

\textbf{Théorèmes}

 $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow+\infty}}n=+\infty $ \qquad \qquad $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow+\infty}}n^2= +\infty $
 \qquad \qquad $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow+\infty}}\sqrt{n}= +\infty $
 
 ~
 
 $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow+\infty}}\cfrac{1}{n}= 0 $ \qquad \qquad $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow+\infty}}\cfrac{1}{n^2}= 0 $
 \qquad \qquad $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow+\infty}}\cfrac{1}{\sqrt{n}}= 0 $
 
 ~
 
 Pour tout entier $k\geq 1$ :  \quad  $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow+\infty}}n^k= +\infty $
 \qquad \qquad $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow+\infty}}\cfrac{1}{n^k}= 0 $

~

Preuve de $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow+\infty}}n^2 =+\infty$ : 
soit $A$ un réel quelconque. 

~

Si $A\leq 0$ alors $n^2 > A$ pour tout $n\geq 1$ ; on choisit donc $N=1$. 

~

Si $A>0$, pour tout entier $n>\sqrt{A}$, on a $n^2>A$, car la fonction carrée est strictement croissante sur $]0; +\infty[$.
Soit $N$ le plus petit entier tel que $N>\sqrt{A}$; alors $\forall n\geq N$ on a $n^2>A$.

~

Donc $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow+\infty}}n^2=+\infty$

\section {Opérations sur les limites}

\subsection{Somme de deux suites }

\textbf{Somme de deux suites}

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline 
\lim_{n \rightarrow+\infty}u_n & \ell & \ell & \ell & +\infty & -\infty & + \infty \\
\hline
\lim_{n \rightarrow+\infty}v_n & \ell' & +\infty & -\infty & +\infty & -\infty & -\infty \\
\hline
\lim_{n \rightarrow+\infty}u_n+v_n & \ell + \ell' & +\infty & -\infty & +\infty & -\infty &  \text{F. I.} \\
\hline
\end{array}$$

~

F. I. = forme indéterminée; on ne connaît pas à priori la réponse.

\subsection{Produit de deux suites }


$$\begin{array}{|l|c|c|c|}
\hline 
\lim_{n \rightarrow+\infty}u_n & \ell  & \ell \neq 0 &  0 \\
															&       &  $ ou $\pm \infty &   \\  
\hline
\lim_{n \rightarrow+\infty}v_n & \ell' & \pm \infty & \pm \infty \\
\hline
\lim_{n \rightarrow+\infty}u_n\times v_n & \ell \times \ell' & \pm \infty \, \text{R. S.} & \text{F. I.} \\
\hline
\end{array}$$

~

R. S. = règle des signes.

\subsection{Quotient de deux suites }


$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline 
\lim_{n \rightarrow+\infty}u_n & \ell  & \ell  & 0 & \ell \neq 0 & \pm \infty &  \pm \infty  \\ 
\hline
\lim_{n \rightarrow+\infty}v_n & \ell'\neq 0 & \pm \infty & 0 & 0 & \ell' &  \pm \infty \\
\hline
\lim_{n \rightarrow+\infty}\frac{u_n}{v_n} & \cfrac{\ell}{\ell'} & 0 & \text{F. I.} & \pm \infty \, \text{R. S.} & \pm \infty \, \text{R. S.} &  \text{F. I.} \\
\hline
\end{array}$$

La règle des signes s'applique si $v_n$ est de signe constant sinon il n'y a pas de limite.

	\subsection{Exemple}
	
Etudier la limite de la suite $(u_n )$ définie sur $\N$ par :
$u_n=\cfrac{2}{3n+5}$

$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}2=2}$ \quad
et \quad
$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}(3n+5)=+\infty}$ 

~

Donc par quotient : $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{2}{3n+5}=0}$.

\subsection{Formes indéterminées}

Les cas des formes indéterminées nécessitent une étude particulière chaque fois qu'ils se présentent. Pour les mémoriser, on les note  "$\infty-\infty$", "$0\times \infty$", " $\frac{0}{0}$ ", " $\frac{\infty}{\infty}$ ",
mais ces écritures ne doivent jamais être utilisées dans une rédaction.

Le principe est toujours le même pour "lever" une indétermination : il faut changer l'écriture de la suite.

\vspace{1ex}

\textbf{Exemple 1 :} $u_n=3n^2-n-5$

 ~
  
$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}3n^2=+\infty}$ 
\, et \,
$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}(-n-5)=-\infty}$, 
donc $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}3n^2-n-5=}$ F. I. ("$\infty-\infty$").

~

Changement d'écriture : $u_n=n^2(3-\frac{1}{n}-\frac{5}{n^2})$ 

~


$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}n^2=+\infty}$ 
\, et \,
$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}(3-\frac{1}{n}-\frac{5}{n^2})=3}$,
donc par produit $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty}$.

~

\textbf{Exemple 2 :} $u_n=\cfrac{3n+5}{-2n+7}$

~

$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}(3n+5)=+\infty}$ 
\, et \,
$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}(-2n+7)=-\infty}$, 
donc $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=}$ F. I. (" $\frac{\infty}{\infty}$ ").

~

Changement d'écriture : $u_n=\frac{n(3+\frac{5}{n})}{n(-2+\frac{7}{n})}=\frac{3+\frac{5}{n}}{-2+\frac{7}{n}}$, \quad ($n\neq 0)$,

~

$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}(3+\frac{5}{n})=3}$ 
\, et \,
$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}(-2+\frac{7}{n})=-2}$, 
donc par quotient $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=-\frac{3}{2}}$\, .

~


\textbf{Exemple 3 :} $u_n=n-\sqrt{n}$

~

$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}n=+\infty}$ 
\, et \,
$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}(-\sqrt{n})=-\infty}$, 
donc $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=}$ F. I. ("$\infty-\infty$").

~

Changement d'écriture : $u_n=n-\sqrt{n}=n(1-\frac{\sqrt{n}}{n})=n(1-\frac{1}{\sqrt{n}})$ 

~


$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}n=+\infty}$ 
\, et \,
$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}(1-\frac{1}{\sqrt{n}})=1}$,
donc par produit $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty}$


\section{Limites et comparaison}
\subsection{Comparaison}

\textbf{Théorèmes}

Soient deux suites $(u_n )$ et $(v_n )$ et un entier naturel $N$ tels que pour tout entier $n\geq  N$, $u_n\leq v_n$.

\begin{itemize}
\item 	Minoration :
si $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} u_n=+\infty}$, alors $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} v_n=+\infty}$

\item	Majoration :
si $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} v_n=-\infty}$, alors $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} u_n=-\infty}$
\end{itemize}

~

Démonstration du théorème de minoration (\textbf{ROC}) :

On suppose que $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty}$ 

Il s'agit de démontrer que tout intervalle de la forme $]A; +\infty[$ contient toutes les valeurs de $v_n$ à partir d'un certain rang. 

Soit $A$ un réel. Comme $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty}$, l'intervalle $]A; +\infty[$ contient tous les $u_n$ à partir d'un rang $p$: $\forall n \geq p$, $u_n > A$.

Alors pour tout $n\geq p$, on a $v_n\geq u_n > A$, donc $v_n\in ]A;+\infty[$.

On en déduit que $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}v_n=+\infty}$

~

La démonstration est analogue pour le théorème de majoration.

~

\textbf{Théorème "des gendarmes" (admis)}

On considère trois suites $(u_n )$ , $(v_n )$ et $(w_n )$. Soit un entier $N$ et un réel $\ell$.
On suppose que pour tout entier $n\geq N$, on a $u_n\leq v_n\leq w_n$.

Si les suites $(u_n )$ et $(w_n )$ convergent vers la même limite $\ell$, alors la suite $(v_n )$ converge également vers $\ell$. 


\subsection{Cas des suites monotones et convergentes}

\textbf{Théorème}

Soit une suite $(u_n )$ convergeant vers un réel $\ell$.
Si la suite $(u_n )$ est croissante, alors elle est majorée par $\ell$, 
c'est-à-dire que pour tout entier naturel $n$, $ u_n\leq \ell$.

\section{Convergence de certaines suites}
	\subsection{Convergence des suites monotones}
	
\textbf{Théorème}

	Si $(u_n )$ est une suite croissante et majorée, alors elle converge.
	
	Si $(u_n )$ est une suite décroissante et minorée, alors elle converge.

~

Attention : Ce théorème ne donne pas la valeur de la limite de la suite, mais seulement son existence et un majorant, ou un minorant, de la suite.

~

\textbf{Corollaire :}
une suite croissante non majorée a pour limite $+\infty$.

~

Preuve (\textbf{ROC}): soit $(u_n)$ une suite croissante non majorée et soit $A\in \R$. 

 Comme $(u_n)$ n'est pas majorée, il existe au moins un entier $p$ tel que $u_p>A$.

Comme $(u_n)$ est croissante, on a $\forall n \geq p$, $u_n\geq u_p$,  
d'où $\forall n \geq p$, $u_n > A$. 

Donc à partir du rang $p$, tous les termes de la suite appartiennent à $]A; +\infty [$.

Conclusion : $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty }$

	\subsection{Limite d'une suite géométrique}	

\textbf{Théorème}

Soit $q$ un réel. 

	Si $q>1$, alors la suite $(q^n )$ diverge vers $+\infty$ : $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow+\infty}q^n=+\infty}$.

	
	Si $-1<q<1$, alors la suite $(q^n )$ converge vers $0$ : $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow+\infty}q^n=0}$.
	
	Si $q\leq -1$, alors la suite $(q^n )$ diverge et n'admet pas de limite.

~

\textbf{Preuve} pour $q>1$ (\textbf{ROC}):
montrons d'abord par récurrence la propriété $P_n$ : pour tout $n\in \N$, avec $a$ réel positif, $(1+a)^n\geq 1+na$. 
\begin{itemize}
\item{Initialisation :}  pour $n=0$, $(1+a)^0=1$ et $1+0\times a=1$; donc $P_0$ est vraie. 

\item{Hérédité :} supposons que pour un certain entier $k$, $P_k$ est vraie, soit $(1+a)^k\geq 1+ka$ 
et montrons alors que $P_{k+1}$ est vraie, c'est-à-dire $(1+a)^{k+1}\geq 1+(k+1)a$  ; 

$(1+a)^{k+1}=(1+a)^k\times (1+a)$ \, et \, $(1+a)^k\geq 1+ka$ d'après l'hypothèse de récurrence.

On en déduit que $(1+a)^{k+1}\geq (1+ka)(1+a)$ car $1+a > 0$. 

Ainsi : $(1+a)^{k+1}\geq 1+ka+a+ka^2 \geq1+(k+1)a$ car $ka^2>0$, et $P_{k+1}$ est vraie.

\item{Conclusion :} Nous avons montré la propriété $P_n$ pour tout $n\in \N $ : 
si $a\geq 0$, $(1+a)^n\geq 1+na$. 
\end{itemize}

~

On pose maintenant $q=1+a$ avec $a>0$, donc $q>1$. 

Alors $q^n\geq1+na$, d'après la propriété $P_n$. 

Or $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}(1+na)=+\infty}$, car $a>0$. 

Donc d'après le théorème de minoration : $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}q^n=+\infty}$.

 \end{document}    
