\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[francais]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}

\usepackage{enumerate}
\usepackage{pgf}

\usepackage{times}

\usepackage{graphicx}

\usepackage{fancyhdr}

\setlength{\oddsidemargin}{-0.2cm}
\setlength{\textwidth}{16.3cm}
\setlength{\topmargin}{-2.5cm}
\setlength{\textheight}{26.8cm}
\parindent 0.8cm

%création des ensembles de nombres
\font\bbw=msbm10
\def\R{\hbox{\bbw R}}
\def\N{\hbox{\bbw N}}
\def\Z{\hbox{\bbw Z}}
\def\D{\hbox{\bbw D}}
\def\Q{\hbox{\bbw Q}}


\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead{}
\fancyfoot{}
\lfoot{\small{Bernelas - Bays - Desclaux}}
\rfoot{\small{Lycée Les Eucalyptus 2019-2020}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\renewcommand \headrulewidth{0pt}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}

\begin{center} \Large \textbf{\fbox{\begin{minipage}{0.6\textwidth}
  \begin{center}Terminale S\\Suites numériques\end{center} 
\end{minipage}}} 
  \end{center}

\vspace{2ex}


\section {Raisonnement par récurrence }

\subsection{Introduction}

En Mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d'un entier naturel $n$.
Par exemple, la somme des entiers naturels de $1$ à $n$ est égale à  $\cfrac{n(n+1)}{2}$\,. On peut vérifier l'exactitude de ce résultat pour $n=2$, $n=3$, etc :

~

pour $n=2$ : \qquad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 

~

pour $n=3$ : \qquad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 

~

Même si on le vérifie jusqu'à  $n=100$, cela ne démontre pas que ce résultat est vrai pour tout $n$.

Pour effectuer cette démonstration, on dispose d'un outil particulier : le raisonnement par récurrence.

Idée :
Le raisonnement par récurrence "est un instrument qui permet de passer du fini à l'infini" (Poincaré).
Le principe est le suivant : si on peut se placer d'abord sur un barreau d'une échelle, et si on peut ensuite passer d'un barreau quelconque à son suivant, alors on peut gravir tous les barreaux de cette échelle.

\subsection{Principe de récurrence}

Pour démontrer par récurrence qu'une proposition  $P_n$ est vraie pour tout entier naturel $n\geq n_0$, ($n_0$ un entier naturel quelconque, en général 0 ou 1), on procède en trois étapes :
\begin{itemize}
\item Initialisation : on vérifie que $P_{n_0}$ est vraie, c'est-à-dire que $P_n$  est vraie pour $n=n_0$. 

C'est le premier barreau de l'échelle.
\item Hérédité : On suppose que pour un entier $k$ quelconque, la proposition $P_k$  est vraie.
		        Sous cette hypothèse, on démontre que la proposition $P_{k+1}$  est vraie.
		        
		  C'est le passage d'un barreau quelconque au suivant.
\item Conclusion : $P_n$  est vraie pour tout  entier $n \geq n_0$.
\end{itemize}

\subsection{Exemple}

Montrons que $\displaystyle{\sum_{q=1}^n q= 1+2+ \ldots + n=\cfrac{n(n+1)}{2}}$

~

Initialisation : \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\vspace{2ex}

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\vspace{4ex}

Hérédité : \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

~

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\vspace{18ex}


Conclusion : \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 


\section {Comportement d'une suite numérique}

Par "étudier le comportement de la suite $(u_n )$", on sous-entend étudier les propriétés du nombre $u_n$ lorsque l'entier $n$ devient de plus en plus grand (variations, encadrement, comportement à l'infini \ldots).



\subsection {Suites majorées, minorées, bornées }
 
 
\textbf{Définitions}

Soient $M$ et $m$ deux nombres réels. On dit que la suite $(u_n )$ est :

~

\begin{itemize}
 \item majorée par $M$ si \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
 
 ~
 
 \item 	minorée par  $m$ si \dots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
 
 ~
 
 \item   bornée si \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
 
 ~
 
\end{itemize}
 
   
\textbf{Exemples}
\begin{itemize}
\item   Soit la suite $\left(\cfrac{1}{n}\right)_{n\geq 1}=\{1/1  ; 1/2  ; 1/3  ; \ldots \} $
\vspace{12ex}
 \item Soit la suite $(n^2 )_{n\geq 0}=\{ \ldots \}$.
  \vspace{12ex}
\end{itemize}
 

   \subsection {Limite finie d'une suite }
   
 

\textbf{Définitions}

La suite $(u_n )$ admet pour limite le réel $\ell$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient \ldots \ldots \ldots \ldots

\vspace{1ex}

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\vspace{2ex}

On écrit alors : \quad $\ldots \dots \ldots$

~

\textbf{Interprétation graphique : }

\vspace{30ex}

 \subsection {Limite infinie d'une suite }
 
\textbf{Définitions}

Soit $A \in \R$. La suite $(u_n )$ admet pour limite $+\infty$ (resp. $-\infty$) si tout intervalle de la forme $]A ; +\infty[$ (resp. $]-\infty ;A[$) contient \ldots \dots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\vspace{8ex}

On écrit alors : \quad $\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

~

\textbf{Interprétation graphique : }

\vspace{32ex}

\subsection{Limites des suites usuelles }

\textbf{Théorèmes}

 $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow+\infty}}n= \ldots $ \qquad \qquad $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow+\infty}}n^2= \ldots $
 \qquad \qquad $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow+\infty}}\sqrt{n}= \ldots $
 
 ~
 
 $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow+\infty}}\cfrac{1}{n}= \ldots $ \qquad \qquad $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow+\infty}}\cfrac{1}{n^2}= \ldots $
 \qquad \qquad $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow+\infty}}\cfrac{1}{\sqrt{n}}= \ldots $
 
 ~
 
 Pour tout entier $k\geq 1$ :  \quad  $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow+\infty}}n^k= \ldots $
 \qquad \qquad $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow+\infty}}\cfrac{1}{n^k}= \ldots $



~

Preuve de $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow+\infty}}n^2 =+\infty$ : 

\vspace{22ex}

\section {Opérations sur les limites}


\subsection{Somme de deux suites }

\textbf{Somme de deux suites}

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline 
\lim_{n \rightarrow+\infty}u_n & \ell & \ell & \ell & +\infty & -\infty & + \infty \\
\hline
\lim_{n \rightarrow+\infty}v_n & \ell' & +\infty & -\infty & +\infty & -\infty & -\infty \\
\hline
\lim_{n \rightarrow+\infty}u_n+v_n & \qquad & \qquad & \qquad & \qquad & \qquad &  \qquad \\
\hline
\end{array}$$

~

~


\subsection{Produit de deux suites }


$$\begin{array}{|l|c|c|c|}
\hline 
\lim_{n \rightarrow+\infty}u_n & \ell  & \ell \neq 0 &  0 \\
															&       &  $ ou $\pm \infty &   \\  
\hline
\lim_{n \rightarrow+\infty}v_n & \ell' & \pm \infty & \pm \infty \\
\hline
\lim_{n \rightarrow+\infty}u_n\times v_n & \qquad & \qquad & \qquad  \\
\hline
\end{array}$$

~

~

\subsection{Quotient de deux suites }


$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline 
\lim_{n \rightarrow+\infty}u_n & \ell  & \ell  & 0 & \ell \neq 0 & \pm \infty &  \pm \infty  \\ 
\hline
\lim_{n \rightarrow+\infty}v_n & \ell'\neq 0 & \pm \infty & 0 & 0 & \ell' &  \pm \infty \\
\hline
\lim_{n \rightarrow+\infty}\frac{u_n}{v_n} & \cfrac{}{} & \qquad & \qquad & \qquad & \qquad &  \qquad \\
\hline
\end{array}$$

La règle des signes s'applique si $v_n$ est de signe constant sinon il n'y a pas de limite.

	\subsection{Exemple}
	

Etudier la limite de la suite $(u_n )$ définie sur $\N$ par :
$u_n=\cfrac{2}{3n+5}$

\vspace{12ex}

\subsection{Formes indéterminées}



Les cas des formes indéterminées nécessitent une étude particulière chaque fois qu'ils se présentent. Pour les mémoriser, on les note \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \dots 

mais ces écritures ne doivent jamais être utilisées dans une rédaction.

\vspace{1ex}

Le principe est toujours le même pour "lever" une indétermination : il faut changer l'écriture de la suite.

\textbf{Exemple 1 :}
$u_n=3n^2-n-5$


\vspace{16ex}


\textbf{Exemple 2 :}
$u_n=\cfrac{3n+5}{-2n+7}$

\vspace{18ex}

\textbf{Exemple 3 :}
$u_n=n-\sqrt{n}$

\vspace{16ex}


\section{Limites et comparaison}
\subsection{Comparaison}

\textbf{Théorèmes}

Soient deux suites $(u_n )$ et $(v_n )$ et un entier naturel $N$ tels que pour tout entier $n\geq  N$, $u_n\leq v_n$.

\begin{itemize}

\vspace{1ex}

\item 	Minoration :
si $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} u_n=+\infty}$, alors \ldots \ldots \ldots \dots 

~

\item	Majoration :
si $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} v_n=-\infty}$, alors \ldots \ldots \ldots \dots 
\end{itemize}

~

Démonstration du théorème de minoration (\textbf{ROC}) :

\vspace{34ex}

\textbf{Théorème "des gendarmes" (admis)}

On considère trois suites $(u_n )$ , $(v_n )$ et $(w_n )$. Soit un entier $N$ et un réel $\ell$.
On suppose que pour tout entier $n\geq N$, on a $u_n\leq v_n\leq w_n$.

Si les suites $(u_n )$ et $(w_n )$ convergent vers la même limite $\ell$, alors la suite $(v_n )$ \ldots \ldots \ldots. 


\subsection{Cas des suites monotones et convergentes}

\textbf{Théorème :}

Soit une suite $(u_n )$ convergeant vers un réel $\ell$.
Si la suite $(u_n )$ est croissante, alors elle est \ldots \ldots \ldots , 
c'est-à-dire que pour tout entier naturel $n$, \ldots \ldots.

\section{Convergence de certaines suites}
	\subsection{Convergence des suites monotones}
	
\textbf{Théorème :}

	Si $(u_n )$ est une suite croissante et majorée, alors elle \ldots \ldots.
	
	\vspace{1ex}
	
	Si $(u_n )$ est une suite décroissante et minorée, alors elle \ldots \ldots.

~

Attention : Ce théorème ne donne pas la valeur de la limite de la suite, mais seulement son existence et un majorant, ou un minorant de la suite.

~

\textbf{Corollaire :}
Une suite croissante non majorée \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

~

Preuve (\textbf{ROC}):

\vspace{19ex}

	\subsection{Limite d'une suite géométrique}	

\textbf{Théorème :} soit $q$ un réel. 

	Si $q>1$, alors la suite $(q^n )$ \ldots \ldots.
	
	~

	
	Si $-1<q<1$, alors la suite $(q^n )$ \ldots \ldots.
	
	~
	
	Si $q\leq -1$, alors la suite $(q^n )$ \ldots \ldots.

~

Preuve pour $q>1$ (\textbf{ROC}):

 \end{document}    
