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%création des ensembles de nombres
\font\bbw=msbm10
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\title[Présentation en Latex avec Beamer]{Cours de terminale S\\Statistiques}
\author{V. B. et S. B.}
\institute{Lycée des EK}
\date{}
%\date{\today}


\begin{document}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}


\section {Echantillonnage}

\subsection {Intervalle de fluctuation asymptotique}

\begin{frame}
On considère une variable aléatoire $X_n$ suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$.

\begin{block}{Propriété}

Pour tout $\alpha$ dans $]0; 1[$, on a : \alt<2->{\color<2>{blue}$$\lim_{n\rightarrow +\infty}P\left(\frac{X_n}{n} \in I_n \right)=1-\alpha$$ }
{$$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $$

~ }\pause \pause

où $I_n$ désigne l'intervalle \alt<4->{\color<4>{blue}$\left[p-u_{\alpha}\cfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}; p+u_{\alpha}\cfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right]$}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots


~

}\pause \pause

$u_{\alpha}$ a été défini dans le chapitre sur les lois à densités par l'égalité \alt<6->{\color<6>{blue}$P(-u_{\alpha} \leq Y \leq u_{\alpha})=1-\alpha $, où $Y$ suit la loi normale centrée réduite.}
{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots }\pause \pause

\end{block}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{exampleblock}{Démonstration}

$$\frac{X_n}{n}\in I_n \Leftrightarrow p-u_{\alpha}\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \leq \frac{X_n}{n}\leq p+u_{\alpha}\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}$$

\pause
En multipliant par $n$, on obtient :

$\cfrac{X_n}{n}\in I_n \Leftrightarrow \alt<3->{\color<3>{blue}np-u_{\alpha}\sqrt{np(1-p)} \leq X_n\leq np+u_{\alpha}\sqrt{np(1-p)}}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}$

\pause \pause

puis, en retranchant $np$ :

$\cfrac{X_n}{n}\in I_n \Leftrightarrow \alt<5->{\color<5>{blue}-u_{\alpha}\sqrt{np(1-p)} \leq X_n-np\leq u_{\alpha}\sqrt{np(1-p)}}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}$

\pause \pause

enfin, en divisant par $\sqrt{np(1-p)}$, ($\neq 0$):

$\cfrac{X_n}{n}\in I_n \Leftrightarrow \alt<7->{\color<7>{blue}-u_{\alpha} \leq \cfrac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\leq u_{\alpha}}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}$

\pause \pause

\end{exampleblock}

\end{frame}


\begin{frame}

\begin{exampleblock}{suite de la démonstration}

On pose $Z_n=\cfrac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}$;

le théorème de Moivre-Laplace, (chapitre lois à densités), nous dit que, pour tous réels $a$ et $b$,
$$\lim_{n\rightarrow +\infty}P\left(Z_n \in [a;b]\right)=\alt<2->{\color<2>{blue}\int_a^b\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\text{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}\text{d}x=P(a\leq Y \leq b)}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}$$\pause \pause

où Y suit la loi normale centrée réduite.  \pause

Donc 
$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}}P\left(\frac{X_n}{n} \in I_n \right)=$\alt<5->{\color<5>{blue} $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}}P(-u_{\alpha}\leq Z_n \leq u_{\alpha})$

$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad =P(-u_{\alpha}\leq Y\leq u_{\alpha})=1-\alpha .$}{$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ 

~

$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
$}
\pause \pause

\end{exampleblock}

\end{frame}

\begin{frame}

On définit la variable aléatoire $F_n$ par $F_n=\cfrac{X_n}{n}$, ($n>0$); $F_n$ représente la fréquence de succès. \pause

\begin{block}{Définition}

L'intervalle \alt<3->{\color<3>{blue}$\left[p-u_{\alpha}\cfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}; p+u_{\alpha}\cfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right]$ est un intervalle de fluctuation asymptotique de $F_n$ au seuil $1-\alpha$. Cet intervalle, déterminé à partir de $p$ et de $n$, contient $F_n$ avec une probabilité d'autant plus proche de $1-\alpha$ que $n$ est grand.}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 

~

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots  

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause 

\end{block} 

\end{frame}

\begin{frame}

Au seuil de $95\%$, $\alpha=0,05$ et $u_{\alpha}\simeq 1,96$. (Chapitre sur les lois à densités). \pause

On obtient alors la propriété d'approximation suivante qui est valable dès que $n\geq 30$, $np\geq 5$ et $n(1-p) \geq 5$ :

\begin{block}{Propriété}

L'intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ de $F_n$, la fréquence d'un caractère dans un 
échantillon de taille $n$, est 

\alt<3->{\color<3>{blue}$\left[p-1,96\cfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}; p+1,96\cfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right]$ où $p$ désigne la proportion de ce caractère dans la population.}{

~

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots }\pause \pause 

\end{block} 

\end{frame}

\begin{frame}

\textbf{Remarque}

Si $p \in ]0;1[$, alors $0\leq p(1-p)\leq \alt<2->{\color<2>{blue}0,25}{\ldots \ldots}$\pause \pause, donc $\sqrt{p(1-p)}\leq \alt<4->{\color<4>{blue}0,5}{\ldots }$\pause \pause 

et $1,96 \cfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\leq \alt<6->{\color<6>{blue}\cfrac{1}{\sqrt{n}}}{\ldots \ldots}$\, \pause \pause.

~

On obtient alors 

~

$\left[p-1,96\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}; p+1,96\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right] \subset$ \alt<8->{\color<8>{blue}$\left[p- \frac{1}{\sqrt{n}}; p+\frac{1}{\sqrt{n}} \right]$ qui 

~

est l'intervalle de fluctuation présenté en classe de seconde.}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

~

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause


\end{frame}

\subsection{Prise de décision}


\begin{frame}

L'intervalle de fluctuation asymptotique défini plus haut est utilisé, (lorsque les conditions de validité sont vérifiées, soit $n\geq 30$, $np\geq 5$ et $n(1-p) \geq 5$), dans l'élaboration d'un test permettant de vérifier une hypothèse. 

On considère une population dans laquelle on émet l'hypothèse $H$ que la proportion d'un caractère est $p$. 

On appelle $I$ l'intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence de ce caractère dans un échantillon aléatoire de taille $n$, au seuil de $95 \%$, sous l'hypothèse $H$.

\end{frame}

\begin{frame}

On observe alors la fréquence $f$ du caractère dans un échantillon de taille $n$. 

~

La règle de décision est :

~

$\bullet$ \qquad \alt<2->{\color<2>{blue}si $f \in I$, alors on accepte l'hypothèse $H$.}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause

~

$\bullet$ \qquad \alt<4->{\color<4>{blue}si $f \notin I$, alors on rejette l'hypothèse $H$.}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause

\end{frame}
 
 
\begin{frame}
 
\textbf{Remarques}

~

$\bullet$ \quad Au seuil de $95\%$, la probabilité que $f$, (obtenue dans un échantillon aléatoire), ne soit pas dans $I$ est $\alpha = 0,05$.
Cela signifie qu'il y a un risque de $5 \%$ de se tromper en rejetant l'hypothèse $H$ alors qu'elle est vraie.

~

$\bullet$ \quad Il est possible d'utiliser d'autres seuils, le plus courant après $95 \%$, étant $99 \%$; il faut alors remplacer, dans l'intervalle de fluctuation, le nombre $u_{0,05}\simeq1,96$ par le nombre $u_{0,01} \simeq 2,58$.
 
\end{frame}
 
\section{Estimation}

 \begin{frame}
 
On se propose ici d'estimer une proportion dans une population à partir de la fréquence observée sur un échantillon. C'est ce que l'on pratique par exemple lors d'un sondage.

 \end{frame}
 
\subsection{Propriété}

\begin{frame}

\begin{block}{Propriété}
On suppose que la variable aléatoire $X_n$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$. Pour tout réel $p \in ]0 ; 1[$, \alt<2->{\color<2>{blue}il existe un entier $n_0$ tel que :  si $n\geq n_0$, alors $P\left(p- \cfrac{1}{\sqrt{n}}\leq \cfrac{X_n}{n}\leq p+\cfrac{1}{\sqrt{n}} \right) >0,95$.}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

~

 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots }\pause \pause
\end{block}

 \end{frame}
  
\begin{frame}

\begin{exampleblock}{Démonstration}

On reprend les notations de la démonstration page 1;

si $Z_n=\frac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}$\, , d'après 
le théorème de Moivre-Laplace, on peut écrire :
$$\lim_{n\rightarrow +\infty}P\left(Z_n \in [-2;2]\right)=\alt<2->{\color<2>{blue}\int_{-2}^2\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\text{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}\text{d}x=P(-2\leq Y \leq 2)}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}$$ \pause \pause

où Y suit la loi normale centrée réduite.

~

Or : $P(-2\leq Y \leq 2)\simeq 0,954$

On obtient donc 
$$\alt<4->{\color<4>{blue}\lim_{n\rightarrow +\infty}P\left(p-2\cfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\leq \cfrac{X_n}{n}\leq p+2\cfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right)\simeq 0,954}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}$$ \pause \pause
 
\end{exampleblock}


\end{frame}

\begin{frame}

\begin{exampleblock}{suite de la démonstration}

D'après le cours sur les limites d'une suite, on peut déduire qu'il existe un entier $n_0$ tels que pour tout $n \geq n_0$,
 \begin{center}
\alt<2->{\color<2>{blue}$P\left(p-2\cfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\leq \cfrac{X_n}{n}\leq p+2\cfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right)>0,95$}{$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$} \pause \pause
\end{center}

D'après la remarque page 2, puisque $2\sqrt{p(1-p)}\leq 1$, on a l'inclusion \alt<4->{\color<4>{blue}$$\left[p-2\cfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}; p+2\cfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right] \subset \left[p- \cfrac{1}{\sqrt{n}}; p+\cfrac{1}{\sqrt{n}} \right]$$}{$$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$$} \pause \pause

En conclusion, on obtient donc :

\qquad \qquad \qquad \alt<6->{\color<6>{blue}$ P\left(p- \cfrac{1}{\sqrt{n}}\leq \cfrac{X_n}{n}\leq p+\cfrac{1}{\sqrt{n}} \right) >0,95$}{


\qquad \qquad \qquad \ldots \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause

\end{exampleblock}

\end{frame}

\subsection{Propriété}
 
\begin{frame}

\begin{block}{Propriété}
Soit $F_n$ la variable aléatoire qui à tout échantillon de taille $n$, extrait d'une population dans laquelle la proportion d'un caractère est $p$, associe la fréquence obtenue. Alors l'intervalle \alt<2->{\color<2>{blue}$\left[F_n- \cfrac{1}{\sqrt{n}}; F_n+\cfrac{1}{\sqrt{n}} \right]$ contient, pour $n$ assez grand, la proportion $p$ avec une probabilté égale au moins à $0,95$.}{

~

 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
 
~

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots}\pause \pause

\end{block}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{exampleblock}{Démonstration}

Puisque $F_n=\cfrac{X_n}{n}$\, , il suffit d'appliquer le résultat précédent en remarquant que :

\alt<2->{\color<2>{blue}$$p- \cfrac{1}{\sqrt{n}}\leq F_n \leq p+\cfrac{1}{\sqrt{n}} \Longleftrightarrow F_n- \cfrac{1}{\sqrt{n}}\leq p \leq F_n+\cfrac{1}{\sqrt{n}}$$}{
$$ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $$

~

}\pause \pause

\end{exampleblock}

\end{frame}

\subsection{Définition}

\begin{frame}

\begin{block}{Définition}
Soit $f$ la fréquence observée d'un caractère dans un échantillon de taille $n$, extrait d'une population dans laquelle la proportion de ce caractère est $p$. Alors l'intervalle \alt<2->{\color<2>{blue}$\left[f- \cfrac{1}{\sqrt{n}}; f+\cfrac{1}{\sqrt{n}} \right]$ est appelé intervalle de confiance de la proportion $p$ au niveau de confiance $0,95$.}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 

~

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots


\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause

\end{block}

~

Cet intervalle est la réalisation, à partir d'un échantillon, d'un intervalle aléatoire contenant la proportion $p$ avec une probabilité supérieure à $0,95$.

\end{frame}

 \end{document}    
