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%création des ensembles de nombres
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\begin{document}

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\begin{center} \Large \textbf{\fbox{\begin{minipage}{0.6\textwidth}
  \begin{center}Terminale S (2015-2016)\\Statistiques\end{center} 
\end{minipage}}} 
  \end{center}
 \vspace{4ex}


\section {Echantillonnage}

\subsection {Intervalle de fluctuation asymptotique}

On considère une variable aléatoire $X_n$ suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$.
         
    \subsubsection {Propriété}
     
 \begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}   
Pour tout $\alpha$ dans $]0; 1[$, on a : $$\lim_{n\rightarrow +\infty}P\left(\frac{X_n}{n} \in I_n \right)=1-\alpha$$
où $I_n$ désigne l'intervalle $\left[p-u_{\alpha}\cfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}; p+u_{\alpha}\cfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right]$.

~

$u_{\alpha}$ a été défini dans le chapitre sur les lois à densités par l'égalité $P(-u_{\alpha} \leq Y \leq u_{\alpha})=1-\alpha $, où $Y$ suit la loi normale centrée réduite.
\end{minipage}}
\end{center}

~

\textbf{Démonstration (exigible)}

$$\frac{X_n}{n}\in I_n \Leftrightarrow p-u_{\alpha}\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \leq \frac{X_n}{n}\leq p+u_{\alpha}\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}$$

En multipliant par $n$, on obtient :

$$\frac{X_n}{n}\in I_n \Leftrightarrow np-u_{\alpha}\sqrt{np(1-p)} \leq X_n\leq np+u_{\alpha}\sqrt{np(1-p)}$$

puis, en retranchant $np$ :

$$\frac{X_n}{n}\in I_n \Leftrightarrow -u_{\alpha}\sqrt{np(1-p)} \leq X_n-np\leq u_{\alpha}\sqrt{np(1-p)}$$

enfin, en divisant par $\sqrt{np(1-p)}$, ($\neq 0$):

$$\frac{X_n}{n}\in I_n \Leftrightarrow -u_{\alpha} \leq \frac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\leq u_{\alpha}$$

On pose $Z_n=\cfrac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}$;
le théorème de Moivre-Laplace, (chapitre lois à densités), nous dit que, pour tous réels $a$ et $b$,
$$\lim_{n\rightarrow +\infty}P\left(Z_n \in [a;b]\right)=\int_a^b\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\text{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}\text{d}x=P(a\leq Y \leq b)$$

où Y suit la loi normale centrée réduite.

Donc 
$$\lim_{n\rightarrow +\infty}P\left(\frac{X_n}{n} \in I_n \right)=\lim_{n\rightarrow +\infty}P(-u_{\alpha}\leq Z_n \leq u_{\alpha})=P(-u_{\alpha}\leq Y\leq u_{\alpha})=1-\alpha .$$

~

On définit la variable aléatoire $F_n$ par $F_n=\cfrac{X_n}{n}$, ($n>0$); $F_n$ représente la fréquence de succès.
 
\subsubsection{Définition}
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
L'intervalle $\left[p-u_{\alpha}\cfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}; p+u_{\alpha}\cfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right]$ est un intervalle de fluctuation asymptotique de $F_n$ au seuil $1-\alpha$. Cet intervalle, déterminé à partir de $p$ et de $n$, contient $F_n$ avec une probabilité d'autant plus proche de $1-\alpha$ que $n$ est grand.
\end{minipage}}
\end{center}

\subsubsection {Propriété}

Au seuil de $95\%$, $\alpha=0,05$ et $u_{\alpha}\simeq 1,96$. (Chapitre sur les lois à densités).

On obtient alors la propriété d'approximation suivante qui est valable dès que $n\geq 30$, $np\geq 5$ et $n(1-p) \geq 5$ :

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
L'intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ de $F_n$, la fréquence d'un caractère dans un échantillon de taille $n$, est $\left[p-1,96\cfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}; p+1,96\cfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right]$ où $p$ désigne la proportion de ce caractère dans la population.
\end{minipage}}
\end{center}


~

\textbf{Remarque}

Si $p \in ]0;1[$, alors $0\leq p(1-p)\leq 0,25$, donc $\sqrt{p(1-p)}\leq 0,5$ et $1,96 \cfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\leq \cfrac{1}{\sqrt{n}}$\, .

On obtient alors $\left[p-1,96\cfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}; p+1,96\cfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right] \subset \left[p- \cfrac{1}{\sqrt{n}}; p+\cfrac{1}{\sqrt{n}} \right]$ qui est l'intervalle de fluctuation présenté en classe de seconde.

\subsection{Prise de décision}

L'intervalle de fluctuation asymptotique défini plus haut est utilisé, (lorsque les conditions de validité sont vérifiées, soit $n\geq 30$, $np\geq 5$ et $n(1-p) \geq 5$), dans l'élaboration d'un test permettant de vérifier une hypothèse. On considère une population dans laquelle on émet l'hypothèse $H$ que la proportion d'un caractère est $p$. On appelle $I$ l'intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence de ce caractère dans un échantillon aléatoire de taille $n$, au seuil de $95 \%$, sous l'hypothèse $H$. 

On observe alors la fréquence $f$ du caractère dans un échantillon de taille $n$. 

~

La règle de décision est :
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
$\bullet$ \qquad si $f \in I$, alors on accepte l'hypothèse $H$.

$\bullet$ \qquad si $f \notin I$, alors on rejette l'hypothèse $H$.
\end{minipage}}
\end{center}

~

\textbf{Remarques}

$\bullet$ \quad Au seuil de $95\%$, la probabilité que $f$, (obtenue dans un échantillon aléatoire), ne soit pas dans $I$ est $\alpha = 0,05$.
Cela signifie qu'il y a un risque de $5 \%$ de se tromper en rejetant l'hypothèse $H$ alors qu'elle est vraie.

$\bullet$ \quad Il est possible d'utiliser d'autres seuils, le plus courant après $95 \%$, étant $99 \%$; il faut alors remplacer, dans l'intervalle de fluctuation, le nombre $u_{0,05}\simeq1,96$ par le nombre $u_{0,01} \simeq 2,58$.

\section{Estimation}

On se propose ici d'estimer une proportion dans une population à partir de la fréquence observée sur un échantillon. C'est ce que l'on pratique par exemple lors d'un sondage.

\subsection{Propriété}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
On suppose que la variable aléatoire $X_n$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$. Pour tout réel $p \in ]0 ; 1[$,  il existe un entier $n_0$ tel que :  si $n\geq n_0$, alors $P\left(p- \cfrac{1}{\sqrt{n}}\leq \cfrac{X_n}{n}\leq p+\cfrac{1}{\sqrt{n}} \right) >0,95$.
\end{minipage}}
\end{center}


\textbf{Démonstration}

On reprend les notations de la démonstration page 1;

si $Z_n=\cfrac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}$\, , d'après 
le théorème de Moivre-Laplace, on peut écrire :
$$\lim_{n\rightarrow +\infty}P\left(Z_n \in [-2;2]\right)=\int_{-2}^2\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\text{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}\text{d}x=P(-2\leq Y \leq 2)$$

où Y suit la loi normale centrée réduite.

~

Or : $P(-2\leq Y \leq 2)\simeq 0,954$

~

On obtient donc 
$$\lim_{n\rightarrow +\infty}P\left(p-2\cfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\leq \cfrac{X_n}{n}\leq p+2\cfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right)\simeq 0,954$$

D'après le cours sur les limites d'une suite, on peut déduire qu'il existe un entier $n_0$ tels que pour tout $n \geq n_0$, 
$$P\left(p-2\cfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\leq \cfrac{X_n}{n}\leq p+2\cfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right)>0,95$$

D'après la remarque page 2, puisque $2\sqrt{p(1-p)}\leq 1$, on a l'inclusion $$\left[p-2\cfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}; p+2\cfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right] \subset \left[p- \cfrac{1}{\sqrt{n}}; p+\cfrac{1}{\sqrt{n}} \right]$$

En conclusion, on obtient donc : $P\left(p- \cfrac{1}{\sqrt{n}}\leq \cfrac{X_n}{n}\leq p+\cfrac{1}{\sqrt{n}} \right) >0,95$

\subsection{Propriété}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
Soit $F_n$ la variable aléatoire qui à tout échantillon de taille $n$, extrait d'une population dans laquelle la proportion d'un caractère est $p$, associe la fréquence obtenue. Alors l'intervalle $\left[F_n- \cfrac{1}{\sqrt{n}}; F_n+\cfrac{1}{\sqrt{n}} \right]$ contient, pour $n$ assez grand, la proportion $p$ avec une probabilté égale au moins à $0,95$.
\end{minipage}}
\end{center}

\textbf{Démonstration}

Puisque $F_n=\cfrac{X_n}{n}$\, , il suffit d'appliquer le résultat précédent en remarquant que :

$$p- \cfrac{1}{\sqrt{n}}\leq F_n \leq p+\cfrac{1}{\sqrt{n}} \Longleftrightarrow F_n- \cfrac{1}{\sqrt{n}}\leq p \leq F_n+\cfrac{1}{\sqrt{n}}$$

\subsection{Définition}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
Soit $f$ la fréquence observée d'un caractère dans un échantillon de taille $n$, extrait d'une population dans laquelle la proportion de ce caractère est $p$. Alors l'intervalle $\left[f- \cfrac{1}{\sqrt{n}}; f+\cfrac{1}{\sqrt{n}} \right]$ est appelé intervalle de confiance de la proportion $p$ au niveau de confiance $0,95$.
\end{minipage}}
\end{center}

~

Cet intervalle est la réalisation, à partir d'un échantillon, d'un intervalle aléatoire contenant la proportion $p$ avec une probabilité supérieure à $0,95$.

 \end{document}    
