\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[francais]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}

\usepackage{textcomp}

\usepackage{graphicx}
\usepackage{array}

\usepackage{caption}
\usepackage{fancyhdr}

\usepackage[colorlinks,citecolor=blue,urlcolor=blue,linkcolor=blue,pagebackref=true]{hyperref}

\usepackage{enumerate}
\usepackage{pgf}

\usepackage{times}

\usepackage{pict2e,xcolor}
\usepackage{framed}

\setlength{\oddsidemargin}{-0.2cm}
\setlength{\textwidth}{15.8cm}
\setlength{\topmargin}{-1.5cm}
\setlength{\textheight}{24.8cm}
\parindent 0.8cm

%création des ensembles de nombres
\font\bbw=msbm10
\def\R{\hbox{\bbw R}}
\def\N{\hbox{\bbw N}}
\def\Z{\hbox{\bbw Z}}
\def\D{\hbox{\bbw D}}
\def\Q{\hbox{\bbw Q}}


\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead{}
\fancyfoot{}
\lfoot{\small{Bernelas-Bays}}
\rfoot{\small{Lycée Les Eucalyptus}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\renewcommand \headrulewidth{0pt}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}

 \begin{center} \Large \textbf{\fbox{\begin{minipage}{0.6\textwidth}
  \begin{center}Terminale S (2015-2016)\\Statistiques\end{center} 
\end{minipage}}} 
  \end{center}
 \vspace{4ex}


\section {Echantillonnage}

\subsection {Intervalle de fluctuation asymptotique}

On considère une variable aléatoire $X_n$ suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$.
         
    \subsubsection {Propriété}
     
 \begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}   
Pour tout $\alpha$ dans $]0; 1[$, on a : $$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $$

~

où $I_n$ désigne l'intervalle $\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $

~

$u_{\alpha}$ a été défini dans le chapitre sur les lois à densités par l'égalité \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

~

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
\end{minipage}}
\end{center}

~

\textbf{Démonstration (exigible)}

$$\frac{X_n}{n}\in I_n \Leftrightarrow \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $$

En multipliant par $n$, on obtient :

$$\frac{X_n}{n}\in I_n \Leftrightarrow \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $$

puis, en retranchant $np$ :

$$\frac{X_n}{n}\in I_n \Leftrightarrow \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $$

enfin, en divisant par $\sqrt{np(1-p)}$, ($\neq 0$):

$$\frac{X_n}{n}\in I_n \Leftrightarrow \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $$

On pose $Z_n=\cfrac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}$;
le théorème de Moivre-Laplace, (chapitre lois à densités), nous dit que, pour tous réels $a$ et $b$,
$$\lim_{n\rightarrow +\infty}P\left(Z_n \in [a;b]\right)=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$$

~

où Y suit la loi normale centrée réduite.

Donc 
$$\lim_{n\rightarrow +\infty}P\left(\frac{X_n}{n} \in I_n \right)=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$$

~

On définit la variable aléatoire $F_n$ par $F_n=\cfrac{X_n}{n}$, ($n>0$); $F_n$ représente la fréquence de succès.
 
\subsubsection{Définition}
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}

~

L'intervalle \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

~

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 

~

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
\end{minipage}}
\end{center}

\subsubsection {Propriété}

Au seuil de $95\%$, $\alpha=0,05$ et $u_{\alpha}\simeq 1,96$. (Chapitre sur les lois à densités).

On obtient alors la propriété d'approximation suivante qui est valable dès que $n\geq 30$, $np\geq 5$ et $n(1-p) \geq 5$ :

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}

~

L'intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ de $F_n$, la fréquence d'un caractère dans un 

~

échantillon de taille $n$, est \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

~

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
\end{minipage}}
\end{center}


~

\textbf{Remarque}

Si $p \in ]0;1[$, alors $0\leq p(1-p)\leq \ldots \ldots $, donc $\sqrt{p(1-p)}\leq \ldots  $\,  et $1,96 \cfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\leq \ldots \ldots $ 

On obtient alors $\left[p-1,96\cfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}; p+1,96\cfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right] \subset \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots  $

~

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\subsection{Prise de décision}

L'intervalle de fluctuation asymptotique défini plus haut est utilisé, (lorsque les conditions de validité sont vérifiées, soit $n\geq 30$, $np\geq 5$ et $n(1-p) \geq 5$), dans l'élaboration d'un test permettant de vérifier une hypothèse. On considère une population dans laquelle on émet l'hypothèse $H$ que la proportion d'un caractère est $p$. On appelle $I$ l'intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence de ce caractère dans un échantillon aléatoire de taille $n$, au seuil de $95 \%$, sous l'hypothèse $H$. 

On observe alors la fréquence $f$ du caractère dans un échantillon de taille $n$. 

~

La règle de décision est :
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}

~

$\bullet$ \qquad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

~

$\bullet$ \qquad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
\end{minipage}}
\end{center}

~

\textbf{Remarques}

$\bullet$ \quad Au seuil de $95\%$, la probabilité que $f$, (obtenue dans un échantillon aléatoire), ne soit pas dans $I$ est $\alpha = 0,05$.
Cela signifie qu'il y a un risque de $5 \%$ de se tromper en rejetant l'hypothèse $H$ alors qu'elle est vraie.

$\bullet$ \quad Il est possible d'utiliser d'autres seuils, le plus courant après $95 \%$, étant $99 \%$; il faut alors remplacer, dans l'intervalle de fluctuation, le nombre $u_{0,05}\simeq1,96$ par le nombre $u_{0,01} \simeq 2,58$.

\section{Estimation}

On se propose ici d'estimer une proportion dans une population à partir de la fréquence observée sur un échantillon. C'est ce que l'on pratique par exemple lors d'un sondage.

\subsection{Propriété}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
On suppose que la variable aléatoire $X_n$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$. Pour tout réel $p \in ]0 ; 1[$,  

~

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 
\end{minipage}}
\end{center}


\textbf{Démonstration}

On reprend les notations de la démonstration page 1;

si $Z_n=\cfrac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}$\, , d'après 
le théorème de Moivre-Laplace, on peut écrire :
$$\lim_{n\rightarrow +\infty}P\left(Z_n \in [-2;2]\right)=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$$

~

où Y suit la loi normale centrée réduite.

~

Or : $P(-2\leq Y \leq 2)\simeq 0,954$

~

On obtient donc 
$$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$$

~

D'après le cours sur les limites d'une suite, on peut déduire qu'il existe un entier $n_0$ tels que pour tout $n \geq n_0$, 
$$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$$

~

D'après la remarque page 2, puisque $2\sqrt{p(1-p)}\leq 1$, on a l'inclusion $$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$$

~

En conclusion, on obtient donc : \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\subsection{Propriété}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
Soit $F_n$ la variable aléatoire qui à tout échantillon de taille $n$, extrait d'une population dans laquelle la proportion d'un caractère est $p$, associe la fréquence obtenue. Alors l'intervalle 

~

 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
 
~

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
\end{minipage}}
\end{center}

\textbf{Démonstration}

Puisque $F_n=\cfrac{X_n}{n}$\, , il suffit d'appliquer le résultat précédent en remarquant que :

~

$$ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $$

\subsection{Définition}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
Soit $f$ la fréquence observée d'un caractère dans un échantillon de taille $n$, extrait d'une population dans laquelle la proportion de ce caractère est $p$. 

~

Alors l'intervalle \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

~

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
\end{minipage}}
\end{center}

~

Cet intervalle est la réalisation, à partir d'un échantillon, d'un intervalle aléatoire contenant la proportion $p$ avec une probabilité supérieure à $0,95$.

 \end{document}    
