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%création des ensembles de nombres
\font\bbw=msbm10
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\title[Présentation en Latex avec Beamer]{Cours de terminale S\\Produit scalaire dans l'espace}
\author{V. B. et S. B.}
\institute{Lycée des EK}
\date{}
%\date{\today}


\begin{document}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}


\section {Produit scalaire de deux vecteurs}

\subsection{Définitions}

\begin{frame}
Soient $\stackrel{\rightarrow}{u}$ et $\stackrel{\rightarrow}{v}$ deux vecteurs de l'espace. Soient $A$, $B$ et $C$ trois points tels que $\stackrel{\rightarrow}{u}=\stackrel{\longrightarrow}{AB}$ et $\stackrel{\rightarrow}{v}=\stackrel{\longrightarrow}{AC}$. 

~

Il existe au moins un plan $P$ contenant les points $A$, $B$ et $C$.

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{block}{Définition}

On appelle produit scalaire de l'espace de $\stackrel{\rightarrow}{u}$ et $\stackrel{\rightarrow}{v}$, noté \alt<2->{\color<2>{blue}$\stackrel{\rightarrow}{u}\cdot\stackrel{\rightarrow}{v}$, 
le  produit scalaire $\stackrel{\longrightarrow}{AB}\cdot\stackrel{\longrightarrow}{AC}$ dans le plan $P$. }{\ldots \ldots

\ldots \ldots \ldots \ldots\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause 


\end{block}

\begin{figure}[htbp]
\begin{minipage}{0.9\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{pscalaireim1.jpg}
\end{center}
\end{minipage}
\end{figure}

\end{frame}

\begin{frame}

On a ainsi, (rappels de première) :

~

$\bullet$ \quad $\stackrel{\rightarrow}{u}\cdot \stackrel{\rightarrow}{v}=$\alt<2->{\color<2>{blue}$\cfrac{1}{2}\left(||\stackrel{\rightarrow}{u}+\stackrel{\rightarrow}{v}||^2-||\stackrel{\rightarrow}{u}||^2 - ||\stackrel{\rightarrow}{v}||^2\right)$}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause

~

\qquad \qquad \alt<4->{\color<4>{blue}$=\cfrac{1}{2}\left(||\stackrel{\rightarrow}{u}||^2+||\stackrel{\rightarrow}{v}||^2-||\stackrel{\rightarrow}{u} - \stackrel{\rightarrow}{v}||^2\right)$}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause

~

$\bullet$ \quad si $\stackrel{\rightarrow}{u}=\stackrel{\rightarrow}{0}$ ou $\stackrel{\rightarrow}{v}=\stackrel{\rightarrow}{0}$, alors \alt<6->{\color<6>{blue}
$\stackrel{\rightarrow}{u}\cdot \stackrel{\rightarrow}{v}=0$.}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{block}{Définition avec l'angle:}

$$\stackrel{\rightarrow}{u}\cdot \stackrel{\rightarrow}{v}=\alt<2->{\color<2>{blue}||\stackrel{\rightarrow}{u}||\times ||\stackrel{\rightarrow}{v}||\times \cos (\widehat{BAC})}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}$$\pause \pause

\end{block}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{block}{Définition avec le projeté orthogonal:}

Si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$ et $K$ le projeté orthogonal de $B$ sur $(AC)$, alors :

~

$\stackrel{\longrightarrow}{AB}\cdot \stackrel{\longrightarrow}{AC}=$\alt<2->{\color<2>{blue}$\stackrel{\longrightarrow}{AB} \cdot \stackrel{\longrightarrow}{AH}=\stackrel{\longrightarrow}{AK} \cdot \stackrel{\longrightarrow}{AC}$, donc :}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause

~

$\stackrel{\longrightarrow}{AB}\cdot \stackrel{\longrightarrow}{AC}=$\alt<4->{\color<4>{blue}$AB\times AH$ si $\stackrel{\longrightarrow}{AB}$ et $\stackrel{\longrightarrow}{AH}$ sont de même sens,}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause

~

$\stackrel{\longrightarrow}{AB}\cdot \stackrel{\longrightarrow}{AC}=$\alt<6->{\color<6>{blue}$-AB\times AH$ si $\stackrel{\longrightarrow}{AB}$ et $\stackrel{\longrightarrow}{AH}$ sont de sens différents.}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause

\end{block}

\end{frame}

\subsection{Propriétés}

\begin{frame}

Soient $\stackrel{\rightarrow}{u}$, $\stackrel{\rightarrow}{v}$ et $\stackrel{\rightarrow}{w}$ trois vecteurs de l'espace et $k$ un réel. Alors :

$$\stackrel{\rightarrow}{u}\cdot \stackrel{\rightarrow}{u}=\alt<2->{\color<2>{blue}||\stackrel{\rightarrow}{u}||^2=\stackrel{\rightarrow}{u}^2}{\ldots \ldots \ldots \ldots}$$\pause \pause
$$\stackrel{\rightarrow}{u}\cdot \stackrel{\rightarrow}{v}=\alt<4->{\color<4>{blue}\stackrel{\rightarrow}{v}\cdot \stackrel{\rightarrow}{u}}{\ldots \ldots }$$\pause \pause
$$\stackrel{\rightarrow}{u}\cdot (\stackrel{\rightarrow}{v}+\stackrel{\rightarrow}{w})=\alt<6->{\color<6>{blue}\stackrel{\rightarrow}{u}\cdot \stackrel{\rightarrow}{v}+\stackrel{\rightarrow}{u}\cdot \stackrel{\rightarrow}{w}}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}$$\pause \pause
$$(k\stackrel{\rightarrow}{u})\cdot \stackrel{\rightarrow}{v}=\alt<8->{\color<8>{blue}k(\stackrel{\rightarrow}{u}\cdot \stackrel{\rightarrow}{v})=\stackrel{\rightarrow}{u}\cdot (k\stackrel{\rightarrow}{v})}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}$$\pause \pause

\end{frame}

\begin{frame}

$$(\stackrel{\rightarrow}{u} + \stackrel{\rightarrow}{v})^2=\alt<2->{\color<2>{blue}\stackrel{\rightarrow}{u}^2+2\stackrel{\rightarrow}{u}\cdot\stackrel{\rightarrow}{v}+\stackrel{\rightarrow}{v} ^2}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}$$\pause \pause
$$(\stackrel{\rightarrow}{u} - \stackrel{\rightarrow}{v})^2=\alt<4->{\color<4>{blue}\stackrel{\rightarrow}{u}^2 -2\stackrel{\rightarrow}{u}\cdot\stackrel{\rightarrow}{v}+\stackrel{\rightarrow}{v} ^2}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}$$\pause \pause
$$(\stackrel{\rightarrow}{u} + \stackrel{\rightarrow}{v})\cdot (\stackrel{\rightarrow}{u} - \stackrel{\rightarrow}{v})=\alt<6->{\color<6>{blue}\stackrel{\rightarrow}{u}^2 - \stackrel{\rightarrow}{v} ^2}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}$$\pause \pause

\end{frame}

\subsection {Orthogonalité}

\begin{frame}
	
\textbf{Propriétés}

Soient $\stackrel{\rightarrow}{u}$ et $\stackrel{\rightarrow}{v}$ deux vecteurs non nuls de l'espace.

~

$\bullet \quad  \stackrel{\rightarrow}{u} \text{ et } \stackrel{\rightarrow}{v} \text{ sont orthogonaux si et seulement si } \alt<2->{\color<2>{blue}\stackrel{\rightarrow}{u}\cdot \stackrel{\rightarrow}{v}=0.}{\ldots \ldots \ldots .}$\pause \pause

~

$\bullet \quad $ Si $(x;y;z)$ et $(x';y';z')$ sont les coordonnées respectives des vecteurs $\stackrel{\rightarrow}{u}$ et $\stackrel{\rightarrow}{v}$ dans un repère orthonormé, alors : $$\alt<4->{\color<4>{blue}\stackrel{\rightarrow}{u}\cdot \stackrel{\rightarrow}{v}=xx'+yy'+zz'\quad \text{et} \quad ||\stackrel{\rightarrow}{u}||=\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}$$\pause \pause


\textbf{Remarque}

Le vecteur nul est \alt<6->{\color<6>{blue}orthogonal à tous les vecteurs.}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots}\pause \pause

\end{frame}

\section {Equations cartésiennes de l'espace}
 
\subsection{Vecteur normal à un plan}

\begin{frame}

\begin{block}{Définition}

Un vecteur normal $\stackrel{\rightarrow}{n}$ à un plan $P$ est  \alt<2->{\color<2>{blue}un vecteur directeur d'une droite orthogonale à $P$.}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots  \ldots}\pause \pause

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{pscalaireim2.jpg}
\end{minipage}
\end{center}
\end{figure}

\end{block}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{block}{Théorème}

Une droite $d$ est orthogonale à toute droite d'un plan $P$ si et seulement si  \alt<2->{\color<2>{blue}elle est orthogonale à deux droites sécantes $d_1$ et $d_2$ de ce plan.}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause

\end{block}

~

\textbf{Preuve (exigible)}

$\Rightarrow$ : si $d$ est orthogonale à toute droite du plan $P$, \alt<4->{\color<4>{blue}elle est en particulier orthogonale aux droites $d_1$ et $d_2$ contenues dans $P$.}{\ldots \ldots \ldots \ldots 

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause
	
\end{frame}

\begin{frame}

$\Leftarrow$ : réciproquement on note $\stackrel{\rightarrow}{u}$, $\stackrel{\rightarrow}{v_1}$ et $\stackrel{\rightarrow}{v_2}$ des vecteurs directeurs des droites $d$, $d_1$ et $d_2$.

Comme $d$ est orthogonale à $d_1$ et $d_2$, alors \alt<2->{\color<2>{blue}$\stackrel{\rightarrow}{u}\cdot\stackrel{\rightarrow}{v_1}=0$\, et $\stackrel{\rightarrow}{u}\cdot\stackrel{\rightarrow}{v_2}=0$.}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots }\pause \pause

Soit $\Delta$ une droite du plan $P$, de vecteur directeur $\stackrel{\rightarrow}{w}$.

Les droites $d_1$ et $d_2$ sont sécantes, donc \alt<4->{\color<4>{blue}les vecteurs $\stackrel{\rightarrow}{v_1}$ et $\stackrel{\rightarrow}{v_2}$ ne sont pas colinéaires, et constituent donc une base du plan $P$. Ainsi, il existe deux réels $x$ et $y$ tels que $\stackrel{\rightarrow}{w}=x\stackrel{\rightarrow}{v_1}+y\stackrel{\rightarrow}{v_2}$.}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause

On a alors : $\stackrel{\rightarrow}{u}\cdot\stackrel{\rightarrow}{w}=$\alt<6->{\color<6>{blue}$\stackrel{\rightarrow}{u}\cdot (x\stackrel{\rightarrow}{v_1}+y\stackrel{\rightarrow}{v_2})=x\stackrel{\rightarrow}{u}\cdot\stackrel{\rightarrow}{v_1}+y\stackrel{\rightarrow}{u}\cdot\stackrel{\rightarrow}{v_2} =0$.}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause

Donc les vecteurs $\stackrel{\rightarrow}{u}$ et $\stackrel{\rightarrow}{w}$ \alt<8->{\color<8>{blue}sont orthogonaux, et donc la droite $d$ est orthogonale à la droite $\Delta$.}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause
	
	\end{frame}

\begin{frame}

\begin{block}{Propriété}

$P$ et $P'$ sont deux plans, de vecteurs normaux respectifs $\stackrel{\rightarrow}{n}$ et $\stackrel{\rightarrow}{n'}$.
Dire que les plans $P$ et $P'$ sont perpendiculaires signifie que \alt<2->{\color<2>{blue}$\stackrel{\rightarrow}{n}\cdot \stackrel{\rightarrow}{n'}=0$.}{\ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause

\end{block}

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{pscalaireim3.jpg}
\end{minipage}
\end{center}
\end{figure} 

\end{frame}

\subsection{Equations cartésiennes d'un plan}

\begin{frame}

\begin{block}{Théorème}

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O ; \stackrel{\rightarrow}{i}; \stackrel{\rightarrow}{j} ; \stackrel{\rightarrow}{k})$.

Un plan $P$ de vecteur normal $\stackrel{\rightarrow}{n} (a;b;c)$  non nul admet une équation cartésienne de la forme
 \alt<2->{\color<2>{blue}$ax+by+cz+d=0$  avec $d\in\R$.}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\ldots \ldots \ldots  }\pause \pause

Réciproquement, si $a$, $b$ et $c$ sont trois réels non tous nuls, l'ensemble des points $M(x ;y ;z)$ tels que \alt<4->{\color<4>{blue}$ax+by+cz+d=0$, avec $d\in\R$, est un plan de vecteur normal $\stackrel{\rightarrow}{n} (a;b;c)$.}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause

\end{block}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{exampleblock}{Preuve (exigible)}

Soit $A(x_A;y_A;z_A)$ un point de $P$.

$M(x;y;z) \in P \Leftrightarrow$\alt<2->{\color<2>{blue} $\stackrel{\longrightarrow}{AM}$ et $\stackrel{\rightarrow}{n}$ sont orthogonaux $\Leftrightarrow$}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \alt<3->{\color<3>{blue} $\stackrel{\longrightarrow}{AM}\cdot\stackrel{\rightarrow}{n}=0$}{\ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause

$\Leftrightarrow $\alt<5->{\color<5>{blue}$a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0$}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause

$\Leftrightarrow $\alt<7->{\color<7>{blue}$ax+by+cz-ax_A-by_A-cz_A=0$}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause

$\Leftrightarrow $\alt<9->{\color<9>{blue}$ax+by+cz +d=0$ \, avec $d=-ax_A-by_A-cz_A$.}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause

\end{exampleblock}

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{pscalaireim4.jpg}
\end{minipage}
\end{center}
\end{figure}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{exampleblock}{Réciproquement :}

Supposons par exemple que $a\neq 0$ \, ($a$, $b$ et $c$ non tous nuls).

On note $E$  l'ensemble des points $M(x;y;z)$ vérifiant l'équation $ax+by+cz+d=0$.
 
Alors le point \alt<2->{\color<2>{blue}$A(-d/a  ; 0 ; 0)$  vérifie l'équation $ax+by+cz+d=0$.
 Et donc $A \in E$.}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause

Soit un vecteur $\stackrel{\rightarrow}{n} (a;b;c)$. Pour tout point $M(x;y;z)$, on a : 

$\stackrel{\longrightarrow}{AM}\cdot \stackrel{\rightarrow}{n}=$\alt<4->{\color<4>{blue}$a(x+d/a)+b(y-0)+c(z-0)=ax+by+cz+d=0$.}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause

$E$ est donc l'ensemble des points $M(x;y;z)$ tels que \alt<6->{\color<6>{blue}$\stackrel{\longrightarrow}{AM}\cdot \stackrel{\rightarrow}{n}=0$.}{\ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause

Donc l'ensemble $E$ est \alt<8->{\color<8>{blue}le plan passant par $A$ et de vecteur normal $\stackrel{\rightarrow}{n} (a;b;c)$.}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause

\end{exampleblock}

\end{frame}

\begin{frame}

\textbf{Remarque}

~

L'équation cartésienne d'un plan n'est pas unique. 

Par exemple, le plan d'équation $x+y+3z+2=0$ a aussi pour équation \alt<2->{\color<2>{blue}$2x+2y+6z+4=0$.}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause

\end{frame}

\subsection{Equations cartésiennes d'une droite}

\begin{frame}

\begin{block}{Propriété}

Si les triplets $(a ; b ; c)$ et $(a'; b'; c')$ ne sont pas proportionnels, le système 

$$
\left\{
\begin{array}{ccc}
	ax+by+cz+d & = & 0 \\
	a' x+b' y+c' z+d' & = & 0 \\
\end{array}
\right. $$ 

caractérise \alt<2->{\color<2>{blue}une droite et il est appelé système d'équations cartésiennes de cette droite.}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause

\end{block}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{exampleblock}{Preuve}

Si les vecteurs $\stackrel{\rightarrow}{n} (a;b;c)$  et $\stackrel{\rightarrow}{n'} (a'; b'; c')$ ne sont pas colinéaires, alors les plans $P$ et $P'$ d'équations respectives $ax+by+cz+d=0$  et $a' x+b' y+c' z+d'=0$  sont \alt<2->{\color<2>{blue}sécants selon une seule droite.}{\ldots \ldots \ldots

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause

\end{exampleblock}

\end{frame}



 \end{document}    
