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%création des ensembles de nombres
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\begin{document}

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	\begin{center} \Large \textbf{\fbox{\begin{minipage}{0.6\textwidth}
  \begin{center}Terminale S (2016-2017)\\Produit scalaire dans l'espace\end{center} 
\end{minipage}}} 
  \end{center}

\vspace{6ex}


\section {Produit scalaire de deux vecteurs}

\subsection{Définitions}

Soient $\stackrel{\rightarrow}{u}$ et $\stackrel{\rightarrow}{v}$ deux vecteurs de l'espace. Soient $A$, $B$ et $C$ trois points tels que $\stackrel{\rightarrow}{u}=\stackrel{\longrightarrow}{AB}$ et $\stackrel{\rightarrow}{v}=\stackrel{\longrightarrow}{AC}$. 

Il existe au moins un plan $P$ contenant les points $A$, $B$ et $C$.

~

\textbf{Définition :}

On appelle produit scalaire de l'espace de $\stackrel{\rightarrow}{u}$ et $\stackrel{\rightarrow}{v}$, noté  $\stackrel{\rightarrow}{u}\cdot\stackrel{\rightarrow}{v}$, 
le  produit scalaire $\stackrel{\longrightarrow}{AB}\cdot\stackrel{\longrightarrow}{AC}$ dans le plan $P$.

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\begin{minipage}{0.8\textwidth}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{pscalaireim1.jpg}
\end{minipage}
\end{center}
\end{figure}

On a ainsi, (rappels de première) :

$\bullet$ \quad $\stackrel{\rightarrow}{u}\cdot \stackrel{\rightarrow}{v}=\cfrac{1}{2}\left(||\stackrel{\rightarrow}{u}+\stackrel{\rightarrow}{v}||^2-||\stackrel{\rightarrow}{u}||^2 - ||\stackrel{\rightarrow}{v}||^2\right)=\cfrac{1}{2}\left(||\stackrel{\rightarrow}{u}||^2+||\stackrel{\rightarrow}{v}||^2-||\stackrel{\rightarrow}{u} - \stackrel{\rightarrow}{v}||^2\right)$

$\bullet$ \quad si $\stackrel{\rightarrow}{u}=\stackrel{\rightarrow}{0}$ ou $\stackrel{\rightarrow}{v}=\stackrel{\rightarrow}{0}$, alors
$\stackrel{\rightarrow}{u}\cdot \stackrel{\rightarrow}{v}=0$.

~

\textbf{Définition avec l'angle:}

$\stackrel{\rightarrow}{u}\cdot \stackrel{\rightarrow}{v}=||\stackrel{\rightarrow}{u}||\times ||\stackrel{\rightarrow}{v}||\times \cos (\widehat{BAC})$

~

\textbf{Définition avec le projeté orthogonal:}

Si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$ et $K$ le projeté orthogonal de $B$ sur $(AC)$, alors :

$\stackrel{\longrightarrow}{AB}\cdot \stackrel{\longrightarrow}{AC}=\stackrel{\longrightarrow}{AB} \cdot \stackrel{\longrightarrow}{AH}=\stackrel{\longrightarrow}{AK} \cdot \stackrel{\longrightarrow}{AC}$, donc :

$\stackrel{\longrightarrow}{AB}\cdot \stackrel{\longrightarrow}{AC}=AB\times AH$ si $\stackrel{\longrightarrow}{AB}$ et $\stackrel{\longrightarrow}{AH}$ sont de même sens,

$\stackrel{\longrightarrow}{AB}\cdot \stackrel{\longrightarrow}{AC}=-AB\times AH$ si $\stackrel{\longrightarrow}{AB}$ et $\stackrel{\longrightarrow}{AH}$ sont de sens différents.

\subsection{Propriétés}

Soient $\stackrel{\rightarrow}{u}$, $\stackrel{\rightarrow}{v}$ et $\stackrel{\rightarrow}{w}$ trois vecteurs de l'espace et $k$ un réel. Alors :

$$\stackrel{\rightarrow}{u}\cdot \stackrel{\rightarrow}{u}=||\stackrel{\rightarrow}{u}||^2=\stackrel{\rightarrow}{u}^2$$
$$\stackrel{\rightarrow}{u}\cdot \stackrel{\rightarrow}{v}=\stackrel{\rightarrow}{v}\cdot \stackrel{\rightarrow}{u}$$
$$\stackrel{\rightarrow}{u}\cdot (\stackrel{\rightarrow}{v}+\stackrel{\rightarrow}{w})=\stackrel{\rightarrow}{u}\cdot \stackrel{\rightarrow}{v}+\stackrel{\rightarrow}{u}\cdot \stackrel{\rightarrow}{w}$$
$$(k\stackrel{\rightarrow}{u})\cdot \stackrel{\rightarrow}{v}=k(\stackrel{\rightarrow}{u}\cdot \stackrel{\rightarrow}{v})=\stackrel{\rightarrow}{u}\cdot (k\stackrel{\rightarrow}{v})$$
$$(\stackrel{\rightarrow}{u} + \stackrel{\rightarrow}{v})^2=\stackrel{\rightarrow}{u}^2+2\stackrel{\rightarrow}{u}\cdot\stackrel{\rightarrow}{v}+\stackrel{\rightarrow}{v} ^2$$
$$(\stackrel{\rightarrow}{u} - \stackrel{\rightarrow}{v})^2=\stackrel{\rightarrow}{u}^2 -2\stackrel{\rightarrow}{u}\cdot\stackrel{\rightarrow}{v}+\stackrel{\rightarrow}{v} ^2$$
$$(\stackrel{\rightarrow}{u} + \stackrel{\rightarrow}{v})\cdot (\stackrel{\rightarrow}{u} - \stackrel{\rightarrow}{v})=\stackrel{\rightarrow}{u}^2 - \stackrel{\rightarrow}{v} ^2$$

\subsection {Orthogonalité}

\textbf{Propriétés}

Soient $\stackrel{\rightarrow}{u}$ et $\stackrel{\rightarrow}{v}$ deux vecteurs non nuls de l'espace.


$\bullet \quad  \stackrel{\rightarrow}{u} \text{ et } \stackrel{\rightarrow}{v} \text{ sont orthogonaux si et seulement si } \stackrel{\rightarrow}{u}\cdot \stackrel{\rightarrow}{v}=0$.

$\bullet \quad $ Si $(x;y;z)$ et $(x';y';z')$ sont les coordonnées respectives des vecteurs $\stackrel{\rightarrow}{u}$ et $\stackrel{\rightarrow}{v}$ dans un repère orthonormé, alors : $$\stackrel{\rightarrow}{u}\cdot \stackrel{\rightarrow}{v}=xx'+yy'+zz'\quad \text{et} \quad ||\stackrel{\rightarrow}{u}||=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$ 

\textbf{Remarque}

Le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs.


\section {Equations cartésiennes de l'espace}
 
 
\subsection{Vecteur normal à un plan}

\textbf{Définition}

Un vecteur normal $\stackrel{\rightarrow}{n}$ à un plan $P$ est un vecteur directeur d'une droite orthogonale à $P$.

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{pscalaireim2.jpg}
\end{minipage}
\end{center}
\end{figure}

\textbf{Théorème}

Une droite $d$ est orthogonale à toute droite d'un plan $P$ si et seulement si  elle est orthogonale à deux droites sécantes $d_1$ et $d_2$ de ce plan.

~

\textbf{Preuve (exigible)}

$\Rightarrow$ : si $d$ est orthogonale à toute droite du plan $P$, elle est en particulier orthogonale aux droites $d_1$ et $d_2$ contenues dans $P$.

$\Leftarrow$ : réciproquement on note $\stackrel{\rightarrow}{u}$, $\stackrel{\rightarrow}{v_1}$ et $\stackrel{\rightarrow}{v_2}$ des vecteurs directeurs des droites $d$, $d_1$ et $d_2$.

Comme $d$ est orthogonale à $d_1$ et $d_2$, alors $\stackrel{\rightarrow}{u}\cdot\stackrel{\rightarrow}{v_1}=0$\, et $\stackrel{\rightarrow}{u}\cdot\stackrel{\rightarrow}{v_2}=0$.

Soit $\Delta$ une droite du plan $P$, de vecteur directeur $\stackrel{\rightarrow}{w}$.

Les droites $d_1$ et $d_2$ sont sécantes, donc les vecteurs $\stackrel{\rightarrow}{v_1}$ et $\stackrel{\rightarrow}{v_2}$ ne sont pas colinéaires, et constituent donc une base du plan $P$. Ainsi, il existe deux réels $x$ et $y$ tels que $\stackrel{\rightarrow}{w}=x\stackrel{\rightarrow}{v_1}+y\stackrel{\rightarrow}{v_2}$.

On a alors : $\stackrel{\rightarrow}{u}\cdot\stackrel{\rightarrow}{w}=\stackrel{\rightarrow}{u}\cdot (x\stackrel{\rightarrow}{v_1}+y\stackrel{\rightarrow}{v_2})=x\stackrel{\rightarrow}{u}\cdot\stackrel{\rightarrow}{v_1}+y\stackrel{\rightarrow}{u}\cdot\stackrel{\rightarrow}{v_2} =0$.

Donc les vecteurs $\stackrel{\rightarrow}{u}$ et $\stackrel{\rightarrow}{w}$ sont orthogonaux, et donc la droite $d$ est orthogonale à la droite $\Delta$.

~
 
\textbf{Propriété}

$P$ et $P'$ sont deux plans, de vecteurs normaux respectifs $\stackrel{\rightarrow}{n}$ et $\stackrel{\rightarrow}{n'}$.

Dire que les plans $P$ et $P'$ sont perpendiculaires signifie que $\stackrel{\rightarrow}{n}\cdot \stackrel{\rightarrow}{n'}=0$.

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{pscalaireim3.jpg}
\end{minipage}
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\end{figure}


\subsection{Equations cartésiennes d'un plan}

\textbf{Théorème}

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O ; \stackrel{\rightarrow}{i}; \stackrel{\rightarrow}{j} ; \stackrel{\rightarrow}{k})$.

Un plan $P$ de vecteur normal $\stackrel{\rightarrow}{n} (a;b;c)$  non nul admet une équation cartésienne de la forme
 $ax+by+cz+d=0$  avec $d\in\R$.

Réciproquement, si $a$, $b$ et $c$ sont trois réels non tous nuls, l'ensemble des points $M(x ;y ;z)$ tels que $ax+by+cz+d=0$, avec $d\in\R$, est un plan de vecteur normal $\stackrel{\rightarrow}{n} (a;b;c)$.

~

\textbf{Preuve (exigible)}

Soit $A(x_A;y_A;z_A)$ un point de $P$.

$M(x;y;z) \in P \Leftrightarrow \stackrel{\longrightarrow}{AM}$ et $\stackrel{\rightarrow}{n}$ sont orthogonaux $\Leftrightarrow \stackrel{\longrightarrow}{AM}\cdot\stackrel{\rightarrow}{n}=0$

$\Leftrightarrow a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0$

$\Leftrightarrow ax+by+cz-ax_A-by_A-cz_A=0$

$\Leftrightarrow ax+by+cz +d=0$ \, avec $d=-ax_A-by_A-cz_A$.

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{pscalaireim4.jpg}
\end{minipage}
\end{center}
\end{figure}


Réciproquement :

Supposons par exemple que $a\neq 0$ \, ($a$, $b$ et $c$ non tous nuls).

On note $E$  l'ensemble des points $M(x;y;z)$ vérifiant l'équation $ax+by+cz+d=0$.
 
Alors le point $A(-d/a  ; 0 ; 0)$  vérifie l'équation $ax+by+cz+d=0$.
 
Et donc $A \in E$.

Soit un vecteur $\stackrel{\rightarrow}{n} (a;b;c)$. Pour tout point $M(x;y;z)$, on a : 

$\stackrel{\longrightarrow}{AM}\cdot \stackrel{\rightarrow}{n}=a(x+d/a)+b(y-0)+c(z-0)=ax+by+cz+d=0$.

$E$ est donc l'ensemble des points $M(x;y;z)$ tels que $\stackrel{\longrightarrow}{AM}\cdot \stackrel{\rightarrow}{n}=0$.

Donc l'ensemble $E$ est le plan passant par $A$ et de vecteur normal $\stackrel{\rightarrow}{n} (a;b;c)$.

~

\textbf{Remarque}

L'équation cartésienne d'un plan n'est pas unique. 

Par exemple, le plan d'équation $x+y+3z+2=0$ a aussi pour équation $2x+2y+6z+4=0$.


	\subsection{Equations cartésiennes d'une droite}

\textbf{Propriété}
Si les triplets $(a ; b ; c)$ et $(a'; b'; c')$ ne sont pas proportionnels, le système 

$$
\left\{
\begin{array}{ccc}
	ax+by+cz+d & = & 0 \\
	a' x+b' y+c' z+d' & = & 0 \\
\end{array}
\right. $$ 

caractérise une droite et il est appelé système d'équations cartésiennes de cette droite.

~

\textbf{Preuve}

Si les vecteurs $\stackrel{\rightarrow}{n} (a;b;c)$  et $\stackrel{\rightarrow}{n'} (a'; b'; c')$ ne sont pas colinéaires, alors les plans $P$ et $P'$ d'équations respectives $ax+by+cz+d=0$  et $a' x+b' y+c' z+d'=0$  sont sécants selon une seule droite.

 \end{document}    
