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%création des ensembles de nombres
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\begin{document}

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	\begin{center} \Large \textbf{\fbox{\begin{minipage}{0.6\textwidth}
  \begin{center}Terminale S (2016-2017)\\Produit scalaire dans l'espace\end{center} 
\end{minipage}}} 
  \end{center}

\vspace{6ex}


\section {Produit scalaire de deux vecteurs}

\subsection{Définitions}

Soient $\stackrel{\rightarrow}{u}$ et $\stackrel{\rightarrow}{v}$ deux vecteurs de l'espace. Soient $A$, $B$ et $C$ trois points tels que $\stackrel{\rightarrow}{u}=\stackrel{\longrightarrow}{AB}$ et $\stackrel{\rightarrow}{v}=\stackrel{\longrightarrow}{AC}$. 

Il existe au moins un plan $P$ contenant les points $A$, $B$ et $C$.

~

\textbf{Définition :}

On appelle produit scalaire de l'espace de $\stackrel{\rightarrow}{u}$ et $\stackrel{\rightarrow}{v}$, noté  \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\begin{minipage}{0.8\textwidth}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{pscalaireim1.jpg}
\end{minipage}
\end{center}
\end{figure}

On a ainsi, (rappels de première) :

$\bullet$ \quad $\stackrel{\rightarrow}{u}\cdot \stackrel{\rightarrow}{v}= \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

~

$\bullet$ \quad si $\stackrel{\rightarrow}{u}=\stackrel{\rightarrow}{0}$ ou $\stackrel{\rightarrow}{v}=\stackrel{\rightarrow}{0}$, alors
\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 

~

\textbf{Définition avec l'angle:}

$\stackrel{\rightarrow}{u}\cdot \stackrel{\rightarrow}{v}=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

~

\textbf{Définition avec le projeté orthogonal:}

Si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$ et $K$ le projeté orthogonal de $B$ sur $(AC)$, alors :

$\stackrel{\longrightarrow}{AB}\cdot \stackrel{\longrightarrow}{AC}=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $

$\stackrel{\longrightarrow}{AB}\cdot \stackrel{\longrightarrow}{AC}=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

$\stackrel{\longrightarrow}{AB}\cdot \stackrel{\longrightarrow}{AC}=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

\subsection{Propriétés}

Soient $\stackrel{\rightarrow}{u}$, $\stackrel{\rightarrow}{v}$ et $\stackrel{\rightarrow}{w}$ trois vecteurs de l'espace et $k$ un réel. Alors :

$$\stackrel{\rightarrow}{u}\cdot \stackrel{\rightarrow}{u}=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$$
$$\stackrel{\rightarrow}{u}\cdot \stackrel{\rightarrow}{v}=\ldots \ldots \ldots \ldots$$
$$\stackrel{\rightarrow}{u}\cdot (\stackrel{\rightarrow}{v}+\stackrel{\rightarrow}{w})=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$$
$$(k\stackrel{\rightarrow}{u})\cdot \stackrel{\rightarrow}{v}=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$$
$$(\stackrel{\rightarrow}{u} + \stackrel{\rightarrow}{v})^2=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$$
$$(\stackrel{\rightarrow}{u} - \stackrel{\rightarrow}{v})^2=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$$
$$(\stackrel{\rightarrow}{u} + \stackrel{\rightarrow}{v})\cdot (\stackrel{\rightarrow}{u} - \stackrel{\rightarrow}{v})=\ldots \ldots \ldots \ldots$$

\subsection {Orthogonalité}

\textbf{Propriétés}

Soient $\stackrel{\rightarrow}{u}$ et $\stackrel{\rightarrow}{v}$ deux vecteurs non nuls de l'espace.


$\bullet \quad  \stackrel{\rightarrow}{u} \text{ et } \stackrel{\rightarrow}{v} \text{ sont orthogonaux si et seulement si } \ldots \ldots \ldots \ldots$.

$\bullet \quad $ Si $(x;y;z)$ et $(x';y';z')$ sont les coordonnées respectives des vecteurs $\stackrel{\rightarrow}{u}$ et $\stackrel{\rightarrow}{v}$ dans un repère orthonormé, alors : $$\stackrel{\rightarrow}{u}\cdot \stackrel{\rightarrow}{v}=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$$ 

\textbf{Remarque}

Le vecteur nul est \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots


\section {Equations cartésiennes de l'espace}
 
 
\subsection{Vecteur normal à un plan}

\textbf{Définition}

Un vecteur normal $\stackrel{\rightarrow}{n}$ à un plan $P$ est \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{pscalaireim2.jpg}
\end{minipage}
\end{center}
\end{figure}

\textbf{Théorème}

Une droite $d$ est orthogonale à toute droite d'un plan $P$ si et seulement si  \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

~

\textbf{Preuve (exigible)}

$\Rightarrow$ : si $d$ est orthogonale à toute droite du plan $P$, \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

~

$\Leftarrow$ : réciproquement on note $\stackrel{\rightarrow}{u}$, $\stackrel{\rightarrow}{v_1}$ et $\stackrel{\rightarrow}{v_2}$ des vecteurs directeurs des droites $d$, $d_1$ et $d_2$.

Comme $d$ est orthogonale à $d_1$ et $d_2$, alors \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

Soit $\Delta$ une droite du plan $P$, de vecteur directeur $\stackrel{\rightarrow}{w}$.

Les droites $d_1$ et $d_2$ sont sécantes, \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

On a alors : $\stackrel{\rightarrow}{u}\cdot\stackrel{\rightarrow}{w}=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $

~

Donc les vecteurs $\stackrel{\rightarrow}{u}$ et $\stackrel{\rightarrow}{w}$ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

~
 
\textbf{Propriété}

$P$ et $P'$ sont deux plans, de vecteurs normaux respectifs $\stackrel{\rightarrow}{n}$ et $\stackrel{\rightarrow}{n'}$.

Dire que les plans $P$ et $P'$ sont perpendiculaires signifie que \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{pscalaireim3.jpg}
\end{minipage}
\end{center}
\end{figure}


\subsection{Equations cartésiennes d'un plan}

\textbf{Théorème}

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O ; \stackrel{\rightarrow}{i}; \stackrel{\rightarrow}{j} ; \stackrel{\rightarrow}{k})$.

Un plan $P$ de vecteur normal $\stackrel{\rightarrow}{n} (a;b;c)$  non nul admet une équation cartésienne de la forme
 
\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

~

Réciproquement, si $a$, $b$ et $c$ sont trois réels non tous nuls, l'ensemble des points $M(x ;y ;z)$ tels que 

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

~

\textbf{Preuve (exigible)}

Soit $A(x_A;y_A;z_A)$ un point de $P$.

$M(x;y;z) \in P \Leftrightarrow $ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $\Leftrightarrow $\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

$\Leftrightarrow \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

$\Leftrightarrow \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

$\Leftrightarrow \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$.

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{pscalaireim4.jpg}
\end{minipage}
\end{center}
\end{figure}


Réciproquement :

Supposons par exemple que $a\neq 0$ \, ($a$, $b$ et $c$ non tous nuls).

On note $E$  l'ensemble des points $M(x;y;z)$ vérifiant l'équation $ax+by+cz+d=0$.
 
Alors le point \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
 
\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 

~

Soit un vecteur $\stackrel{\rightarrow}{n} (a;b;c)$. Pour tout point $M(x;y;z)$, on a : 

$\stackrel{\longrightarrow}{AM}\cdot \stackrel{\rightarrow}{n}=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

$E$ est donc l'ensemble des points $M(x;y;z)$ tels que \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

Donc l'ensemble $E$ est \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

~

\textbf{Remarque}

L'équation cartésienne d'un plan n'est pas unique. 

Par exemple, le plan d'équation $x+y+3z+2=0$ a aussi pour équation \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 


	\subsection{Equations cartésiennes d'une droite}

\textbf{Propriété}
Si les triplets $(a ; b ; c)$ et $(a'; b'; c')$ ne sont pas proportionnels, le système 

$$
\left\{
\begin{array}{ccc}
	ax+by+cz+d & = & 0 \\
	a' x+b' y+c' z+d' & = & 0 \\
\end{array}
\right. $$ 

caractérise \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

~

\textbf{Preuve}

Si les vecteurs $\stackrel{\rightarrow}{n} (a;b;c)$  et $\stackrel{\rightarrow}{n'} (a'; b'; c')$ ne sont pas colinéaires, alors les plans $P$ et $P'$ d'équations respectives $ax+by+cz+d=0$  et $a' x+b' y+c' z+d'=0$  sont \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

 \end{document}    
