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%création des ensembles de nombres
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\title[Diaporama du cours]{Cours de terminale S\\Probabilités\\Conditionnement et indépendance}
\author{V. B. J. D. S. B.}
\institute{Lycée des EK}
\date{\today}
%\date{\today}


\begin{document}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}


\section{Probabilité conditionnelle}

\subsection{Définition}

\begin{frame}{Probabilité conditionnelle}

\begin{block}{Définition}
Soit $P$ une probabilité sur un univers $\Omega$  et soit $A$ un événement de probabilité non nulle.

Pour tout événement $B$, on appelle probabilité de $B$ sachant $A$ le réel, noté $ P_{A}(B)$, défini par : 
$$ P_{A}(B) = \alt<2->{\color<2>{blue}{ \cfrac{P(A \cap B)}{P(A)}}}{\ldots \ldots \ldots}
$$ \pause
\end{block}


\end{frame}

\subsection{Propriétés}


\begin{frame}

\begin{block}{Propriété}

$P_{A}$ est une probabilité, dite \textbf{probabilité conditionnelle}, définie sur $\Omega$.
\end{block}

~

En effet $P_{A}$  vérifie les propriétés d'une probabilité :

\begin{itemize}
\pause \item $P_{A}(\Omega)=$ \alt<3->{\color<3>{blue}{$\cfrac{P(A \cap \Omega)}{P(A)}=\cfrac{P(A)}{P(A)}=1$}}{\ldots \ldots \ldots} \pause

\pause \item $P_{A}(\emptyset)=$ \alt<5->{\color<5>{blue}{$\cfrac{P(A \cap \emptyset)}{P(A)}=\cfrac{P(\emptyset)}{P(A)}=0$}}{\ldots \ldots \ldots} \pause

\pause \item Pour tout événements $B$ et $C$ incompatibles, ($B\cap C=\emptyset$), on a : $P_{A}(B \cup C)=P_{A}(B)+P_{A}(C)$.
\end{itemize}


\end{frame}

\begin{frame}


\begin{block}{Propriétés}
\begin{itemize}
	\pause \item $P_A(A)=$ \alt<3->{\color<3>{blue}{$1$}}{\ldots \ldots \ldots} \pause

~

	\pause \item si $A$ et $B$ sont incompatibles alors  \alt<5->{\color<5>{blue}{$P_A(B)=0$}}{\ldots \ldots \ldots} \pause
	
	~
	
 \pause \item $P_A(\overline{B})=$ \alt<7->{\color<7>{blue}{$1-P_A(B)$}}{\ldots \ldots \ldots} \pause
 \end{itemize}
\end{block}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{exampleblock}{Démonstration}
\begin{itemize}
\pause \item $P_{A}(A)=$ \alt<3->{\color<3>{blue}{$\cfrac{P(A \cap A)}{P(A)}=\cfrac{P(A)}{P(A)}=1$}}{\ldots \ldots \ldots} \pause

\pause \item $P_{A}(B)=$ \alt<5->{\color<5>{blue}{$\cfrac{P(A \cap B)}{P(A)}=\cfrac{0}{P(A)}=0$}}{\ldots \ldots \ldots} \pause

\pause \color<6>{blue}{car si $A$ et $B$ sont incompatibles, alors $A\cap B=\emptyset$} 

\pause \item  $P_{A}(\overline{B})=$ \alt<8->{\color<8>{blue}{$\cfrac{P(\overline{B}\cap A)}{P(A)}=\cfrac{P(A)-P(B\cap A)}{P(A)}$}}{\ldots \ldots \ldots} \pause

\pause \color<9>{blue}car $P(A)=P(A\cap B) + P(A\cap\overline{B})$

\pause \color<10>{blue}donc $P_{A}(\overline{B})=1-\cfrac{P(B\cap A)}{P(A)}=1-P_A(B)$

\end{itemize}
\end{exampleblock}

\end{frame}

\subsection{Probabilité d'une intersection}

\begin{frame}

 Soit $A$ et $B$ des événements de probabilité non nulle, on a :

\pause $P_{A}(B)=\cfrac{P(A \cap B)}{P(A)} \quad $ donc \alt<3->{\color<3>{blue}{$ P(A \cap B)=P_{A}(B)\times P(A)$.}}{\ldots \ldots \ldots} \pause

\pause de même :

 $P_{B}(A)=\cfrac{P(A \cap B)}{P(B)} \quad $ et par suite : \alt<5->{\color<5>{blue}{$ P(A \cap B)=P_{B}(A)\times P(B)$.}}{\ldots \ldots \ldots} \pause
 
 ~
 
\pause On en déduit que : 


\begin{block}{Propriété}
pour tous événements $A$ et $B$ de probabilité non nulle,
  $$ P(A \cap B)=\alt<7->{\color<7>{blue}{P_{A}(B)\times P(A)=P_{B}(A)\times P(B)}}{\ldots \ldots \ldots}
$$ \pause
\end{block}


\pause remarque : si $P(A)=0$ ou $P(B)=0$, alors $P(A\cap B)=$\alt<9->{\color<9>{blue}{\, $0$.}}{\ldots \ldots \ldots} \pause

\end{frame}


\subsection{Représentation par un arbre pondéré}

\begin{frame}{Représentation par un arbre pondéré}

Exemple : tous les élèves de Terminale d'un lycée ont passé un test de certification en Anglais. $80\%$ ont réussi
le test. 

Parmi ceux qui ont réussi le test, $95\%$ n'ont jamais redoublé. 

Parmi ceux qui ont échoué au
test, $2\%$ n'ont jamais redoublé.

~

On considère les évènements $T$ : « L'élève a réussi le test » et D : « L'élève a déjà redoublé ».

~

On peut représenter cette expérience à l'aide d'un arbre pondéré, en respectant certaines règles.

\end{frame}

\begin{frame}
\begin{block}{Représentation par un arbre pondéré}
\end{block}

Règle 1 : Sur les branches du premier niveau, on inscrit les probabilités des évènements correspondants. \pause

\begin{figure}[htpb]
\begin{pgfpicture}{-2cm}{-3cm}{5.5cm}{5.5cm}
% les axes se coupent a (0,0.75)
\begin{pgfscope} 
\pgfsetlinewidth{1pt} 
  
\pgfnodecircle{Node1}[fill]{\pgfxy(0,3.25)}{1pt}
\pgfnodebox{Node2}[virtual]{\pgfxy(2,5)}{T}{2pt}{2pt}
\pgfnodebox{Node3}[virtual]{\pgfxy(2,1.5)}{$\overline{T}$}{2pt}{2pt}
\pgfnodeconnline{Node1}{Node2}
\pgfnodeconnline{Node1}{Node3} \pause
\pgfnodelabel{Node1}{Node2}[0.5][5pt]{\pgfbox[center,base]{0.8}}
\pgfnodelabel{Node1}{Node3}[0.5][5pt]{\pgfbox[center,base]{0.2}}

\end{pgfscope} 
\end{pgfpicture}
\label{fig:arbre1a}
\end{figure}

\end{frame}

\begin{frame}

Règle 2 : Sur les branches du deuxième niveau, on inscrit des probabilités conditionnelles. \pause

\begin{figure}
\begin{pgfpicture}{0cm}{0cm}{5.5cm}{6.5cm}
% les axes se coupent a (0,0.75)
\begin{pgfscope} 
\pgfsetlinewidth{1pt} 
  
\pgfnodecircle{Node1}[fill]{\pgfxy(0,3.25)}{1pt}
\pgfnodebox{Node2}[virtual]{\pgfxy(2,5)}{T}{2pt}{2pt}
\pgfnodebox{Node3}[virtual]{\pgfxy(2,1.5)}{$\overline{T}$}{2pt}{2pt}
\pgfnodeconnline{Node1}{Node2}
\pgfnodeconnline{Node1}{Node3}
\pgfnodelabel{Node1}{Node2}[0.5][5pt]{\pgfbox[center,base]{0,8}}
\pgfnodelabel{Node1}{Node3}[0.5][5pt]{\pgfbox[center,base]{0,2}} \pause

\pgfnodebox{Node4}[virtual]{\pgfxy(4,6)}{D}{2pt}{2pt}
\pgfnodebox{Node5}[virtual]{\pgfxy(4,4)}{$\overline{D}$}{2pt}{2pt}
\pgfnodeconnline{Node2}{Node4}
\pgfnodeconnline{Node2}{Node5} \pause
\pgfnodelabel{Node2}{Node4}[0.5][5pt]{\pgfbox[center,base]{0.05}}
\pgfnodelabel{Node2}{Node5}[0.5][5pt]{\pgfbox[center,base]{0.95}} \pause

\pgfnodebox{Node6}[virtual]{\pgfxy(4,2.5)}{D}{2pt}{2pt}
\pgfnodebox{Node7}[virtual]{\pgfxy(4,0.5)}{$\overline{D}$}{2pt}{2pt}
\pgfnodeconnline{Node3}{Node6}
\pgfnodeconnline{Node3}{Node7} \pause
\pgfnodelabel{Node3}{Node6}[0.5][5pt]{\pgfbox[center,base]{0.98}}
\pgfnodelabel{Node3}{Node7}[0.5][5pt]{\pgfbox[center,base]{0.02}}
\end{pgfscope} 
\end{pgfpicture}
\label{fig:arbre1b}
\end{figure}

\end{frame}

\begin{frame}

Règle 3 : La somme des probabilités inscrites sur les branches issues d'un même n\oe ud est égale à \alt<2->{\color<2>{blue}{$1$.}}{\ldots} \pause
\pause

~

Règle 4 : Le produit des probabilités des évènements rencontrés le long d'un chemin est égal à la probabilité de \alt<4->{\color<4>{blue}{ l'intersection de ces événements.}}{\ldots \ldots \ldots} \pause
\pause

~

Par exemple, ici: $P(T \cap \overline{D}) =$ \alt<6->{\color<6>{blue}{ $0,8\times 0,95$}}{\ldots \ldots \ldots} \pause
\pause

~

Règle 5 : La probabilité d'un évènement est la somme des probabilités des chemins conduisant à cet évènement. \pause


~

Par exemple, ici : 

$P(D) =$\alt<9->{\color<9>{blue}{$ P(D\cap T)+P(D \cap \overline{T})=0,05\times0,8+0,98\times0,2=0,236$}}{\ldots \ldots \ldots} 

\end{frame}


\section{Formule des probabilités totales}

\subsection{Exemple}

\begin{frame}{Exemple}

Trois machines $M_1$, $M_2$, et $M_3$ réalisent respectivement $20 \%$, $30 \%$ et $50 \%$ de la production d'une
entreprise. On estime à $1,5 \%$, $2 \%$ et $1 \%$ les proportions de pièces défectueuses produites
respectivement par $M_1$, $M_2$ et $M_3$. On choisit une pièce au hasard dans la production.

~

L'objectif est de calculer la probabilité de l'évènement $B$ : « La pièce est bonne ».

~

Pour tout entier $i$ de 1 à 3, on note $M_i$ l'évènement : « La pièce est produite par $M_i$ ».

~

On peut illustrer la situation par un arbre pondéré :

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{figure}
\begin{pgfpicture}{0cm}{0cm}{7cm}{7cm}
% les axes se coupent a (0,0.75)
\begin{pgfscope} 
\pgfsetlinewidth{1pt} 
  
\pgfnodecircle{Node1}[fill]{\pgfxy(0,3.25)}{1pt}
\pgfnodebox{Node2}[virtual]{\pgfxy(3,5.5)}{$M_1$}{2pt}{2pt}
\pgfnodebox{Node8}[virtual]{\pgfxy(3,3.25)}{$M_2$}{2pt}{2pt}
\pgfnodebox{Node3}[virtual]{\pgfxy(3,1)}{$M_3$}{2pt}{2pt}
\pgfnodeconnline{Node1}{Node2}
\pgfnodeconnline{Node1}{Node3}
\pgfnodeconnline{Node1}{Node8} \pause
\pgfnodelabel{Node1}{Node2}[0.5][5pt]{\pgfbox[center,base]{$0,2$}}
\pgfnodelabel{Node1}{Node3}[0.5][5pt]{\pgfbox[center,base]{$0,5$}}
\pgfnodelabel{Node1}{Node8}[0.5][5pt]{\pgfbox[center,base]{$0,3$}} \pause
\pgfnodebox{Node4}[virtual]{\pgfxy(6,6.25)}{$B$}{2pt}{2pt}
\pgfnodebox{Node5}[virtual]{\pgfxy(6,5)}{$\overline{B}$}{2pt}{2pt}
\pgfnodeconnline{Node2}{Node4}
\pgfnodeconnline{Node2}{Node5}
\pgfnodebox{Node6}[virtual]{\pgfxy(6,1.5)}{$B$}{2pt}{2pt}
\pgfnodebox{Node7}[virtual]{\pgfxy(6,0.25)}{$\overline{B}$}{2pt}{2pt}
\pgfnodeconnline{Node3}{Node6}
\pgfnodeconnline{Node3}{Node7}
\pgfnodebox{Node9}[virtual]{\pgfxy(6,3.9)}{$B$}{2pt}{2pt}
\pgfnodebox{Node10}[virtual]{\pgfxy(6,2.6)}{$\overline{B}$}{2pt}{2pt}
\pgfnodeconnline{Node8}{Node9}
\pgfnodeconnline{Node8}{Node10} \pause
\pgfnodelabel{Node2}{Node4}[0.5][5pt]{\pgfbox[center,base]{$0,985$}}
\pgfnodelabel{Node2}{Node5}[0.5][5pt]{\pgfbox[center,base]{$0,015$}}
\pgfnodelabel{Node8}{Node9}[0.5][5pt]{\pgfbox[center,base]{$0,98$}}
\pgfnodelabel{Node8}{Node10}[0.5][5pt]{\pgfbox[center,base]{$0,02$}}
\pgfnodelabel{Node3}{Node6}[0.5][5pt]{\pgfbox[center,base]{$0,99$}}
\pgfnodelabel{Node3}{Node7}[0.5][5pt]{\pgfbox[center,base]{$0,01$}}

\end{pgfscope} 
\end{pgfpicture}
\label{fig:arbre2}
\end{figure}

\end{frame}


\begin{frame}

On calcule les probabilités correspondant aux trois chemins menant à la réalisation de l'évènement $B$ : ce sont les chemins \, \alt<2->{\color<2>{blue}{ --$M_1$--$B$ \, , --$M_2$--$B$ \, , --$M_3$--$B$ \, .}}{\ldots \ldots \ldots} \pause

~

\pause $B$ est la réunion de ces évènements deux à deux incompatibles, d'où : 

$P(B)= $ \alt<4->{\color<4>{blue}{$P(M_1\cap B)+P(M_2\cap B)+P(M_3\cap B)$}}{\ldots \ldots \ldots} \pause

~ \pause

On peut détailler les calculs dans le tableau suivant :

\end{frame}

\begin{frame}

$\begin{array}{|c|c|c|c|}
		\hline
		\qquad \qquad \quad  &   &  &  \\
    \qquad \qquad &  B & \overline{B} &   \\
    \qquad \qquad &   &  &  \\
   \hline 
   \qquad \qquad &   &  &  \\
    M_1 & \pause \color<2->{blue}0,2\times 0,985  & \color<2->{blue} 0,2\times 0,015  & \color<2->{blue}P(M_1)=0,2  \\
    \qquad \qquad &   &  &  \\
    \hline \pause
    \qquad \qquad &   &  &  \\
    M_2 & \pause \color<4->{blue} 0,3\times 0,98 & \color<4->{blue} 0,3\times 0,02 & \color<4->{blue} P(M_2)= 0,3 \\
    \qquad \qquad &   &  &  \\
    \hline \pause
    \qquad \qquad &   &  &  \\
    M_3 & \pause \color<6->{blue} 0,5\times 0,99 & \color<6->{blue} 0,5\times 0,01 & \color<6->{blue}P(M_3)= 0,5   \\
    \qquad \qquad &   &  &  \\
    \hline \pause
    \qquad \qquad &   &  &  \\
     &  \color<7->{blue}P(B)= 0,986 &  \color<7->{blue} P( \overline{B})=0,014   & \color<7->{blue} 1 \\
     \qquad \qquad &   &  &  \\
    \hline
\end{array}$ 

\end{frame}



\begin{frame}{Probabilités totales }

Si $A_1$, $A_2$, \ldots , $A_n$ sont des sous-ensembles non vides de $\Omega$, deux à deux disjoints et dont la réunion est $\Omega$ on dit qu'ils constituent une partition de $\Omega$
\pause
\begin{block}{Formule des probabilités totales}

 Si $A_1$, $A_2$, \ldots , $A_n$ constituent une partition de $\Omega$ et $B$ est un événement quelconque, alors :
$$ P(B)=\alt<3->{\color<3>{blue}{P(A_1\cap B) +P(A_2\cap B) + \ldots +P(A_n\cap B)}}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}
$$ \pause
\pause
$$ \quad =\alt<5->{\color<5>{blue}{P(A_1)\times P_{A_1}(B) +P(A_2)\times P_{A_2}(B) + \ldots +P(A_n)\times P_{A_n}(B)}}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots }
$$

\end{block}

 \end{frame} 
 
\section{Indépendance}

\subsection{Evénéments indépendants}



\begin{frame}{Evénements indépendants}

On suppose que $A$ et $B$ sont des événements tels que  $P(A)$ et  $P(B$) sont non nulles.
\pause
Si le fait que $A$ est réalisé ne change pas la probabilité que $B$ le soit, 
on dit alors que $B$ est indépendant de $A$, ce qui signifie que : $P_{A}(B)=P(B)$.

~

\pause
Puisque $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$, il en résulte que $P(A\cap B)=\alt<4->{\color<4>{blue}{P(A)\times P(B)}}{\ldots \ldots \ldots }$ \pause

\pause

Alors $P(A)=\alt<6->{\color<6>{blue}{\cfrac{P(A \cap B)}{P(B)}=P_{B}(A)}}{\ldots \ldots \ldots }$ \pause, 
\pause donc \alt<8->{\color<8>{blue}{$A$ est indépendant de $B$.}}{\ldots \ldots \ldots }\pause

~

\pause

D'où la définition :

  
\end{frame}

\begin{frame}

\begin{block}{Définition}
Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si 
 $$P(A\cap B)=\alt<2->{\color<2>{blue}{P(A)\times P(B)}}{\ldots \ldots \ldots }$$\pause
 \end{block}

~

\pause

Dans ce cas, si $P(A)\times P(B)\neq 0$, alors : $$P_{A}(B)=\alt<4->{\color<4>{blue}{P(B)}}{\ldots} \pause
\quad \pause \text{et} \quad P_{B}(A)=\alt<6->{\color<6>{blue}{P(A)}}{\ldots  } $$\pause


\pause

Noter que si $P(A)=0$ ou $P(B)=0$, alors  $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)= $\alt<8->{\color<8>{blue}{$~0$}}{\ldots} \pause

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{exampleblock}{Remarque}

pour des événements $A$ et $B$ de probabilité non nulles, il ne faut pas confondre indépendance et incompatibilité.\pause

~

"$A$ et $B$ incompatibles"  signifie \alt<3->{\color<3>{blue}{$A\cap B=\emptyset $}}{\ldots \ldots} \pause 
\pause , donc $P(A\cap B)=$ \alt<5->{\color<5>{blue}{$0$.}}{\ldots} \pause

\pause 

~

"$A$ et $B$ indépendants"  signifie \alt<7->{\color<7>{blue}{$P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$}}{\ldots \ldots} \pause 
\pause , 

donc $P(A\cap B)$\alt<9->{\color<9>{blue}{$~\neq 0$. }}{\ldots \ldots} \pause

\pause

~

Si $A$ et $B$ sont incompatibles alors ils ne sont pas indépendants et s'ils sont indépendants alors ils \alt<11->{\color<11>{blue}{ne sont pas incompatibles.}}{\ldots \ldots} \pause

\end{exampleblock}
\end{frame}

\begin{frame}

\textbf{Exemple :}

on lance un dé à 6 faces équilibré. On considère les évènements suivants :

$A$ : « le résultat est pair »

$B$: « le résultat est 2 »

$C$ : « le résultat est supérieur ou égal à 5 »

Les évènements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Les évènements $A$ et $C$ ? Les évènements $B$ et $C$ ?

\end{frame}

\begin{frame}

 $P(A)=\frac{1}{2}$ \, , \, $P(B)=\frac{1}{6}$ \, , \, $P(C)=\frac{1}{3}$ \pause

~

$P(A\cap B)=\frac{1}{6}$ \, et \, $P(A)\times P(B)=\frac{1}{12}$

$P(A\cap B)\neq P(A)\times P(B)$ donc $A$ et $B$ ne sont pas indépendants. \pause

~

$P(A\cap C)=\frac{1}{6}$ \, et \, $P(A)\times P(C)=\frac{1}{6}$ 

$P(A\cap C)= P(A)\times P(C)$ donc $A$ et $C$ sont  indépendants. \pause

Autre méthode : $P_A(C)=\frac{1}{3}$ \, donc $P_A(C)=P(C)$ d'où $A$ et $C$ sont  indépendants. \pause

~

$B$ et $C$ sont incompatibles donc ne sont pas indépendants. \pause

$\left(P(B\cap C)=0 \, \text{et }  P(B)\times P(C)=\frac{1}{18}\right)$

\end{frame}

\subsection{Passage aux événements contraires}

\begin{frame}

\begin{block}{Propriété}

Si  $A$ et $B$ sont deux événements indépendants alors

$\overline{A}$ et $B$ sont indépendants.
\end{block}

\begin{exampleblock}{Démonstration (ROC)}
\pause \color<2>{blue}$A$ et $B$ indépendants, donc: $P(A \cap B)=P(A) \times P(B)$.

~

\pause \color<3>{blue}Or, $A$ et $\overline{A}$ sont deux événements incompatibles dont la réunion est l'univers, donc d'après la formule des probabilités totales : $$P(B)=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B)$$ 

\pause \color<4>{blue}d'où $P(\overline{A}\cap B)=P(B)-P(A\cap B)=P(B)-P(A) \times P(B)$

\qquad \qquad \qquad $ = (1-P(A))\times P(B)=P(\overline{A}) \times P(B)$

~

\pause \color<5>{blue}Donc $\overline{A}$ et $B$ sont aussi indépendants.\pause

\end{exampleblock}

\end{frame}


 
 \end{document}    
