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%création des ensembles de nombres
\font\bbw=msbm10
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\begin{document}

\pagestyle{fancy}
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\lfoot{\small{Bernelas - Bays - Desclaux}}
\rfoot{\small{Lycée Les Eucalyptus 2019-2020}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
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\begin{center} \Large \textbf{\fbox{\begin{minipage}{0.6\textwidth}
  \begin{center} Probabilités \\
  Conditionnement et indépendance\end{center} 
\end{minipage}}} 
  \end{center}

\vspace{2ex}

\section{Probabilité conditionnelle}

\subsection{Définition}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
Soit $P$ une probabilité sur un univers  $\Omega$  et soit $A$ un événement de probabilité non nulle.

Pour tout événement $B$, on appelle probabilité de $B$ sachant $A$ le réel, noté $ P_{A}(B)$, défini par :
$$ P_{A}(B) = \quad \ldots \ldots \ldots \ldots $$

\vspace{1ex}

\end{minipage}}
\end{center}

\subsection{Propriétés}


$\bullet$ $P_{A}$ est une probabilité, dite \textbf{probabilité conditionnelle}, définie sur $\Omega$.

~

En effet $P_{A}$ vérifie les propriétés d'une probabilité :

~

$P_{A}(\Omega)=\ldots \ldots $
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad
$P_{A}(\emptyset)=\ldots \ldots$

~

Et pour tout événements $B$ et $C$ incompatibles, ($B\cap C=\emptyset$), on a : $P_{A}(B \cup C)=P_{A}(B)+P_{A}(C)$.

~

$\bullet$ $P_A(A)= \ldots \ldots$

~

$\bullet$ si $A$ et $B$ sont incompatibles alors $P_A(B)= \ldots \ldots$

~

$\bullet$ $P_A(\overline{B})=\ldots \ldots$

~

\textbf{Démonstration :} \ldots \ldots

\vspace{28ex}

\subsection{Probabilité d'une intersection}

 Soit $A$ et $B$ des événements de probabilité non nulle, on a :

 $P_{A}(B)=\cfrac{P(A \cap B)}{P(A)} \quad $ donc \ldots \ldots

 de même :
 $P_{B}(A)=\cfrac{P(A \cap B)}{P(B)} \quad $ et par suite : \ldots \ldots
 
 ~
 
 On en déduit que : 

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
pour tous événements $A$ et $B$ de probabilité non nulle,
 $$ P(A \cap B)=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \qquad $$
\end{minipage}}
\end{center} 

~

Remarque : si $P(A)=0$ ou $P(B)=0$, alors $P(A\cap B)= \ldots $

\subsection{Représentation par un arbre pondéré}

Exemple : tous les élèves de Terminale d'un lycée ont passé un test de certification en Anglais. $80\%$ ont réussi
le test. Parmi ceux qui ont réussi le test, $95\%$ n'ont jamais redoublé. Parmi ceux qui ont échoué au
test, $2\%$ n'ont jamais redoublé.

\vspace{1ex}

On considère les évènements $T$ : « L'élève a réussi le test » et D : « L'élève a déjà redoublé ».

\vspace{1ex}

On peut représenter cette expérience à l'aide d'un arbre pondéré, en respectant certaines règles.

\vspace{1ex}

Règle 1 : Sur les branches du premier niveau, 

on inscrit les probabilités des évènements 

correspondants.

\vspace{1ex}

Règle 2 : Sur les branches du deuxième niveau, 

on inscrit des probabilités conditionnelles.

\vspace{1ex}

Règle 3 : La somme des probabilités inscrites sur 

les branches issues d'un même n\oe ud est égale à \ldots

\begin{figure}
\begin{pgfpicture}{-9.7cm}{11cm}{6.5cm}{6.5cm}
% les axes se coupent a (0,0.75)
\begin{pgfscope} 
\pgfsetlinewidth{1pt} 
  
\pgfnodecircle{Node1}[fill]{\pgfxy(0,3.25)}{1pt}
\pgfnodebox{Node2}[virtual]{\pgfxy(3,5)}{T}{2pt}{2pt}
\pgfnodebox{Node3}[virtual]{\pgfxy(3,1.5)}{$\overline{T}$}{2pt}{2pt}
\pgfnodeconnline{Node1}{Node2}
\pgfnodeconnline{Node1}{Node3}
\pgfnodelabel{Node1}{Node2}[0.5][5pt]{\pgfbox[center,base]{\ldots}}
\pgfnodelabel{Node1}{Node3}[0.5][5pt]{\pgfbox[center,base]{\ldots}}

\pgfnodebox{Node4}[virtual]{\pgfxy(6,6)}{D}{2pt}{2pt}
\pgfnodebox{Node5}[virtual]{\pgfxy(6,4)}{$\overline{D}$}{2pt}{2pt}
\pgfnodeconnline{Node2}{Node4}
\pgfnodeconnline{Node2}{Node5}
\pgfnodelabel{Node2}{Node4}[0.5][5pt]{\pgfbox[center,base]{\ldots}}
\pgfnodelabel{Node2}{Node5}[0.5][5pt]{\pgfbox[center,base]{\ldots}}

\pgfnodebox{Node6}[virtual]{\pgfxy(6,2.5)}{D}{2pt}{2pt}
\pgfnodebox{Node7}[virtual]{\pgfxy(6,0.5)}{$\overline{D}$}{2pt}{2pt}
\pgfnodeconnline{Node3}{Node6}
\pgfnodeconnline{Node3}{Node7}
\pgfnodelabel{Node3}{Node6}[0.5][5pt]{\pgfbox[center,base]{\ldots}}
\pgfnodelabel{Node3}{Node7}[0.5][5pt]{\pgfbox[center,base]{\ldots}}

\end{pgfscope} 
\end{pgfpicture}
\label{fig:arbre1}
\end{figure}

\vspace{1ex}

Règle 4 : Le produit des probabilités des 

évènements rencontrés le long d'un chemin 

est égal à la probabilité de  \ldots \ldots

\vspace{1ex}

Par exemple, ici: $P(T \cap \overline{D})$ = \ldots  \ldots

\vspace{1ex}

Règle 5 : La probabilité d'un évènement est 

la somme des probabilités des chemins conduisant 

à cet évènement.

\vspace{1ex}

Par exemple, ici : $P(D) =$ \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots  \ldots


\section{Formule des probabilités totales}

\subsection{Exemple}

Trois machines $M_1$, $M_2$, et $M_3$ réalisent respectivement $20 \%$, $30 \%$ et $50 \%$ de la production d'une
entreprise. On estime à $1,5 \%$, $2 \%$ et $1 \%$ les proportions de pièces défectueuses produites
respectivement par $M_1$, $M_2$ et $M_3$. On choisit une pièce au hasard dans la production.

L'objectif est de calculer la probabilité de l'évènement $B$ : « La pièce est bonne ».

Pour tout entier $i$ de 1 à 3, on note $M_i$ l'évènement : « La pièce est produite par $M_i$ ».

On peut illustrer la situation par un arbre pondéré :


\begin{figure}[htbp]
\begin{pgfpicture}{-2cm}{0cm}{7cm}{7cm}
% les axes se coupent a (0,0.75)
\begin{pgfscope} 
\pgfsetlinewidth{1pt} 
  
\pgfnodecircle{Node1}[fill]{\pgfxy(0,3.25)}{1pt}
\pgfnodebox{Node2}[virtual]{\pgfxy(3,6)}{$M_1$}{2pt}{2pt}
\pgfnodebox{Node8}[virtual]{\pgfxy(3,3.25)}{$M_2$}{2pt}{2pt}
\pgfnodebox{Node3}[virtual]{\pgfxy(3,0.5)}{$M_3$}{2pt}{2pt}
\pgfnodeconnline{Node1}{Node2}
\pgfnodeconnline{Node1}{Node3}
\pgfnodeconnline{Node1}{Node8}
\pgfnodebox{Node4}[virtual]{\pgfxy(6,6.75)}{B}{2pt}{2pt}
\pgfnodebox{Node5}[virtual]{\pgfxy(6,5.25)}{$\overline{B}$}{2pt}{2pt}
\pgfnodeconnline{Node2}{Node4}
\pgfnodeconnline{Node2}{Node5}
\pgfnodebox{Node6}[virtual]{\pgfxy(6,1.25)}{B}{2pt}{2pt}
\pgfnodebox{Node7}[virtual]{\pgfxy(6,-0.25)}{$\overline{B}$}{2pt}{2pt}
\pgfnodeconnline{Node3}{Node6}
\pgfnodeconnline{Node3}{Node7}
\pgfnodebox{Node9}[virtual]{\pgfxy(6,4)}{B}{2pt}{2pt}
\pgfnodebox{Node10}[virtual]{\pgfxy(6,2.5)}{$\overline{B}$}{2pt}{2pt}
\pgfnodeconnline{Node8}{Node9}
\pgfnodeconnline{Node8}{Node10}

\end{pgfscope} 
\end{pgfpicture}
\label{fig:arbre2}
\end{figure}

~

On calcule les probabilités correspondant aux trois chemins menant à la réalisation de l'évènement $B$ : ce sont les chemins \ldots \ldots

~

$B$ est la réunion de ces évènements deux à deux incompatibles, d'où : 

$P(B)= $ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

~

On peut détailler les calculs dans le tableau suivant :

~

 \begin{center}
$\begin{array}{|c|c|c|c|}
		\hline
		\qquad \qquad \qquad  &   &  &  \\
    \qquad \qquad &  B & \overline{B} & \qquad \qquad \qquad  \\
    \qquad \qquad &   &  &  \\
   \hline
   \qquad \qquad &   &  &  \\
    M_1 & \qquad \qquad \qquad  & \qquad \qquad \qquad  & P(M_1)= \ldots \ldots  \\
    \qquad \qquad &   &  &  \\
    \hline
    \qquad \qquad &   &  &  \\
    M_2 &  &  & P(M_2)= \ldots  \ldots  \\
    \qquad \qquad &   &  &  \\
    \hline 
    \qquad \qquad &   &  &  \\
    M_3 & &  & P(M_3)= \ldots \ldots   \\
    \qquad \qquad &   &  &  \\
    \hline
    \qquad \qquad &   &  &  \\
     & P(B)= \ldots \ldots &  P( \overline{B})=\ldots \ldots   & 1 \\
     \qquad \qquad &   &  &  \\
    \hline
\end{array}$
 \end{center}

\subsection{Cas général : formule des probabilités totales}

Si $A_1$, $A_2$, \ldots , $A_n$ sont des sous-ensembles non vides de $\Omega$, deux à deux disjoints et dont la réunion est $\Omega$ on dit qu'ils constituent \ldots \ldots \ldots

~

\textbf{Théorème (admis) :}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
 Si $A_1$, $A_2$, \ldots , $A_n$ constituent une partition de $\Omega$ et $B$ est un événement quelconque de $\Omega$, alors :
$$ P(B)= \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \qquad \qquad $$
$$ P(B)= \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $$
\end{minipage}}
\end{center}


\section{Indépendance}

\subsection{Evénéments indépendants}

On suppose que $A$ et $B$ sont des événements tels que  $P(A)$ et  $P(B$) sont non nulles.

Si le fait que $A$ est réalisé ne change pas la probabilité que $B$ le soit, 
on dit alors que $B$ est indépendant de $A$, ce qui signifie que : $P_{A}(B)=P(B)$.

~

Puisque $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$, il en résulte que $P(A\cap B)= $ \ldots \ldots

~

Alors $P(A)=\dots \ldots \ldots \ldots = \ldots \ldots \ldots $, donc \ldots \ldots \ldots

~

D'où la \textbf{définition} :

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si 
 $$ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $$

\vspace{1ex}
 \end{minipage}}
\end{center}

~

Dans ce cas, si $P(A)\times P(B)\neq 0$, alors : $$P_{A}(B)=\ldots\ldots \quad \text{et} \quad P_{B}(A)=\ldots \ldots $$

\vspace{1ex}

Noter que si $P(A)=0$ ou $P(B)=0$, alors  $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)=\ldots \ldots$

~

\textbf{Remarque :}

pour des événements $A$ et $B$ de probabilité non nulles, il ne faut pas confondre indépendance et incompatibilité.

"$A$ et $B$ incompatibles"  signifie \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots, donc $P(A\cap B)= \ldots $.

"$A$ et $B$ indépendants"  signifie $P(A\cap B)= \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $, donc $P(A\cap B) \ldots \ldots \ldots$. 

Si $A$ et $B$ sont incompatibles alors ils ne sont pas indépendants et s'ils sont indépendants 

alors ils \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
 
~

\textbf{Exemple :}

on lance un dé à 6 faces équilibré. On considère les évènements suivants :

$A$ : « le résultat est pair »

$B$: « le résultat est 2 »

$C$ : « le résultat est supérieur ou égal à 5 »

Les évènements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Les évènements $A$ et $C$ ? Les évènements $B$ et $C$ ?


\vspace{46ex}

\subsection{Passage aux événements contraires}

\begin{center}
\fbox{Si  $A$ et $B$ sont deux événements indépendants alors
$\overline{A}$ et $B$ sont indépendants.}
\end{center}

\textbf{Démonstration (ROC) :}



 
 \end{document}    
