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%création des ensembles de nombres
\font\bbw=msbm10
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\def\Q{\hbox{\bbw Q}}


\title[Diaporama du cours]{Cours de terminale S\\Calcul intégral}
\author{V. B. J. D. S. B.}
\institute{Lycée des EK}
\date{\today}
%\date{\today}


\begin{document}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}


\section{Intégrale d'une fonction continue et positive}
\subsection{Définition}

\begin{frame}

\begin{block}{Définition}

Soient $a$ et $b$ deux réels quelconques tels que $a < b$, $f$ une fonction continue et positive sur $[a ; b]$  et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $(O; I, J)$.

L'unité d'aire est l'aire du rectangle de côtés $[OI]$ et $[OJ]$.

~
      
On appelle \textbf{intégrale de $f$ sur $[a;b]$},  \alt<2->{\color<2>{blue} l'aire, exprimée en unités d'aire, de la surface limitée par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$, et les droites d'équations $x = a$ et $x = b$. }{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
\ldots \ldots 

 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots} \pause

\end{block}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{figure}[htbp]
\begin{minipage}{0.8\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{int_image1.pdf}
\end{center}
\end{minipage}
\end{figure}

\pause

L'intégrale de $f$ sur $[a;b]$ se note $\displaystyle{\int_a^b f(x) \text{d}x}$ .

~

\pause

On dit aussi que $\displaystyle{\int_a^b f(x) \text{d}x}$ \, représente \textbf{l'aire sous la courbe} entre $a$ et $b$.

\end{frame}

\subsection{Remarque}

\begin{frame}

Dans l'écriture  $\displaystyle{\int_a^b f(x) \text{d}x}$, $x$ est une lettre " muette ". On peut la remplacer par n'importe qu'elle autre lettre, exceptées $a$ et $b$ : $$\int_a^b f(x)\text{d}x =\int_a^b f(t) \text{d}t =\int_a^b f(u) \text{d}u =\int_a^b f(z) \text{d}z=\int_a^b f(\alpha) \text{d}\alpha = \ldots $$

~ \pause

   $\displaystyle{\int_a^b f(x) \text{d}x}$   se lit aussi " somme de $a$ à  $b$ de $f (x) \text{d}x$ ".


\end{frame}

\subsection{Théorème}

\begin{frame}

\begin{block}{Théorème}
Soit $f$ une fonction continue et positive sur $[a ; b]$; la fonction $F$ définie sur $[a ; b]$ par $\displaystyle{F(x)=\int_a^x f(t) \text{d}t}$ \, \alt<2->{\color<2>{blue}est dérivable sur $[a ; b]$ et $F'(x)=f(x)$ pour tout $x$ de $[a;b]$. 

~

De plus $F(a)=0$.}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 

~

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 

~

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 
} \pause \pause
\end{block}

\end{frame}

\subsection{Démonstration}

\begin{frame}

\begin{exampleblock}{Démonstration dans le cas où $f$ est croissante}
Pour tout $x \in [a ; b]$ et $h>0$, \alt<2->{\color<2>{blue}$\displaystyle{F(x)=\int_a^x f(t) \text{d}t}$ \, et $\displaystyle{F(x+h)=\int_a^{x+h} f(t) \text{d}t}$.}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

~
} \pause \pause

Ainsi  $F(x+h)-F(x)$ est \alt<4->{\color<4>{blue}l'aire de la surface limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les  droites verticales passant par les points d'abscisses $x$ et $x+h$.}{
\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

} \pause  \pause 

\end{exampleblock}

\end{frame}

\begin{frame}

 \begin{figure}[htbp]
\begin{minipage}{0.8\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{int_image3.pdf}
\end{center}
\end{minipage}
\end{figure}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{exampleblock}

On a donc \alt<2->{\color<2>{blue}$hf(x)\leq F(x+h)-F(x) \leq hf(x+h)$, ce qui, dans le cas où $f$ est croissante, entraîne que $f(x)\leq \cfrac{F(x+h)-F(x)}{h} \leq f(x+h)$.} {\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 

~
} \pause  \pause

~

Puisque la fonction $f$ est continue, $\displaystyle{\lim_{h\rightarrow 0} f(x+h)=}$\alt<4->{\color<4>{blue}$f(x)$}{ \ldots} \pause \pause donc, d'après le théorème des gendarmes, \alt<6->{\color<6>{blue}$\displaystyle{\lim_{h\rightarrow 0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h}=f(x)} $\,  ce qui signifie que $F$  est dérivable en $x$ et  $F'(x)=f(x)$  pour tout $x \in [a ; b]$.}{

~

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
\ldots \ldots \ldots 

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

} \pause  \pause

\end{exampleblock}

\end{frame}

\section{Primitives et intégrale}
    
 \subsection{Définition}
 
\begin{frame}

\begin{block}{Définition}
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$.

On dit qu'une fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $I$ si \alt<2->{\color<2>{blue}la fonction $F$ est dérivable sur $I$ et a pour dérivée la fonction $f$.

~
}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 
\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

~
} \pause \pause

\end{block}

  ~ 

" $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ " a le même sens que \alt<4->{\color<4>{blue}" $f$ est la fonction dérivée de $F$ sur $I$ ".}{\ldots \ldots \ldots 

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

} \pause \pause

\end{frame}

\subsection{Théorème}

\begin{frame}

\begin{block}{Théorème}
Toute fonction continue \alt<2->{\color<2>{blue}sur un intervalle $I$ admet des primitives sur cet intervalle.}
{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause

\end{block} \pause

\textbf{Démonstration dans le cas où $I=[a;b]$}.
    
    Si $f$ est positive, \alt<4->{\color<4>{blue}on a vu que la fonction $F$ définie par $\displaystyle{F(x)=\int_a^x f(t) \text{d}t}$ \, est une primitive de $f$ puisque $F'(x)=f(x)$.
    
    ~
    }
    {\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 

~

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 

~
}\pause \pause
    
    Sinon, on admet que $f$ a un mininum $m$ sur $[a;b]$ et on défini une fonction $g$ sur $[a;b]$, par $g(x)=f(x)-m$; \pause
    
    $g$ est \alt<7->{\color<7>{blue}continue et positive sur $[a;b]$, donc admet une primitive $G$ définie par $\displaystyle{G(x)=\int_a^x g(t) \text{d}t}$. Alors la fonction $F$ définie par $F(x)=G(x)+mx$ est une primitive de $f$ sur $[a;b]$.}
    {\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 

~
}\pause \pause

\end{frame}

\subsection{Théorème}

\begin{frame}

\begin{block}{Théorème}
Si la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $I$, \alt<2->{\color<2>{blue}alors la fonction $G$ définie sur $I$ par $G (x) = F (x) + c$ où $c$ est un nombre réel quelconque, est aussi une primitive de $f$ sur $I$.}
{ \ldots \ldots 

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots} \pause \pause

\end{block}

~

Toutes les primitives de $f$ sur $I$ sont les fonctions $G$ définies sur $I$ par  
$G (x) = F (x) + c$ où $c$ est un nombre réel quelconque. 

\end{frame}

\subsection{Théorème}

\begin{frame}

\begin{block}{Théorème}

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$,
$x_0$ un réel appartenant à $I$  et $y_0$ un réel donné quelconque; 
\alt<2->{\color<2>{blue}alors il existe une fonction $F$ unique, primitive de $f$ sur $I$, telle que $F (x_0) = y_0$.}{\ldots \ldots \ldots \ldots

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause 

\end{block} 

\textbf{Démonstration}

Si $G$ est une primitive quelconque, alors toutes les primitives de $f$ sont les fonctions $F$ définies sur $I$ par \alt<4->{\color<4>{blue}$F(x)=G(x)+c$; la condition $F(x_0)=y_0$\, implique $c=y_0-G(x_0)$\, et $c$ est unique.}
{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause 

~

En particulier, si $I=[a ; b]$ et si  $F$ est la fonction définie sur $[a ; b]$ par 
         $F(x) = \displaystyle{\int_a^x f(t)  \text{d}t} $
         alors \alt<6->{\color<6>{blue}$F$  est l'unique primitive de $f$ qui s'annule en $a$.}{\ldots \ldots
\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause 

~


\end{frame}

\subsection{Détermination des primitives d'une fonction}

\begin{frame}

\begin{block}{Détermination des primitives d'une fonction}

On cherche dans le tableau des dérivées usuelles en le lisant de droite à gauche et on utilise les résultats suivants : 

\end{block} 
\pause

~

$\bullet$	si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ et si $G$ est une primitive de $g$ sur $I$  alors $F + G$ est une primitive de $f + g$ sur $I$. \pause

~

$\bullet$   si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ et si $k$ est un nombre réel quelconque alors $kF$ est une primitive
    de $kf$ sur $I$.
  
    
\end{frame}

\subsection{Primitives des fonctions usuelles}

\begin{frame}

Pour chacune des fonctions $f$ suivantes, la fonction $F$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle $I$ donné :

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{center}
$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Fonction } f & \text{Intervalle } I &   \text{Primitive } F  \\
\hline 
f (x) = a \, \text {, } a\in \R &   I = \R & \pause F(x)=ax \\
\hline
f (x) = x^n \, \text {, } n\in \N^* &   I = \R & \pause F(x)=\frac{1}{n+1}x^{n+1} \\
\hline
f (x) = \frac{1}{x^2} & ]-\infty; 0[ \, \text { ou } \, ]0 : +\infty[ & \pause F(x)=-\frac{1}{x} \\
\hline
f (x) =  \frac{1}{\sqrt{x}}  &  I = ]0 : +\infty[ &  \pause F(x)=2\sqrt{x}\\
\hline
\end{array}$
\end{center}

\end{frame}


\begin{frame}

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{center}
$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
f (x) = \text{e}^{x} & I = \R & \pause F(x) = \text{e}^{x} \\
\hline
f (x) = \cfrac{1}{x} & I = ]0 : +\infty[ & \pause F(x)=\ln x \\
\hline
f (x) = \cos x & I = \R & \pause F(x) = \sin x \\
\hline
f (x) = \sin x & I = \R & \pause F(x)=-\cos x  \\
\hline
\end{array}$
\end{center}

\end{frame}


\begin{frame}

\textbf{Fonctions composées : } on suppose que $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $J$, dérivable et strictement positive sur un intervalle $K$.

\begin{center}
$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Fonction } f & \text{Intervalle } I &  \text{Primitive } F  \\
\hline 
f (x) = \cos (ax+b) \, \text{, } a \neq 0 & I=\R & \pause F(x)=\frac{1}{a}\sin (ax+b) \\
\hline
f (x) = \sin (ax+b) \, \text{, } a \neq 0 & I=\R& \pause F(x)=-\frac{1}{a}\cos (ax+b) \\
\hline
f = u'\times u^n \,  \text{, } n\in \N^* & I=J & \pause F(x)=\frac{1}{n+1}u^{n+1} \\
\hline
f = \cfrac{u'}{\sqrt{u}} & I=K &  \pause F(x)=2\sqrt{u}\\
\hline
f = u' \text{e}^u  &  I=J & F(x) = \pause \text{e}^{u} \\
\hline
f  = \cfrac{u'}{u} & I=K & \pause F(x)=\ln u \\
\hline
\end{array}$
\end{center}
\end{frame}

\section {Intégrale d'une fonction continue}
    
    \subsection {Propriété}
    
\begin{frame}

\begin{block}{Propriété}
Soit $f$ une fonction continue et positive sur $[a ; b]$ et $F$ une primitive de $f$ sur $[a ; b]$.
 
Alors \alt<2->{\color<2>{blue}l'intégrale de $a$ à $b$ de la fonction $f$ est égale au nombre $F(b) - F(a)$.
	}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
	
	\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause
	
	On note : $$ \alt<4->{\color<4>{blue}\int_a^b f(x) \text{d}x  = F(b) - F(a)}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}$$ \pause

\end{block}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{exampleblock}{Démonstration}

     \alt<2->{\color<2>{blue}On sait que $f$ admet des primitives sur $[a ; b]$, par exemple la fonction $G$ définie par $G(x)=\displaystyle{ \int_a^x f(t) \text{d}t}$.}{~
     
     \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
     
     ~
     
    \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots } \pause \pause
      
     \alt<4->{\color<4>{blue}  $G(b)=\displaystyle{ \int_a^b f(t) \text{d}t}$ \, et $G(a)=0$ \, donc on a bien $G(b)-G(a)=\displaystyle{ \int_a^b f(t) \text{d}t}$.}{~
     
     \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
   
   ~
     
     \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots} \pause \pause
 
 ~
       
     \alt<6->{\color<6>{blue} Il reste à démontrer que l'intégrale de $f$ ne dépend pas du choix de la primitive:}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
     
     \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots} \pause \pause
      
      \alt<8->{\color<8>{blue}si $F$ une primitive quelconque de $f$, alors $F(x)=G(x)+c$ \, et on vérifie alors que $F(b)-F(a)=G(b)-G(a)$.}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
      
   \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots } \pause 
      
\end{exampleblock}

\end{frame}

\subsection {Définition}

\begin{frame}

 On généralise la notion d'intégrale :
 
\begin{block}{Définition}

soit $f$ une fonction continue  sur un intervalle $I$,  $a$ et $b$ deux réels quelconques de $I$ et $F$ une primitive de $f$ sur $I$.
 
\alt<2->{\color<2>{blue}On appelle intégrale entre $a$ à $b$ de la fonction $f$ le nombre $F(b) - F(a)$.}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
	
	\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots }\pause \pause
	
	On note : $$ \alt<4->{\color<4>{blue} \int_a^b f(x) \text{d}x  = F(b) - F(a)}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}$$  \pause \pause 

\end{block}

\end{frame}

 \subsection {Exemple}
 
\begin{frame}

\begin{exampleblock}{Exemple}

$$\text{Pour} \, x>0, \qquad \int_1^x \frac{1}{t}  \text{d}t= \ln x - \ln 1= \ln x$$

\end{exampleblock}

\end{frame}

\subsection {Propriétés}

\begin{frame}

Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$, $a$, $b$ et $c$ des éléments de $I$.\pause

\begin{block}{Propriétés}

 $$\alt<3->{\color<3>{blue}\int_a^a f(x) \text{d}x =0}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots }$$\pause \pause

Inversion des bornes

 $$\alt<5->{\color<5>{blue}\int_a^b f(x) \text{d}x= - \int_b^a f(x)  \text{d}x}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots }$$\pause \pause

\emph{Démonstration immédiate à l'aide de la définition.}

\end{block}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{block}{Propriétés}

Relation de Chasles

   $$ \alt<2->{\color<2>{blue}\int_a^b f(x) \text{d}x=  \int_a^c f(x) \text{d}x +  \int_c^b f(x) \text{d}x}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}$$\pause \pause
   
\emph{Démonstration immédiate à l'aide de la définition.} \pause

~

Linéarité : si  $k$ est un réel quelconque, alors

    $$\alt<5->{\color<5>{blue} \int_a^b k f(x) \text{d}x = k\int_a^b f(x) \text{d}x }{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots }$$\pause \pause
  
\emph{Démonstration presque immédiate à l'aide de la définition.}

\end{block}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{block}{Propriétés}

Linéarité

  $$\alt<2->{\color<2>{blue} \int_a^b (f(x)+g(x)) \text{d}x = \int_a^b f(x) \text{d}x  +  \int_a^b g(x) \text{d}x}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}$$\pause \pause
  
\emph{Démonstration presque immédiate à l'aide de la définition.}

\end{block} 

\end{frame}

\section{Calcul d'aires}

\begin{frame}

Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a;b]$.\pause 

\begin{block}{Calcul d'aires}

L'aire, exprimée en unités d'aire, de la surface délimitée par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$ est :
$$\alt<3->{\color<3>{blue}A=\int_a^b f(x) \text{d}x \quad \text{si } f \text{ est positive sur } [a;b]}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots }$$\pause \pause 

$$\alt<5->{\color<5>{blue}A=-\int_a^b f(x) \text{d}x \quad \text{si } f \text{ est négative sur }  [a;b]}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}$$\pause \pause

\end{block}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{block}{Calcul d'aires}

si $f(x) \geq g(x)$ \, sur $[a;b]$, alors l'aire, exprimée en unités d'aire, de la surface délimitée par  les courbes $C_f$ et $C_g$ et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$ est : \pause 
$$\alt<3->{\color<3>{blue}A=\int_a^b(f(x)-g(x)) \text{d}x}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}$$\pause \pause 

\end{block}

\end{frame}

\section{Intégrales et inégalités}

\subsection{Positivité}

\begin{frame}

\begin{block}{Positivité}
si $a \leq b$ et si $f (x)\geq 0$ pour tout $x \in [a ; b]$  alors $$\alt<2->{\color<2>{blue}\int_a^b f(x) \text{d}x \geq 0}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots }$$\pause \pause 
\end{block}

~

\emph{Démonstration : par définition,} $\displaystyle{\int_a^b f(x) \text{d}x=F(b)-F(a)}$\, \emph{où $F$ une primitive de $f$ sur $[a ; b]$, c'est-à-dire $F'=f$;} \pause

\emph{  donc, si $f(x)\geq 0$ pour tout $x \in [a ; b]$, alors $F$ est croissante sur $[a ; b]$; } \pause

\emph{ donc $F(b)\geq F(a)$ et $F(b)-F(a)\geq 0$. }

\end{frame}

\subsection{Intégration d'une inégalité}

\begin{frame}

\begin{block}{Théorème}

Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a ; b]$.

Si $a \leq b$ et si $f (x) \leq g(x)$ pour tout $x\in [a ; b]$, alors

$$\alt<2->{\color<2>{blue}\int_a^b f(x) \text{d}x\leq  \int_a^b g(x) \text{d}x }{\ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots }$$\pause \pause 

\end{block}

~ 

\emph{Pour la démonstration, considérer la fonction $h=g - f$.} 

\end{frame}

\subsection{Encadrement}

\begin{frame}

Soit $f$ une fonction continue, positive et croissante sur $[a;b]$ et $n$ un entier strictement positif. \pause

On partage $[a;b]$ en $n$ intervalles d'amplitude $h=\cfrac{b-a}{n}$\, . \pause

Sur chaque intervalle $[a+ih;a+(i+1)h]$, où $i$ varie de $0$ à $n-1$, on a l'encadrement $$\alt<4->{\color<4>{blue}f(a+ih)\leq f(x)\leq f(a+(i+1)h)}{\ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots }$$\pause \pause 

Donc $\alt<6->{\color<6>{blue}\displaystyle{hf(a+ih)\leq \int_{a+ih}^{a+(i+1)h}f(x)\text{d}x\leq hf(a+(i+1)h)}}{\ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}$\pause \pause, où à gauche et à droite, les produits sont des aires de rectangles.

\end{frame}

\begin{frame}

On obtient alors l'encadrement suivant :
$$\alt<2->{\color<2>{blue} h\sum_{i=0}^{n-1}f(a+ih)\leq \int_a^bf(x)\text{d}x\leq h\sum_{i=0}^{n-1}f(a+(i+1)h)}{\ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots  \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots }$$\pause \pause 

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{figure}[htbp]
\begin{minipage}{0.9\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{int_image2.pdf}
\end{center}
\end{minipage}
\end{figure}

\end{frame}

\begin{frame}

\textbf{Algorithme}:
les variables sont $a$ et $b$ les bornes de l'intervalle, $n$ le nombre de rectangles, $h$ le pas (la largeur des rectangles), $x$ l'abscisse courante, s1 et s2 les sommes des aires.

\vspace{1ex}

\begin{small}
$h \leftarrow (b-a)/n$

s1 $\leftarrow 0$

s2 $\leftarrow 0$

$x \leftarrow a$

POUR $i$ variant de $0$ à $n-1$

 \qquad  \quad  s1 $\leftarrow$ s1 $+f(x)$
		
  \qquad \quad  $x \leftarrow x+h$
		
  \qquad \quad  s2 $\leftarrow$ s2 $+f(x)$
		
FIN POUR

s1 $\leftarrow h$ * s1

s2 $\leftarrow h$ * s2
\end{small}


\end{frame}

\begin{frame}

~

~

Si la fonction $f$ est simplement continue sur $[a;b]$, on peut obtenir une valeur approchée de l'intégrale en approximant $f(x)$, sur chaque intervalle $[a+ih;a+(i+1)h]$,  par: $f(a+(i+1/2)h)$.

\end{frame}

\subsection{Valeur moyenne}

\begin{frame}

\begin{block}{Théorème}

Soit $f$ une fonction continue sur $[a ; b]$.

Si $a \leq b$ et si $m$ et $M$ sont deux réels tels que $m \leq f (x) \leq M$ pour tout $x \in [a ; b]$,
alors  $$\alt<2->{\color<2>{blue}m (b - a)\leq  \int_a^b f(x) \text{d}x  \leq M (b - a)}{\ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots  \ldots }$$\pause \pause 

$$\text{ et si} \, a < b,  \quad \alt<4->{\color<4>{blue}m \leq  \frac{1}{b-a} \int_a^b f(t)  \text{d}t \leq M}{\ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots }$$\pause \pause 

\end{block}

 \emph{Démonstration à l'aide du théorème précédent.}
 
 \end{frame}

\begin{frame}

\begin{block}{Définition}

On appelle valeur moyenne de la fonction $f$ sur $[a ; b]$ le nombre $$\alt<2->{\color<2>{blue}\mu  = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \text{d}x}{\ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots }$$\pause \pause 


\end{block}

\end{frame}

 \end{document}    
