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%création des ensembles de nombres
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\begin{document}

\pagestyle{fancy}
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\lfoot{\small{Bernelas - Bays - Desclaux}}
\rfoot{\small{Lycée Les Eucalyptus 2019-2020}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\renewcommand \headrulewidth{0pt}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}

 \begin{center} \Large \textbf{\fbox{CALCUL INTEGRAL}} 
  \end{center}
 \vspace{2ex}


\section {Intégrale d'une fonction continue et positive}


\subsection{Définition}
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
Soient $a$ et $b$ deux réels quelconques tels que $a < b$, $f$ une fonction continue et positive sur $[a ; b]$  et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $(O; I, J)$.

L'unité d'aire est l'aire du rectangle de côtés $[OI]$ et $[OJ]$.

~
      
On appelle \textbf{intégrale de $f$ sur $[a;b]$}, l'aire, exprimée en unités d'aire, de la surface limitée par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$, et les droites d'équations $x = a$ et $x = b$.
\end{minipage}}
\end{center}

~


\begin{figure}[htbp]
\begin{minipage}{0.8\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.6\textwidth]{int_image1.pdf}
\end{center}
\end{minipage}
\end{figure}


L'intégrale de $f$ sur $[a;b]$ se note $\displaystyle{\int_a^b f(x) \text{d}x}$ .

~

On dit aussi que $\displaystyle{\int_a^b f(x) \text{d}x}$ \, représente \textbf{l'aire sous la courbe} entre $a$ et $b$.

\subsection{Remarque}

Dans l'écriture  $\displaystyle{\int_a^b f(x) \text{d}x}$, $x$ est une lettre " muette ". On peut la remplacer par n'importe qu'elle autre lettre, exceptées $a$ et $b$ : $$\int_a^b f(x)\text{d}x =\int_a^b f(t) \text{d}t =\int_a^b f(u) \text{d}u =\int_a^b f(z) \text{d}z=\int_a^b f(\alpha) \text{d}\alpha = \ldots $$

~

   $\displaystyle{\int_a^b f(x) \text{d}x}$   se lit aussi " somme de $a$ à  $b$ de $f (x) \text{d}x$ ".


\subsection{Théorème}
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
Soit $f$ une fonction continue et positive sur $[a ; b]$; la fonction $F$ définie sur $[a ; b]$ par $\displaystyle{F(x)=\int_a^x f(t) \text{d}t}$ \, est dérivable sur $[a ; b]$ et $F'(x)=f(x)$ pour tout $x$ de $[a;b]$. 

De plus $F(a)=0$.
\end{minipage}}
\end{center}

~

 \textbf{Démonstration dans le cas où $f$ est croissante}
 
  Pour tout $x \in [a ; b]$ et $h>0$, $\displaystyle{F(x)=\int_a^x f(t) \text{d}t}$ \, et $\displaystyle{F(x+h)=\int_a^{x+h} f(t) \text{d}t}$.
  
Ainsi  $F(x+h)-F(x)$ est l'aire de la surface limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les  droites verticales passant par les points d'abscisses $x$ et $x+h$.

  
  \begin{figure}[htbp]
\begin{minipage}{0.8\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{int_image3.pdf}
\end{center}
\end{minipage}
\end{figure}


  
On a donc  $hf(x)\leq F(x+h)-F(x) \leq hf(x+h)$, ce qui, dans le cas où $f$ est croissante, entraîne que $f(x)\leq \cfrac{F(x+h)-F(x)}{h} \leq f(x+h)$. 

~

Puisque la fonction $f$ est continue, $\displaystyle{\lim_{h\rightarrow 0} f(x+h)=f(x)} $\, donc, d'après le théorème des gendarmes, $\displaystyle{\lim_{h\rightarrow 0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h}=f(x)} $\,  ce qui signifie que $F$  est dérivable en $x$ et  $F'(x)=f(x)$  pour tout $x \in [a ; b]$.

\section{Primitives et intégrale}
    
 \subsection{Définition}
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}    
    Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$.

On dit qu'une fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $I$ si la fonction $F$ est dérivable sur $I$ et a pour dérivée la fonction $f$.
\end{minipage}}
\end{center}

~

" $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ " a le même sens que " $f$ est la fonction dérivée de $F$ sur $I$ ".

\subsection{Théorème}
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur cet intervalle.
\end{minipage}}
\end{center}

~
    
    \textbf{Démonstration dans le cas où $I=[a;b]$}.
    
    Si $f$ est positive, on a vu que la fonction $F$ définie par $\displaystyle{F(x)=\int_a^x f(t) \text{d}t}$ \, est une primitive de $f$ puisque $F'(x)=f(x)$.
    
    ~
    
    Sinon, on admet que $f$ a un mininum $m$ sur $[a;b]$ et on défini une fonction $g$ sur $[a;b]$, par $g(x)=f(x)-m$;
    
    $g$ est continue et positive sur $[a;b]$, donc admet une primitive $G$ définie par $\displaystyle{G(x)=\int_a^x g(t) \text{d}t}$. Alors la fonction $F$ définie par $F(x)=G(x)+mx$ est une primitive de $f$ sur $[a;b]$.
    
\subsection{Théorème}
    
 \begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
    Si la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $I$, alors la fonction $G$ définie sur $I$ par $G (x) = F (x) + c$ où $c$ est un nombre réel quelconque, est aussi une primitive de $f$ sur $I$.
 \end{minipage}}
\end{center}   

~

Toutes les primitives de $f$ sur $I$ sont les fonctions $G$ définies sur $I$ par  
$G (x) = F (x) + c$ où $c$ est un nombre réel quelconque.

   
\subsection{Théorème}
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}  
  Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$,
$x_0$ un réel appartenant à $I$  et $y_0$ un réel donné quelconque; 
alors il existe une fonction $F$ unique, primitive de $f$ sur $I$, telle que $F (x_0) = y_0$.
\end{minipage}}
\end{center}   

~

\textbf{Démonstration}

Si $G$ est une primitive quelconque, alors toutes les primitives de $f$ sont les fonctions $F$ définies sur $I$ par $F(x)=G(x)+c$; la condition $F(x_0)=y_0$\, implique $c=y_0-G(x_0)$\, et $c$ est unique.

~

En particulier, si $I=[a ; b]$ et si  $F$ est la fonction définie sur $[a ; b]$ par 
         $F(x) = \displaystyle{\int_a^x f(t)  \text{d}t} $
         alors $F$  est l'unique primitive de $f$ qui s'annule en $a$.

~

  \subsection{Détermination des primitives d'une fonction}
    
    
    On cherche dans le tableau des dérivées usuelles en le lisant de droite à gauche et on utilise les résultats suivants :

$\bullet$	si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ et si $G$ est une primitive de $g$ sur $I$  alors $F + G$ est une primitive de $f + g$ sur $I$.

$\bullet$   si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ et si $k$ est un nombre réel quelconque alors $kF$ est une primitive
    de $kf$ sur $I$.

  
\subsection{Primitives des fonctions usuelles}

Pour chacune des fonctions $f$ suivantes, la fonction $F$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle $I$ donné :

~

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{center}
$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Fonction } f & \text{Intervalle } I &  \text{Primitive } F  \\
\hline 
f (x) = a \quad \text {avec } a\in \R &   I = \R & F(x)=ax \\
\hline
f (x) = x^n \quad \text {avec } n\in \N^* &   I = \R & F(x)=\cfrac{1}{n+1}\,x^{n+1} \\
\hline
f (x) = \cfrac{1}{x^2} &  I = ]-\infty; 0[ \, \text { ou } \, I = ]0 : +\infty[ & F(x)=-\cfrac{1}{x} \\
\hline
f (x) =  \cfrac{1}{\sqrt{x}}  &  I = ]0 : +\infty[ &  F(x)=2\sqrt{x}\\
\hline
f (x) = \text{e}^{x} & I = \R & F(x) = \text{e}^{x} \\
\hline
f (x) = \cfrac{1}{x} & I = ]0 : +\infty[ & F(x)=\ln x \\
\hline
f (x) = \cos x & I = \R & F(x) = \sin x \\
\hline
f (x) = \sin x & I = \R & F(x)=-\cos x  \\
\hline
\end{array}$
\end{center}

 ~
 
 ~
 

\textbf{Fonctions composées : } on suppose que $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $J$, dérivable et strictement positive sur un intervalle $K$.

\begin{center}
$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Fonction } f & \text{Intervalle } I &  \text{Primitive } F  \\
\hline 
f (x) = \cos (ax+b) \quad \text{ avec } a \neq 0 & I=\R & F(x)=\cfrac{1}{a}\sin (ax+b) \\
\hline
f (x) = \sin (ax+b) \quad \text{ avec } a \neq 0 & I=\R& F(x)=-\cfrac{1}{a}\cos (ax+b) \\
\hline
f = u'\times u^n \quad  \text{ avec } n\in \N^* & I=J & F(x)=\cfrac{1}{n+1}u^{n+1} \\
\hline
f = \cfrac{u'}{\sqrt{u}} & I=K &  F(x)=2\sqrt{u}\\
\hline
f = u' \text{e}^u  &  I=J & F(x) = \text{e}^{u} \\
\hline
f  = \cfrac{u'}{u} & I=K & F(x)=\ln u \\
\hline
\end{array}$
\end{center}

  ~
  
\section {Intégrale d'une fonction continue}
    
    \subsection {Propriété}
 \begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}   
 Soit $f$ une fonction continue et positive sur $[a ; b]$ et $F$ une primitive de $f$ sur $[a ; b]$.
 
Alors l'intégrale de $a$ à $b$ de la fonction $f$ est égale au nombre $F(b) - F(a)$.
	
	On note : $$ \int_a^b f(x) \text{d}x  = F(b) - F(a)$$
\end{minipage}}
\end{center}  

~

\textbf{Démonstration}

      On sait que $f$ admet des primitives sur $[a ; b]$, par exemple la fonction $G$ définie par $G(x)=\displaystyle{ \int_a^x f(t) \text{d}t}$.
      
       $G(b)=\displaystyle{ \int_a^b f(t) \text{d}t}$ \, et $G(a)=0$ \, donc on a bien $G(b)-G(a)=\displaystyle{ \int_a^b f(t) \text{d}t}$.
 
 ~
       
      Il reste à démontrer que l'intégrale de $f$ ne dépend pas du choix de la primitive:
      
      si $F$ une primitive quelconque de $f$, alors $F(x)=G(x)+c$ \, et on vérifie alors que $F(b)-F(a)=G(b)-G(a)$.
      
    \subsection {Définition}
    
    On généralise la notion d'intégrale :

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}     
 soit $f$ une fonction continue  sur un intervalle $I$,  $a$ et $b$ deux réels quelconques de $I$ et $F$ une primitive de $f$ sur $I$.
 
On appelle intégrale entre $a$ à $b$ de la fonction $f$ le nombre $F(b) - F(a)$.
	
	On note : $$ \int_a^b f(x) \text{d}x  = F(b) - F(a)$$  
\end{minipage}}
\end{center}  

   \subsection {Exemple}

$$\text{Pour} \, x>0, \qquad \int_1^x \frac{1}{t}  \text{d}t= \ln x - \ln 1= \ln x$$





\subsection {Propriétés}

Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$, $a$, $b$ et $c$ des éléments de $I$.

~

\begin{itemize}

\item  $$\int_a^a f(x) \text{d}x =0$$

\item Inversion des bornes

 $$\int_a^b f(x) \text{d}x= - \int_b^a f(x)  \text{d}x$$
 
\emph{Démonstration immédiate à l'aide de la définition.}

~

\item Relation de Chasles

   $$\int_a^b f(x) \text{d}x=  \int_a^c f(x) \text{d}x +  \int_c^b f(x) \text{d}x$$
   
\emph{Démonstration immédiate à l'aide de la définition.}

~

\item Linéarité

  si  $k$ est un réel quelconque, alors  $$ \int_a^b k f(x) \text{d}x = k\int_a^b f(x) \text{d}x  $$
  
\emph{Démonstration presque immédiate à l'aide de la définition.}

~

\item Linéarité

  $$ \int_a^b (f(x)+g(x)) \text{d}x = \int_a^b f(x) \text{d}x  +  \int_a^b g(x) \text{d}x $$
  
\emph{Démonstration presque immédiate à l'aide de la définition.}

\end{itemize}

\section{Calcul d'aires}

Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a;b]$.

~

\begin{itemize}
\item L'aire, exprimée en unités d'aire, de la surface délimitée par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$ est :
$$A=\int_a^b f(x) \text{d}x \quad \text{si } f \text{ est positive sur } [a;b]$$ 
$$A=-\int_a^b f(x) \text{d}x \quad \text{si } f \text{ est négative sur }  [a;b]$$
\item si $f(x) \geq g(x)$ \, sur $[a;b]$, alors l'aire, exprimée en unités d'aire, de la surface délimitée par  les courbes $C_f$ et $C_g$ et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$ est :
$$A=\int_a^b(f(x)-g(x)) \text{d}x $$
\end{itemize}


\section{Intégrales et inégalités}


\subsection{Positivité}
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
 si $a \leq b$ et si $f (x)\geq 0$ pour tout $x \in [a ; b]$  alors $$\int_a^b f(x) \text{d}x \geq 0$$
 \end{minipage}}
\end{center} 

\emph{Démonstration : par définition,} $\displaystyle{\int_a^b f(x) \text{d}x=F(b)-F(a)}$\, \emph{où $F$ une primitive de $f$ sur $[a ; b]$,}

\emph{ c'est-à-dire $F'=f$; donc, si $f(x)\geq 0$ pour tout $x \in [a ; b]$, alors $F$ est croissante sur $[a ; b]$; }

\emph{ donc $F(b)\geq F(a)$ et $F(b)-F(a)\geq 0$. }

~

\subsection{Intégration d'une inégalité}

\textbf{Théorème}
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a ; b]$.

Si $a \leq b$ et si $f (x) \leq g(x)$ pour tout $x\in [a ; b]$, alors $$\int_a^b f(x) \text{d}x\leq  \int_a^b g(x) \text{d}x $$
\end{minipage}}
\end{center} 

\emph{Pour la démonstration, considérer la fonction $h=g - f$.}

\subsection{Encadrement}

Soit $f$ une fonction continue, positive et croissante sur $[a;b]$ et $n$ un entier strictement positif. 

On partage $[a;b]$ en $n$ intervalles d'amplitude $h=\cfrac{b-a}{n}$\, . 

Sur chaque intervalle $[a+ih;a+(i+1)h]$, où $i$ varie de $0$ à $n-1$, on a l'encadrement $$f(a+ih)\leq f(x)\leq f(a+(i+1)h)$$ 

Donc $\displaystyle{hf(a+ih)\leq \int_{a+ih}^{a+(i+1)h}f(x)\text{d}x\leq hf(a+(i+1)h)}$, où à gauche et à droite, les produits sont des aires de rectangles.

~

On obtient alors l'encadrement suivant :
$$ h\sum_{i=0}^{n-1}f(a+ih)\leq \int_a^bf(x)\text{d}x\leq h\sum_{i=0}^{n-1}f(a+(i+1)h) $$

~

On peut écrire un programme afin d'effectuer ce calcul.

\newpage

\begin{figure}[htbp]
\begin{minipage}{0.9\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{int_image2.pdf}
\end{center}
\end{minipage}
\end{figure}


\textbf{Algorithme}

Les variables sont $a$ et $b$ les bornes de l'intervalle, $n$ le nombre de rectangles, $h$ le pas (la largeur des rectangles), $x$ l'abscisse courante, s1 et s2 les sommes des aires.

\begin{cadrecode}
\begin{small}
$h \leftarrow (b-a)/n$

s1 $\leftarrow 0$

s2 $\leftarrow 0$

$x \leftarrow a$

POUR $i$ variant de $0$ à $n-1$

 \qquad    s1 $\leftarrow$ s1 $+f(x)$
		
  \qquad   $x \leftarrow x+h$
		
  \qquad   s2 $\leftarrow$ s2 $+f(x)$
		
FIN POUR

s1 $\leftarrow h$ * s1

s2 $\leftarrow h$ * s2
\end{small}
\end{cadrecode}

Si la fonction $f$ est simplement continue sur $[a;b]$, on peut obtenir une valeur approchée de l'intégrale en approximant $f(x)$, sur chaque intervalle $[a+ih;a+(i+1)h]$,  par: $f(a+(i+1/2)h)$.

\subsection{Valeur moyenne}

\textbf{Théorème}
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
Soit $f$ une fonction continue sur $[a ; b]$.

Si $a \leq b$ et si $m$ et $M$ sont deux réels tels que $m \leq f (x) \leq M$ pour tout $x \in [a ; b]$,
alors  $$m (b - a)\leq  \int_a^b f(x) \text{d}x  \leq M (b - a)$$

$$\text{ et si} \, a < b,  \quad m \leq  \frac{1}{b-a} \int_a^b f(t)  \text{d}t \leq M$$
\end{minipage}}
\end{center} 
 
\emph{Démonstration à l'aide du théorème précédent.}
 
\textbf{Définition}
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
 
On appelle valeur moyenne de la fonction $f$ sur $[a ; b]$ le nombre $$\mu  = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \text{d}x$$ 
\end{minipage}}
\end{center}


 \end{document}    
