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\parindent 0.8cm

%création des ensembles de nombres
\font\bbw=msbm10
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\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead{}
\fancyfoot{}
\lfoot{\small{Bernelas - Bays - Desclaux}}
\rfoot{\small{Lycée Les Eucalyptus 2019-2020}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\renewcommand \headrulewidth{0pt}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}

 \begin{center} \Large \textbf{\fbox{CALCUL INTEGRAL}} 
  \end{center}
 \vspace{4ex}


\section {Intégrale d'une fonction continue et positive}


\subsection{Définition}
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
Soient $a$ et $b$ deux réels quelconques tels que $a < b$, $f$ une fonction continue et positive sur $[a ; b]$  et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $(O; I, J)$.

L'unité d'aire est l'aire du rectangle de côtés $[OI]$ et $[OJ]$.

~
      
On appelle \textbf{intégrale de $f$ sur $[a;b]$}, \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
\end{minipage}}
\end{center}

~


\begin{figure}[htbp]
\begin{minipage}{0.8\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.6\textwidth]{int_image1.pdf}
\end{center}
\end{minipage}
\end{figure}


L'intégrale de $f$ sur $[a;b]$ se note $\displaystyle{\int_a^b f(x) \text{d}x}$ .

~

On dit aussi que $\displaystyle{\int_a^b f(x) \text{d}x}$ \, représente \textbf{l'aire sous la courbe} entre $a$ et $b$.

~

\subsection{Remarque}

Dans l'écriture  $\displaystyle{\int_a^b f(x) \text{d}x}$, $x$ est une lettre " muette ". On peut la remplacer par n'importe qu'elle autre lettre, exceptées $a$ et $b$ : $$\int_a^b f(x)\text{d}x =\int_a^b f(t) \text{d}t =\int_a^b f(u) \text{d}u =\int_a^b f(z) \text{d}z=\int_a^b f(\alpha) \text{d}\alpha = \ldots $$

~

   $\displaystyle{\int_a^b f(x) \text{d}x}$   se lit aussi " somme de $a$ à  $b$ de $f (x) \text{d}x$ ".

~


\subsection{Théorème}
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
Soit $f$ une fonction continue et positive sur $[a ; b]$; la fonction $F$ définie sur $[a ; b]$ par $\displaystyle{F(x)=\int_a^x f(t) \text{d}t}$ \, \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

~

 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
 
 ~
 
\end{minipage}}
\end{center}

 \textbf{Démonstration dans le cas où $f$ est croissante}
 
\vspace{1ex}

  Pour tout $x \in [a ; b]$ et $h>0$,  \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
  \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
 
\vspace{2ex}
  
Ainsi  $F(x+h)-F(x)$ est  \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
  
\begin{figure}[htbp]
\begin{minipage}{0.8\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{int_image3.pdf}
\end{center}
\end{minipage}
\end{figure}
  
On a donc \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\vspace{1ex}

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

~


Puisque la fonction $f$ est continue, $\displaystyle{\lim_{h\rightarrow 0} f(x+h)=\ldots \ldots} $\, donc, d'après le théorème des 

\vspace{1ex}

gendarmes, \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\vspace{1ex}

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots


\section{Primitives et intégrale}
    
 \subsection{Définition}
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}    
    Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$.

On dit qu'une fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $I$ si \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 
\ldots \ldots 

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
\end{minipage}}
\end{center}

~

" $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ " a le même sens que \ldots \ldots \ldots 
\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\subsection{Théorème}
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
~

Toute fonction continue \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

~

\end{minipage}}
\end{center}

~
    
    \textbf{Démonstration dans le cas où $I=[a;b]$}.

\vspace{1ex}
    
    Si $f$ est positive, \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
 
\vspace{2ex}
    
    \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
    
\vspace{2ex}
    
    Sinon, on admet que $f$ a un mininum $m$ sur $[a;b]$ et on défini une fonction $g$ sur $[a;b]$, par $g(x)=f(x)-m$;
    
    $g$ est \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\vspace{1ex}

\ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
    
    ~
    
\subsection{Théorème}
    
 \begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
    Si la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $I$, \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
  
		\vspace{1ex}
		
\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
 \end{minipage}}
\end{center}   

\vspace{2ex}

Toutes les primitives de $f$ sur $I$ sont les fonctions $G$ définies sur $I$ par  
$G (x) = F (x) + c$ où $c$ est un nombre réel quelconque.

   
\subsection{Théorème}
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}  
  Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$,
$x_0$ un réel appartenant à $I$  et $y_0$ un réel donné quelconque; 
\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\ldots \ldots \ldots \ldots
\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
\end{minipage}}
\end{center}   

~

\textbf{Démonstration}

Si $G$ est une primitive quelconque, alors toutes les primitives de $f$ sont les fonctions $F$ définies sur $I$ par \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\vspace{1ex}

En particulier, si $I=[a ; b]$ et si  $F$ est la fonction définie sur $[a ; b]$ par 
         $F(x) = \displaystyle{\int_a^x f(t)  \text{d}t} $
         alors $F$ 
				
\vspace{1ex}

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\vspace{1ex}

  \subsection{Détermination des primitives d'une fonction}
    
    
    On cherche dans le tableau des dérivées usuelles en le lisant de droite à gauche et on utilise les résultats suivants :

$\bullet$	si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ et si $G$ est une primitive de $g$ sur $I$  alors $F + G$ est une primitive de $f + g$ sur $I$.

$\bullet$   si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ et si $k$ est un nombre réel quelconque alors $kF$ est une primitive
    de $kf$ sur $I$.

  
\subsection{Primitives des fonctions usuelles}

Pour chacune des fonctions $f$ suivantes, la fonction $F$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle $I$ donné :

\vspace{1ex}

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{center}
$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Fonction } f & \text{Intervalle } I &  \text{ ~ ~ ~ Primitive } F \text{ ~ ~ ~} \\
\hline 
f (x) = a \quad \text {avec } a\in \R &   I = \R & \ldots \ldots \ldots \ldots \\
\hline
f (x) = x^n \quad \text {avec } n\in \N^* &   I = \R & \ldots \, \, \cfrac{1}{n+1} \, \, \ldots \\
\hline
f (x) = \cfrac{1}{x^2} &  I = ]-\infty; 0[ \, \text { ou } \, I = ]0 : +\infty[ & \ldots \ldots \ldots \ldots \\
\hline
f (x) =  \cfrac{1}{\sqrt{x}}  &  I = ]0 : +\infty[ &  \ldots \ldots \ldots \ldots \\
\hline
f (x) = \text{e}^{x} & I = \R & \ldots \ldots \ldots \ldots \\
\hline
f (x) = \cfrac{1}{x} & I = ]0 : +\infty[ & \ldots \ldots \ldots \ldots \\
\hline
f (x) = \cos x & I = \R & \ldots \ldots \ldots \ldots \\
\hline
f (x) = \sin x & I = \R & \ldots \ldots \ldots \ldots  \\
\hline
\end{array}$
\end{center}

 ~
 
 ~
 

\textbf{Fonctions composées : } on suppose que $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $J$, dérivable et strictement positive sur un intervalle $K$.

\begin{center}
$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Fonction } f & \text{Intervalle } I &   \text{ ~ ~ ~ ~ ~ Primitive } F \text{ ~ ~ ~ ~ ~ } \\
\hline 
f (x) = \cos (ax+b) \quad \text{ avec } a \neq 0 & I=\R & \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
\hline
f (x) = \sin (ax+b) \quad \text{ avec } a \neq 0 & I=\R& \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
\hline
f = u'\times u^n \quad  \text{ avec } n\in \N^* & I=J & \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
\hline
f = \cfrac{u'}{\sqrt{u}} & I=K &  \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
\hline
f = u' \text{e}^u  &  I=J & \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
\hline
f  = \cfrac{u'}{u} & I=K & \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
\hline
\end{array}$
\end{center}

  ~
  
\section {Intégrale d'une fonction continue}
    
    \subsection {Propriété}
 \begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}   
 Soit $f$ une fonction continue et positive sur $[a ; b]$ et $F$ une primitive de $f$ sur $[a ; b]$.
 
\vspace{2ex}
 
Alors  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
	
	~
	
	On note : $$ \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots $$
\end{minipage}}
\end{center}  

~

\textbf{Démonstration}

      \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
 
\vspace{2ex}
     
      \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots  
     
\vspace{2ex}
      
       \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
 
 \vspace{2ex}
       
      \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
    
 \vspace{2ex}
      
      \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
  
			\vspace{2ex}
			
      \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots  \ldots 
      
    \subsection {Définition}
    
    On généralise la notion d'intégrale :

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}     
 soit $f$ une fonction continue  sur un intervalle $I$,  $a$ et $b$ deux réels quelconques de $I$ et $F$ une primitive de $f$ sur $I$.
 
\vspace{1ex} 

\ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots  \ldots 
	
\vspace{2ex}
	
	On note : \qquad \qquad \qquad \qquad $\ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots $
	
	\vspace{2ex}
	
\end{minipage}}
\end{center}  

   \subsection {Exemple}

$$\text{Pour} \, x>0, \qquad \int_1^x \frac{1}{t}  \text{d}t= \ln x - \ln 1= \ln x$$





\subsection {Propriétés}

Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$, $a$, $b$ et $c$ des éléments de $I$.

~

\begin{itemize}

\item  $$\ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots$$

\item Inversion des bornes

 $$\ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots $$
 
\emph{Démonstration immédiate à l'aide de la définition.}

~

\item Relation de Chasles

   $$\ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots$$
   
\emph{Démonstration immédiate à l'aide de la définition.}

~

\item Linéarité

  si  $k$ est un réel quelconque, alors  $$ \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $$
  
\emph{Démonstration presque immédiate à l'aide de la définition.}

~

\item Linéarité

  $$ \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots $$
  
\emph{Démonstration presque immédiate à l'aide de la définition.}

\end{itemize}

\section{Calcul d'aires}

Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a;b]$.

~

\begin{itemize}
\item L'aire, exprimée en unités d'aire, de la surface délimitée par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$ est :

~

$$\ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots$$ 

~

$$\ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots$$

~

\item si $f(x) \geq g(x)$ \, sur $[a;b]$, alors l'aire, exprimée en unités d'aire, de la surface délimitée par  les courbes $C_f$ et $C_g$ et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$ est :

\vspace{2ex}

$$\ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots  \ldots $$
\end{itemize}


\section{Intégrales et inégalités}


\subsection{Positivité}
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}


 si $a \leq b$ et si $f (x)\geq 0$ pour tout $x \in [a ; b]$  alors $$\ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots  \ldots \dots $$
 
\vspace{1ex}
 
 \end{minipage}}
\end{center} 

\emph{Démonstration : par définition,} $\displaystyle{\int_a^b f(x) \text{d}x=F(b)-F(a)}$\, \emph{où $F$ une primitive de $f$ sur $[a ; b]$,}

\emph{ c'est-à-dire $F'=f$; donc, si $f(x)\geq 0$ pour tout $x \in [a ; b]$, alors $F$ est croissante sur $[a ; b]$; }

\emph{ donc $F(b)\geq F(a)$ et $F(b)-F(a)\geq 0$. }
\subsection{Intégration d'une inégalité}

\vspace{2ex}

\textbf{Théorème}
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a ; b]$.

Si $a \leq b$ et si $f (x) \leq g(x)$ pour tout $x\in [a ; b]$, alors $$\ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots $$

\vspace{2ex}

\end{minipage}}
\end{center} 

\emph{Pour la démonstration, considérer la fonction $h=g - f$.}

\subsection{Encadrement}

Soit $f$ une fonction continue, positive et croissante sur $[a;b]$ et $n$ un entier strictement positif. 

On partage $[a;b]$ en $n$ intervalles d'amplitude $h=\cfrac{b-a}{n}$\, . 

Sur chaque intervalle $[a+ih;a+(i+1)h]$, où $i$ varie de $0$ à $n-1$, on a l'encadrement $$\ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $$ 

\vspace{1ex}

Donc \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots 

~

où à gauche et à droite, les produits sont des aires de rectangles.

~

On obtient alors l'encadrement suivant :
$$ \ldots \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots $$

~

On peut écrire un programme afin d'effectuer ce calcul.

\newpage

\begin{figure}[htbp]
\begin{minipage}{0.9\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{int_image2.pdf}
\end{center}
\end{minipage}
\end{figure}


\textbf{Algorithme}

Les variables sont $a$ et $b$ les bornes de l'intervalle, $n$ le nombre de rectangles, $h$ le pas (la largeur des rectangles), $x$ l'abscisse courante, s1 et s2 les sommes des aires.

\begin{cadrecode}
\begin{small}
$h \leftarrow (b-a)/n$

s1 $\leftarrow 0$

s2 $\leftarrow 0$

$x \leftarrow a$

POUR $i$ variant de $0$ à $n-1$

 \qquad    s1 $\leftarrow$ s1 $+f(x)$
		
  \qquad   $x \leftarrow x+h$
		
  \qquad   s2 $\leftarrow$ s2 $+f(x)$
		
FIN POUR

s1 $\leftarrow h$ * s1

s2 $\leftarrow h$ * s2
\end{small}
\end{cadrecode}

Si la fonction $f$ est simplement continue sur $[a;b]$, on peut obtenir une valeur approchée de l'intégrale en approximant $f(x)$, sur chaque intervalle $[a+ih;a+(i+1)h]$,  par: $f(a+(i+1/2)h)$.

\subsection{Valeur moyenne}

\textbf{Théorème}
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
Soit $f$ une fonction continue sur $[a ; b]$.

Si $a \leq b$ et si $m$ et $M$ sont deux réels tels que $m \leq f (x) \leq M$ pour tout $x \in [a ; b]$,
alors  $$\ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots$$

$$\text{ et si} \, a < b,  \quad \ldots \ldots \ldots \ldots  \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$$

\vspace{2ex} 

\end{minipage}}
\end{center} 
 
 ~
 
 \emph{Démonstration à l'aide du théorème précédent.}
 
 ~
 
\textbf{Définition}
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
 
On appelle valeur moyenne de la fonction $f$ sur $[a ; b]$ le nombre $$\ldots \ldots  \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $$ 

\vspace{1ex}

\end{minipage}}
\end{center}




 \end{document}    
