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%création des ensembles de nombres
\font\bbw=msbm10
\def\R{\hbox{\bbw R}}
\def\N{\hbox{\bbw N}}
\def\Z{\hbox{\bbw Z}}
\def\D{\hbox{\bbw D}}
\def\Q{\hbox{\bbw Q}}


\title[Diaporama du cours]{Cours de terminale S\\Fonctions de référence\\Les fonctions sinus et cosinus}
\author{V. B. J. D. S. B.}
\institute{Lycée des EK}
\date{\today}


\begin{document}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}


\section{Définitions}

\begin{frame}

\begin{block}{Définition}
Le plan étant muni d'un repère orthonormé $(O; I, J)$, on peut associer à tout réel $x$ un unique point $M$ sur le cercle trigonométrique. (voir cours de seconde)\pause

La fonction \textbf{cosinus} est la fonction qui à tout réel $x$ associe \alt<3->{\color<3>{blue}l'abscisse de $M$. }{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots} \pause
\pause On note : $$\alt<5->{\color<5>{blue}\cos : x\in \R \longmapsto \cos x}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}$$\pause
\pause
 La fonction \textbf{sinus} est la fonction qui à tout réel $x$ associe \alt<7->{\color<7>{blue}l'ordonnée de $M$. }{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots} \pause
\pause On note : $$ \alt<9->{\color<9>{blue}\sin : x\in \R \longmapsto \sin x}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}$$\pause \pause
Ainsi, les fonctions cosinus et sinus sont définies sur $\R$.
\end{block}


\end{frame}

\section{Dérivées}

\subsection{Théorème admis}

\begin{frame}

\begin{block}{Théorème}

Les fonctions sinus et cosinus sont \alt<2->{\color<2>{blue}continues  et dérivables sur $\R$.}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\ldots } \pause

\pause
Pour tout réel $x$  :
$$ (\sin x)'=\alt<4->{\color<4>{blue}\cos x }{\ldots \ldots} \pause \pause \qquad \text{ et } \qquad (\cos x)'=\alt<6->{\color<6>{blue}-\sin x}{\ldots \ldots} $$\pause

\end{block}
\end{frame}

\subsection{Calcul de dérivées}

\begin{frame}

Soit $a$ et $b$ deux réels : \pause

$\bullet$ \quad la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\sin (ax+b)$ est dérivable sur $\R$ et pour tout réel $x$ :
$$f'(x)=\alt<3->{\color<3>{blue}a\cos (ax+b)}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}$$\pause

~ \pause

$\bullet$ \quad la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\cos (ax+b)$ est dérivable sur $\R$ et pour tout réel $x$ :
$$f'(x)=\alt<5->{\color<5>{blue}-a\sin (ax+b)}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}$$ \pause 

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{exampleblock}{Démonstration}

~ \pause

On sait que si $f(x)=g(ax+b)$, alors $f'(x)=\alt<3->{\color<3>{blue}a g'(ax+b)}{\ldots \ldots \ldots \ldots}$\pause 
\pause 

(voir le cours sur les dérivées).

\alt<5->{\color<5>{blue}Il suffit d'appliquer  cette formule en prenant pour $g$ la fonction sinus ou la fonction cosinus.}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots } 


\end{exampleblock}

\end{frame}

\section{Propriétés}

\subsection{Périodicité}

\begin{frame}

\begin{block}{Périodicité}

Pour tout réel $x$ : $$\sin (x+2\pi)=\alt<2->{\color<2>{blue}\sin x}{\ldots \ldots}\pause \pause \qquad \text{et} \qquad \cos (x+2\pi)=\alt<4->{\color<4>{blue}\cos x}{\ldots \ldots}$$\pause \pause


On dit que les fonctions sinus et cosinus sont \alt<6->{\color<6>{blue}\textbf{périodiques} de période $2\pi$.}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\ldots \ldots \ldots \ldots }\pause

~

\end{block}

\end{frame}

\begin{frame}{Application }

Il suffit de connaître les valeurs prises par les fonctions sinus et cosinus sur un intervalle d'amplitude $2\pi$ pour déterminer les valeurs de ces fonctions pour tout réel $x$. \pause

~

En particulier, pour le tracé des courbes représentatives, il suffit de tracer les courbes sur l'intervalle $[-\pi ; \pi ]$ par exemple puis de compléter par des translations successives de vecteur $2\pi \vec{i}$ et $-2\pi \vec{i}$. ($\vec{i}$ étant le vecteur unitaire en abscisse).

\end{frame}

\subsection{Parité}

\begin{frame}

\begin{block}{Parité}

Pour tout réel $x$ : $$\sin (-x)=\alt<2->{\color<2>{blue}-\sin x}{\ldots \ldots}\pause \pause \qquad \text{et} \qquad \cos (-x)=\alt<4->{\color<4>{blue}\cos x}{\ldots \ldots}$$\pause \pause


On dit que la fonction sinus est \alt<6->{\color<6>{blue}\textbf{impaire} }{\ldots \ldots \ldots  }\pause
\pause
et que la fonction cosinus est \alt<8->{\color<8>{blue}\textbf{paire}.}{\ldots \ldots}\pause

~

\end{block}

\end{frame}

\begin{frame}

\textbf{Conséquence :} dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction sinus est symétrique par rapport à l'origine du repère et la courbe représentative de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

~ \pause

\textbf{Application :} pour le tracé des courbes représentatives dans un repère orthogonal, on peut se restreindre à l'intervalle $[0;\pi]$, puis compléter sur l'intervalle $[-\pi ; \pi ]$ à l'aide des symétries précisées ci-dessus et enfin utiliser les translations comme précédemment.

\end{frame}


\subsection{Limites}

\begin{frame}

\begin{block}{Propriété}

$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=\alt<2->{\color<2>{blue}1}{\ldots}$$\pause

\end{block}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{exampleblock}{Démonstration}

La limite du quotient n'est pas immédiate puisqu'on obtient une forme indéterminée. \pause 
On lève l'indétermination en utilisant la définition du nombre dérivé : \pause

~

$\cfrac{\sin (0+x)-\sin 0}{x}$ \, est le \alt<4->{\color<4>{blue}taux d'accroissement }{\ldots \ldots  \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots }\pause \pause de la fonction sinus en 0. \pause

~

Sa limite quand $x$ tend vers 0 est le \alt<7->{\color<7>{blue}nombre dérivé }{\ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause de la fonction sinus en $0$ qui est $\alt<9->{\color<9>{blue}\cos 0 =1.}{\ldots \ldots \ldots  \ldots}$ \pause \pause

~

Donc $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}}=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin (0+x)-\sin 0}{x}=1}$.

\end{exampleblock}

\end{frame}

\section{Variations et représentations graphiques}
\subsection{Variations}

\begin{frame}

Grâce aux propriétés de périodicité et de parité énoncées plus haut, on peut limiter l'étude des variations à l'intervalle $[0; \pi]$.

Le signe des fonctions dérivées s'obtient avec le cercle trigonométrique.

\begin{center}
\textbf{Fonction cosinus}

\vspace{1ex}

\begin{tikzpicture}
   \tkzTabInit[lgt=3,espcl=2.8,deltacl=0.4]{$x$ / 1 , $f'(x)=-\sin x$ / 1, $f(x)=\cos x$ / 2}{$0$, $\pi$} \pause \color{blue}
	\tkzTabLine{z, -, z} \pause
	\tkzTabVar{+/ $1$, -/ $-1$} \pause
\end{tikzpicture}

\end{center}

\end{frame}


\begin{frame}

~

\begin{center}
\textbf{Fonction sinus}

~

\begin{tikzpicture}
   \tkzTabInit[lgt=2.8,espcl=2.2,deltacl=0.3]{$x$ / 1 , $f'(x)=\cos(x)$ / 1, $f(x)=\sin(x)$ / 2}{$0$, $\dfrac{\pi}{2}$, $\pi$} \pause \color{blue}
   \tkzTabLine{, +, z, -, } \pause
   \tkzTabVar{-/ 0, +/ 1, -/ 0} \pause
\end{tikzpicture}

\end{center}

\end{frame}

\subsection{Représentations graphiques}

\begin{frame}

~ 

\alt<2->{
\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.95\textwidth]{fr_image1a.pdf}
\caption{\it Courbe représentative de la fonction cosinus} \label{fig1}
\end{center}
\end{figure}}
{\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.95\textwidth]{fr_image1.pdf}
\caption{\it Courbe représentative de la fonction cosinus} \label{fig1}
\end{center}
\end{figure}}\pause

\end{frame}

\begin{frame}

~

\alt<2->{
\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.95\textwidth]{fr_image1b.pdf}
\caption{\it Courbe représentative de la fonction sinus} \label{fig2}
\end{center}
\end{figure}}
{\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.95\textwidth]{fr_image1.pdf}
\caption{\it Courbe représentative de la fonction sinus} \label{fig2}
\end{center}
\end{figure}}\pause
\end{frame}

 \end{document}    
