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%création des ensembles de nombres
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\begin{document}

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\lfoot{\small{Bernelas - Bays - Desclaux}}
\rfoot{\small{Lycée Les Eucalyptus 2019-2020}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
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\begin{center} \Large \textbf{\fbox{\begin{minipage}{0.6\textwidth}
  \begin{center} Fonctions de référence 2\end{center} 
\end{minipage}}} 
  \end{center}

\section{La fonction logarithme népérien}

\subsection{Définition et propriétés}

La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur $\R$. Le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires permet d'affirmer que quel que soit le réel $a$ strictement positif, il existe un réel unique $x$ tel que $\text{e}^x=a$.

~

\textbf{Définition}
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
Si $a$ est un réel strictement positif, la solution unique sur $\R$ de l'équation  $\text{e}^x=a$, d'inconnue $x$, s'appelle \textbf{logarithme népérien} de $a$, et on note $x=\ln a$.
\end{minipage}}
\end{center}

~

\textbf{Définition}
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
La fonction logarithme népérien est définie sur $]0;+\infty[$ par :  $x \longmapsto \ln x$.

Autrement dit, pour tout $x$ strictement positif, $$y=\ln x \Longleftrightarrow \text{e}^y=x$$
\end{minipage}}
\end{center}

On dit que la fonction $\ln$ est la \textbf{fonction réciproque} de la fonction $\exp$. 

~

Ainsi : $\ln 1=0 $\, puisque $\text{e}^0=1$\,  et $\ln \text{e}=1$\, puisque $\text{e}^1=\text{e}$.

De plus : si $\ln x =y$\, alors $x=\text{e}^y$\, et $\cfrac{1}{x}=\text{e}^{-y}$\, soit $\ln \left(\cfrac{1}{x}\right)=-y$. 

On obtient donc, pour tout réel $x$ strictement positif:

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
$$\ln \frac{1}{x}=-\ln x$$
\end{minipage}}
\end{center}



~


\textbf{Propriété}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
Pour tout réel $x$, $\ln (\text{e}^x)=x$\, et pour tout réel $x$ strictement positif, $\text{e}^{\ln x}=x$
\end{minipage}}
\end{center}


\subsection{Variations et limites}

\textbf{Propriété}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
La fonction logarithme népérien est continue et dérivable sur $]0;+\infty[$\, et $\ln'(x)=\cfrac{1}{x}$\,.
\end{minipage}}
\end{center}

\textbf{Démonstration partielle}

On admet que la fonction $\ln $ est continue et dérivable sur $]0;+\infty[$.

Si on pose $f(x)=\exp (\ln x)=x$, alors $f'(x)=\ln '(x) \times \exp (\ln x)= \ln '(x) \times x$. 

Or $f'(x)=1$, d'où $\ln '(x)=\cfrac{1}{x}$\, .

~

\textbf{Théorème}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
La fonction logarithme népérien  est strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
\end{minipage}}
\end{center}

~

$\ln'(x)=\cfrac{1}{x}$ \, et $\cfrac{1}{x}>0$ \, pour tout $x>0$; puisque sa dérivée est strictement positive sur $]0;+\infty[$, on conclut que la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$.

~

\textbf{Corollaire : } 
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
Pour tout réels $a$ et $b$ strictement positifs,
 $$a<b \Longleftrightarrow \ln a< \ln b\, \text{ et } \,  a=b \Longleftrightarrow \ln a = \ln b$$
\end{minipage}}
\end{center} 
 En particulier : $0<x <1$ équivaut à $\ln x <0$\, et  $x >1$ équivaut à $\ln x >0$.

~

\textbf{Théorème}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
 $$\lim_{x\longrightarrow +\infty} \ln x=+\infty \qquad \text{et} \qquad \lim_{\stackrel{x\longrightarrow 0}{x>0}} \ln x= -\infty $$
\end{minipage}}
\end{center}

~

\textbf{Démonstration}

On utilise la définition d'une limite infinie à l'infini : quel que soit le réel $A$, si $x>\text{e}^A$ alors $\ln x > A$; donc l'intervalle $]A;+\infty[$ contient toutes les valeurs de $\ln x$ pour $x$ assez grand.

~

Ensuite : $\displaystyle{\lim_{\stackrel{x\longrightarrow 0}{x>0}} \ln x=\lim_{\stackrel{x\longrightarrow 0}{x>0}} -\ln \frac{1}{x}}$\, ; 
or, $\displaystyle{\lim_{\stackrel{x\longrightarrow 0}{x>0}} \frac{1}{x}=+\infty}$\, et $\displaystyle{\lim_{X\longrightarrow +\infty} -\ln X=-\infty}$

~

Donc, par composition, on obtient $\displaystyle{\lim_{\stackrel{x\longrightarrow 0}{x>0}} \ln x=-\infty}$.

~

~

\textbf{Tableau de variation et représentation graphique}

On construit le tableau de variation à l'aide des résultats précédents. Puisque la fonction $\ln$ est la réciproque de la fonction $\exp$, les courbes représentatives de ces deux fonctions sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y=x$.

La courbe passe par les points de coordonnées $(1; 0)$ et $(\text{e};1)$.

La tangente à la courbe au point d'abscisse $1$ a pour coefficient directeur $\ln '(1)=1$.

Puisque $\displaystyle{\lim_{\stackrel{x\longrightarrow 0}{x>0}} \ln x=-\infty}$, la courbe représentative de la fonction logarithme népérien admet une asymptote d'équation $x=0$, soit l'axe des ordonnées.

~

\begin{figure}[htbp]
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\begin{flushleft}
\begin{tikzpicture}
   \tkzTabInit[lgt=2.7,espcl=3.2,deltacl=0.5]{$x$ / 1 , $\ln'(x)=\cfrac{1}{x}$ / 1.3, $\ln x$ / 2}{$0$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{d, +, }
	\tkzTabVar{D-/ $-\infty$, +/ $+\infty$}
\end{tikzpicture}
\end{flushleft}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
\begin{flushright}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{fr_image3a.pdf}\end{flushright}
\end{minipage}
\end{figure}

~

\subsection{Relation fonctionnelle}

La fonction $\ln$ est la réciproque de la fonction $\exp$. On peut donc déduire une relation fonctionnelle pour la fonction $\ln$ à partir de celle existant pour la fonction $\exp$ :

pour tout réels $x$ et $y$, $\exp(x)\exp(y)=\exp (x+y)$ 

donc $\ln (\exp(x)\exp(y))=\ln (\exp (x+y))=x+y$;

si on pose $a=\exp(x)$ et $b=\exp(y)$\,, soit $x=\ln a$ et $y= \ln b$\, on obtient :

~

\textbf{Théorème}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
Quels que soient les réels $a$ et $b$, strictement positifs  :

$$\ln (a\times b)=\ln a + \ln b$$
\end{minipage}}
\end{center}

~

\textbf{Remarque}

Si $a=b$, la relation fonctionnelle nous donne : $\ln (a^2)=2\ln a$.

On peut alors en déduire : $\ln x = \ln ((\sqrt{x})^2)=2\ln (\sqrt{x})$\,, soit $\ln (\sqrt{x})=\frac{1}{2}\ln x$.


\subsubsection{Propriétés}


\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
Quels que soient les réels $a$, $b$\, strictement positifs et l'entier relatif $n$ : 
$$\ln \left(\frac{a}{b}\right)=\ln a -\ln b \qquad \ln\left(\frac{1}{b}\right)=-\ln b \qquad \ln (a^n)=n \ln a$$
\end{minipage}}
\end{center}

~

\textbf{Démonstration}

$\bullet$ \quad La deuxième propriété a déjà été prouvée. 

~

$\bullet$ \quad  pour la première propriété, on utilise la relation fonctionnelle :

  $\ln \cfrac{a}{b}=\ln \left(a\times \cfrac{1}{b}\right)=\ln a +\ln \cfrac{1}{b}=\ln a -\ln b$.

~

$\bullet$ \quad pour la troisième propriété notée $P_n$ : " $\ln (a^n)=n \ln a$ "; 

nous allons d'abord démontrer par récurrence que $P_n$ est vraie pour tout $n\in \N$.

~

Initialisation : $\ln (a^0)= \ln 1=0$\, et $0\ln a=0$\, donc $P_0$ est vraie.

~

Hérédité : supposons que la propriété est vraie pour un certain entier naturel $k$;


soit $\ln (a^k)=k \ln a$. 

Alors $\ln (a^{k+1})= \ln (a^k\times a)=\ln(a^k)+\ln a=k\ln a +\ln a$ d'après l'hypothèse de récurrence,

donc $\ln (a^{k+1})=(k+1)\ln a$\, et $P_{k+1}$ est vraie.

~

Conclusion : $P_n$ est vraie pour tout $n\in \N$.

~

Maintenant, si $n$ est un entier relatif négatif, $\ln (a^n)=\ln \cfrac{1}{a^{-n}}=-\ln (a^{-n})$

or $(-n)\in \N$\,; on peut donc écrire  $\ln (a^{-n})=(-n)\ln a$

On en déduit que : $\ln (a^n)=n \ln a$.



\subsection{Compléments}

\subsubsection{Calcul de limites}

\textbf{Théorème}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
 $$\lim_{x\longrightarrow +\infty} \frac{\ln x}{x}= 0  \qquad \text{et} \qquad \lim_{x\longrightarrow 0} \frac{\ln (1+x)}{x}= 1$$
\end{minipage}}
\end{center}

~

~

\textbf{Démonstration}

$\bullet$ \quad On sait que pour tout $a$ réel, $a<\exp (a)$\, donc pour tout $a$ strictement positif, $\ln a \leq a$. (Croissance de la fonction $\ln$). On en déduit que pour tout $x$ strictement positif $ \ln \sqrt{x} \leq \sqrt{x}$\, d'où $\frac{1}{2} \ln x \leq \sqrt{x} $\, et donc $\ln x \leq 2\sqrt{x}$.

~

Alors, pour tout $x\geq 1$ : $0\leq \cfrac{\ln x}{x} \leq \cfrac{2\sqrt{x}}{x}$\,, c'est-à-dire : $0\leq \cfrac{\ln x}{x} \leq \cfrac{2}{\sqrt{x}}$\, . 

De plus $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{2}{\sqrt{x}}=0}$\, , donc par application du théorème des gendarmes, 
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\ln x}{x}=0}$.

~

\textbf{Remarque}

On pouvait aussi écrire $\cfrac{\ln x}{x}=\cfrac{X}{\exp(X)}=\cfrac{1}{\frac{\exp(X)}{X}}$\, , et appliquer les théorèmes sur la composition et l'inverse de limites. 

~

$\bullet$ \quad  $\cfrac{\ln (1+x)}{x}=\cfrac{\ln (1+x)-\ln 1}{x}$ \, est le taux d'accroissement de la fonction $\ln$ en 1. 

~

Sa limite quand $x$ tend vers 0 est le nombre dérivé de la fonction $\ln$ en $1$ qui est $1$.

~

Donc $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln (1+x)}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln (1+x)-\ln 1}{x}=1}$.


\subsubsection{Calcul de dérivées}

On montre que :

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
si $u$ est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$ de $\R$, alors la fonction composée $\ln \circ  u$, notée aussi $\ln u$, est dérivable sur $I$ et $$(\ln \circ u)'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)} $$
\end{minipage}}
\end{center}

~

Par exemple, on obtient pour tout $x>-\frac{b}{a}$ : $$(\ln (ax+b))'=\frac{a}{ax+b}$$

~


\textbf{Remarque} 

$u $ étant strictement positive, le signe de $(\ln u)'$ est le même que celui de $u'$. 

~

Cette dérivée satisfait à la formule générale : $$(f(u(x))'=u'(x)\times f'(u(x))$$

\section{Fonction logarithme décimal}

\subsection{Définition}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
On appelle fonction \textbf{logarithme décimal} la fonction notée $\log$ , définie sur $]0;+\infty[$\, par : $$\log x=\frac{\ln x}{\ln 10}$$
\end{minipage}}
\end{center}

~

En particulier : $\log 1 =0$ , $\log 10 =1$. 

~

\subsection{Propriétés}

Les propriétés de la fonction logarithme décimal se déduisent immédiatement de celles de la fonction $\ln$.

~

Par exemple, pour tout entier relatif $n$, $\log 10^n =\cfrac{\ln 10^n}{\ln 10}=\cfrac{n\ln 10}{\ln 10}=n$.

\subsubsection{Dérivée} 

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
La fonction logarithme décimal est continue et dérivable sur $]0;+\infty[$\, et 
$$\log'(x)=\frac{1}{x\ln 10}$$
\end{minipage}}
\end{center}

\subsubsection{Variations}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
La fonction logarithme décimal  est strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
\end{minipage}}
\end{center}


\subsubsection{Limites}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
 $$\lim_{x\longrightarrow +\infty} \log x=+\infty \qquad \text{et} \qquad \lim_{\stackrel{x\longrightarrow 0}{x>0}} \log x= -\infty $$
\end{minipage}}
\end{center}

\subsubsection{Relations fonctionnelles}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
Quels que soient les réels $a$ et $b$, strictement positifs  :

$$\log (a\times b)=\log a + \log b$$
\end{minipage}}
\end{center}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
Quels que soient les réels $a$, $b$\, strictement positifs et l'entier relatif $n$ : 
$$\log \left(\frac{a}{b}\right)=\log a -\log b \qquad \log\left(\frac{1}{b}\right)=-\log b \qquad \log (a^n)=n \log a$$
\end{minipage}}
\end{center}

 
 \end{document}    

  
