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%création des ensembles de nombres
\font\bbw=msbm10
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\begin{document}

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\lfoot{\small{Bernelas - Bays - Desclaux}}
\rfoot{\small{Lycée Les Eucalyptus 2019-2020}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
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\begin{center} \Large \textbf{\fbox{\begin{minipage}{0.6\textwidth}
  \begin{center} Fonctions de référence 1\end{center} 
\end{minipage}}} 
  \end{center}

\vspace{2ex}

\section{Les fonctions sinus et cosinus}

\subsection{Définitions}

Le plan étant muni d'un repère orthonormé $(O; I, J)$, on peut associer à tout réel $x$ un unique point $M$ sur le cercle trigonométrique. (voir cours de seconde)

La fonction \textbf{cosinus} est la fonction qui à tout réel $x$ associe l'abscisse de $M$. On note : $$\cos : x\in \R \longmapsto \cos x$$

 La fonction \textbf{sinus} est la fonction qui à tout réel $x$ associe l'ordonnée de $M$. On note : $$\sin : x\in \R \longmapsto \sin x$$
 
Ainsi, les fonctions cosinus et sinus sont définies sur $\R$.

\subsection{Dérivées}

\subsubsection{Théorème admis}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
Les fonctions sinus et cosinus sont continues  et dérivables sur $\R$. 

Pour tout réel $x$  :
$$ (\sin x)'=\cos x \qquad \text{ et } \qquad (\cos x)'=-\sin x $$
\end{minipage}}
\end{center}



\subsubsection{Calcul de dérivées}

Soit $a$ et $b$ deux réels :

$\bullet$ \quad la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\sin (ax+b)$ est dérivable sur $\R$ et pour tout réel $x$ :
$$f'(x)=a\cos (ax+b)$$

~

$\bullet$ \quad la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\cos (ax+b)$ est dérivable sur $\R$ et pour tout réel $x$ :
$$f'(x)=-a\sin (ax+b)$$


~

\textbf{Démonstration :} 

~

On sait que si $f(x)=g(ax+b)$, alors $f'(x)=a g'(ax+b)$ (voir le cours sur les dérivées).

Il suffit d'appliquer  cette formule en prenant pour $g$ la fonction sinus ou la fonction cosinus. 


~


\subsection{Propriétés}

\subsubsection{Périodicité}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
Pour tout réel $x$ : $$\sin (x+2\pi)=\sin x \qquad \text{et} \qquad \cos (x+2\pi)=\cos x$$
\end{minipage}}
\end{center}

~

On dit que les fonctions sinus et cosinus sont \textbf{périodiques} de période $2\pi$.

\newpage

\textbf{Application :} il suffit de connaître les valeurs prises par les fonctions sinus et cosinus sur un intervalle d'amplitude $2\pi$ pour déterminer les valeurs de ces fonctions pour tout réel $x$. En particulier, pour le tracé des courbes représentatives, il suffit de tracer les courbes sur l'intervalle $[-\pi ; \pi ]$ par exemple puis de compléter par des translations successives de vecteur $2\pi \vec{i}$ et $-2\pi \vec{i}$. ($\vec{i}$ étant le vecteur unitaire en abscisse).


\subsubsection{Parité}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
Pour tout réel $x$ : $$\sin (-x)=-\sin x \qquad \text{et} \qquad \cos (-x)=\cos x$$
\end{minipage}}
\end{center}

~

On dit que la fonction sinus est \textbf{impaire} et que la fonction cosinus est \textbf{paire}.

~

\textbf{Conséquence :} dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction sinus est symétrique par rapport à l'origine du repère et la courbe représentative de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

~

\textbf{Application :} pour le tracé des courbes représentatives dans un repère orthogonal, on peut se restreindre à l'intervalle $[0;\pi]$, puis compléter sur l'intervalle $[-\pi ; \pi ]$ à l'aide des symétries précisées ci-dessus et enfin utiliser les translations comme précédemment.

\subsubsection{Limite}

\textbf{Propriété :} \qquad $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1}$

~

\textbf{Démonstration}

La limite du quotient n'est pas immédiate puisqu'on obtient une forme indéterminée. On lève l'indétermination en utilisant la définition du nombre dérivé : 

~

$\cfrac{\sin (0+x)-\sin 0}{x}$ \, est le taux d'accroissement de la fonction sinus en 0. 

~

Sa limite quand $x$ tend vers 0 est le nombre dérivé de la fonction sinus en $0$ qui est $\cos 0 =1$.

~

Donc $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}}=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin (0+x)-\sin 0}{x}=1}$.

\subsection{Variations et représentations graphiques}

Grâce aux propriétés de périodicité et de parité énoncées plus haut, on peut limiter l'étude des variations à l'intervalle $[0; \pi]$.

Le signe des fonctions dérivées s'obtient avec le cercle trigonométrique.

~

\begin{figure}[htbp]
\begin{minipage}{0.45\textwidth}

\textbf{Fonction cosinus}

\begin{flushleft}
\begin{tikzpicture}
   \tkzTabInit[lgt=3,espcl=2.8,deltacl=0.4]{$x$ / 1 , $f'(x)=-\sin x$ / 1, $f(x)=\cos x$ / 2}{$0$, $\pi$}
	\tkzTabLine{z, -, z}
	\tkzTabVar{+/ $1$, -/ $-1$}
\end{tikzpicture}

\end{flushleft}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\textwidth}

~ ~  \textbf{Fonction sinus}

\begin{flushright}
\begin{tikzpicture}
   \tkzTabInit[lgt=2.8,espcl=2.2,deltacl=0.3]{$x$ / 1 , $f'(x)=\cos(x)$ / 1, $f(x)=\sin(x)$ / 2}{$0$, $\dfrac{\pi}{2}$, $\pi$}
   \tkzTabLine{, +, z, -, }
   \tkzTabVar{-/ 0, +/ 1, -/ 0}
\end{tikzpicture}

\end{flushright}
\end{minipage}
\end{figure}

\newpage

~

~

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.95\textwidth]{fr_image1a.pdf}
\caption{\it Courbe représentative de la fonction cosinus} \label{fig1}
\end{center}
\end{figure}

~

~

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.95\textwidth]{fr_image1b.pdf}
\caption{\it Courbe représentative de la fonction sinus} \label{fig2}
\end{center}
\end{figure}

\newpage

\section{La fonction exponentielle}

\subsection{Théorème et définition}

\textbf{Théorème}
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
Il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $\R$ telle que : $f'=f$ et $f(0)=1$.
\end{minipage}}
\end{center}

~

\textbf{Définition}

Cette fonction est appelée \textbf{fonction exponentielle}. On note : $$\exp : x\in \R \longmapsto \exp (x)$$

Ainsi pour tout $x$ réel : $\exp' (x)=\exp(x)$\, et $\exp (0)=1$.

~

La fonction exponentielle est définie et continue sur $\R$ puisqu'elle est dérivable sur $\R$.

~

\textbf{Propriété}

Pour tout réel $x$, $\exp (x)\neq 0$.

Démonstration : soit $\phi$ la fonction définie pour tout $x$ réel par $\phi (x) =\exp (x)\exp (-x)$. 

La fonction $\phi$ est dérivable sur $\R$ comme produit de fonctions dérivables et 

 $\phi '(x)= (\exp (x))'\exp(-x) +\exp (x) (\exp (-x))'=\exp (x)\exp (-x)-\exp (x)\exp (-x)=0$

Si $\phi$ a une dérivée nulle sur $\R$ alors $\phi$ est une fonction constante. 

Or $\phi (0)=\exp (0)\exp (0)=1$; on en déduit que, pour tout $x$ réel, $\phi (x)=1$, 

soit $\exp (x)\exp (-x)=1$, d'où on conclut que $\exp (x)\neq 0$.

~

\textbf{Démonstration du théorème}

L'existence d'une telle fonction est admise.

~

On démontre l'unicité : soit $g$ une fonction  dérivable sur $\R$ telle que : $g'=g$\, et $g(0)=1$.

On peut définir pour tout $x$ réel une fonction $u$ par $u(x)=\cfrac{g(x)}{\exp (x)} $ car $\exp (x)\neq 0$ pour tout $x$.

Alors $(u(x))'=\cfrac{g'(x)\exp (x)-g(x)\exp' (x)}{(\exp (x))^2}=\cfrac{g(x)\exp (x)-g(x)\exp (x)}{(\exp (x))^2}=0$

La fonction $u$ de dérivée nulle est donc constante sur $\R$ et puisque $u(0)=1$, on en déduit que $u(x)=1$ pour tout $x$ réel.
Ceci signifie que $g(x)=\exp (x)$ pour tout $x$ réel.

~

\textbf{Propriété :} 

la fonction exponentielle est strictement positive : pour tout $x$ réel, $\exp (x)>0$.

Démonstration : la fonction exponentielle est continue sur $\R$ et $\exp (0)=1$ ; s'il existe un réel $x$ tel que $\exp (x) <0$\, alors d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $a$ réel tel que $\exp (a) =0$. Or ceci est impossible puisque
  pour tout réel $x$, $\exp (x)\neq 0$.

\subsection{Relation fonctionnelle}

\textbf{Théorème}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
Quels que soient les réels $a$ et $b$ :

$$\exp (a+b)=\exp(a)\exp(b)$$
\end{minipage}}
\end{center}

~

\textbf{Démonstration :} 

Soit $a$ un réel quelconque. On pose, pour tout $x$ réel, $g(x)=\cfrac{\exp (x+a)}{\exp (x)}$\, ; 

\newpage

$g$ est définie et dérivable sur $\R$ avec 

$g'(x)= \cfrac{\exp' (x+a)\exp (x)-\exp (x+a)\exp' (x)}{(\exp (x))^2}$

$\qquad =\cfrac{\exp (x+a)\exp (x)-\exp (x+a)\exp (x)}{(\exp (x))^2}$\, 

donc $g'(x)=0$\, pour tout $x$ réel. La fonction $g$ de dérivée nulle est donc constante sur $\R$, 

soit $g(x)=g(0)=\cfrac{\exp(a)}{\exp(0)}=\exp(a)$\, pour tout $x$ réel.

En particulier pour $x=b$, on obtient $g(b)=\cfrac{\exp (a+b)}{\exp (b)}=\exp(a)$\ 

d'où on déduit que $\exp (a+b)=\exp(a)\exp(b)$.


~

\textbf{Remarque}

Soit $x$ un réel quelconque. A l'aide de la relation fonctionnelle, on peut écrire :

$\exp(x)=\exp(\frac{x}{2}+\frac{x}{2})=\exp(\frac{x}{2})\exp(\frac{x}{2}))=\left(\exp(\frac{x}{2})\right)^2$.

Puisqu'un carré est positif et que $\exp(x)\neq 0$, on montre à nouveau que $\exp(x)>0$ pour tout $x$.


\subsubsection{Propriétés}





\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
Quels que soient les réels $a$, $b$\, et l'entier relatif $n$ : 
$$\exp (a-b)=\frac{\exp (a)}{\exp(b)} \qquad \exp(-b)=\frac{1}{\exp(b)} \qquad \exp (na)=(\exp a)^n$$
\end{minipage}}
\end{center}

~

\textbf{Démonstration}

On utilise la relation fonctionnelle :

$\bullet$ \quad $\exp(a)=\exp((a-b)+b)=\exp(a-b)\exp(b)$\, 

et puisque $\exp(b)\neq 0$, on en déduit : $\exp (a-b)=\cfrac{\exp (a)}{\exp(b)}$

~

$\bullet$ \quad l'égalité précédente avec $a=0$ donne $\exp (-b)=\cfrac{\exp (0)}{\exp(b)}=\cfrac{1}{\exp(b)}$

~

$\bullet$ \quad Soit $P_n$ la propriété " $\exp (na)=(\exp a)^n$ "; 

nous allons d'abord démontrer par récurrence que $P_n$ est vraie pour tout $n\in \N$.

~

Initialisation : $\exp (0\times a)=\exp(0)=1$\, et $(\exp a)^0=1$\, donc $P_0$ est vraie.

~

Hérédité : supposons que la propriété est vraie pour un certain entier naturel $k$;


soit $\exp (ka)=(\exp a)^k$. 

Alors $\exp ((k+1)a)=\exp(ka+a)=\exp(ka)\exp(a)=(\exp a)^k\exp(a)$ d'après l'hypothèse de récurrence,

donc $\exp ((k+1)a)=(\exp(a))^{k+1}$\, et $P_{k+1}$ est vraie.

~

Conclusion : $P_n$ est vraie pour tout $n\in \N$.

Maintenant, si $n$ est un entier relatif négatif, $\exp(na)=\cfrac{1}{\exp(-na)}$

or $(-n)\in \N$\,; on peut donc écrire  $\exp((-n)a)=(\exp(a))^{-n}$

On en déduit que : $\exp(na)=\cfrac{1}{(\exp(a))^{-n}}=(\exp a)^n$.

\subsubsection{Notations}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
On note e l'image de $1$ par la fonction exponentielle : $\exp(1)=\text{e}$.
\end{minipage}}
\end{center}


$\text{e}\simeq 2,718 \ldots$ et n'est pas un nombre rationnel; c'est un nombre qui a des propriétés commune à celle de $\pi$.

~

On peut alors écrire pour tout $n\in \Z$, $\exp(n)=\exp(n\times 1)=(\exp(1))^n=\text{e}^n$. 

Cette écriture se prolonge à $\R$ :

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
Pour tout $x\in \R$, l'image de $x$ par la fonction exponentielle se note :
$$\exp(x)=\text{e}^x$$
\end{minipage}}
\end{center}

~

On peut donc écrire : $\text{e}^0=1$\, et $(\text{e}^x)'=\text{e}^x$.

~

\textbf{Utilisation:} on peut écrire la relation fonctionnelle et les propriétés de la fonction exponentielle avec la nouvelle notation; on reconnaît alors les propriétés bien connues du calcul avec des exposants :

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
Quels que soient les réels $a$, $b$\, et l'entier relatif $n$ : 
$$\text{e}^{a+b}=\text{e}^{a}\text{e}^{b} \qquad \text{e}^{a-b}=\frac{\text{e}^{a}}{\text{e}^{b}} \qquad \text{e}^{-b}=\frac{1}{\text{e}^{b}} \qquad \text{e}^{na}=\left(\text{e}^{a}\right)^n$$
\end{minipage}}
\end{center}

~

De plus, quels que soient les réels $a$, $b$\,: \, $\text{e}^{ab}=\left(\text{e}^{a}\right)^b$

Par exemple : $\left(\text{e}^{\frac{x}{2}}\right)^2=\text{e}^{x}$\, donc  $\text{e}^{\frac{x}{2}}=\sqrt{\text{e}^x}$ \,
et en particulier, $\text{e}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\text{e}}$.

\subsection{Variations et limites}

\textbf{Théorème}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$.
\end{minipage}}
\end{center}

Par définition, $\exp'(x)=\exp (x)$\, et $\exp(x)>0$\, pour tout $x$ réel; puisque sa dérivée est strictement positive sur $\R$, on conclut que $\exp$ est strictement croissante sur $\R$.

~

\textbf{Corollaire : } 

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
 $$a<b \Longleftrightarrow \text{e}^a< \text{e}^b \qquad \text{ et } \qquad  a=b \Longleftrightarrow \text{e}^a = \text{e}^b$$
\end{minipage}}
\end{center}

 
 En particulier : si $x <0$ alors $\text{e}^x <1$\, et si $x >0$ alors $\text{e}^x >1$.

~

\textbf{Théorème}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
 $$\lim_{x\longrightarrow +\infty} \text{e}^x=+\infty \qquad \text{et} \qquad \lim_{x\longrightarrow -\infty} \text{e}^x= 0 $$
\end{minipage}}
\end{center}

~

\textbf{Démonstration}

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\text{e}^x-x$.

$f'(x)=\text{e}^x-1$\, et d'après le corollaire précédent, $f'(x)\geq 0$. La fonction $f$ est donc croissante et de plus $f(0)=1$.

On en déduit que, pour tout $x\in [0;+\infty[$,\, $f(x)> 0$\, d'où : $\text{e}^x > x$.

$\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow+\infty} x =+\infty }$\, donc, par comparaison, $\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow +\infty} \text{e}^x= +\infty}$.

~

$\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow-\infty} \text{e}^x = \lim_{x\longrightarrow-\infty}\frac{1}{ \text{e}^{-x}}=
\lim_{X\longrightarrow+\infty}\frac{1}{ \text{e}^{X}}=0}$\, (par inverse en utilisant le résultat précédent).

\newpage

\textbf{Tableau de variation et représentation graphique}

On construit le tableau de variation à l'aide des résultats précédents.

La courbe passe par les points de coordonnées $(0; 1)$ et $(1;\text{e})$.

La tangente à la courbe au point d'abscisse $0$ a pour coefficient directeur $\text{e}^0=1$.

Puisque $\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow-\infty} \text{e}^x = 0}$, la courbe représentative de la fonction exponentielle admet en $-\infty$\ une asymptote d'équation $y=0$, soit l'axe des abscisses.

~

\begin{figure}[htbp]
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\begin{flushleft}
\begin{tikzpicture}
   \tkzTabInit[lgt=2.8,espcl=3,deltacl=0.5]{$x$ / 1 , $f'(x)=\exp x$ / 1, $f(x)=\exp x$ / 2}{$-\infty$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{, +, }
	\tkzTabVar{-/ $0$, +/ $+\infty$}
\end{tikzpicture}

\end{flushleft}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
\begin{flushright}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{fr_image2a.pdf}
\end{flushright}
\end{minipage}
\end{figure}

\subsection{Compléments}

\subsubsection{Calcul de limites}

\textbf{Théorème}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
 $$\lim_{x\longrightarrow +\infty} \frac{\text{e}^x}{x}= +\infty  \qquad \text{et} \qquad \lim_{x\longrightarrow -\infty} x\text{e}^x=0$$
\end{minipage}}
\end{center}

~

~

\textbf{Démonstration}

On considère la fonction $g$ définie sur $[0;+\infty[$ par $g(x)=\text{e}^x-\frac{x^2}{2}$\,.

$g'(x)=\text{e}^x-x$\, et d'après la démonstration précédente, $g'(x)> 0$. 

La fonction $g$ est donc croissante et de plus $g(0)=1$.

On en déduit que, pour tout $x\in [0;+\infty[$,\, $g(x)> 0$, soit $\text{e}^x > \frac{x^2}{2}$ \, d'où : $\cfrac{\text{e}^x}{x} > \cfrac{x}{2}$ \,.

$\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow+\infty} \cfrac{x}{2} =+\infty }$\, donc, par comparaison, $\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow +\infty} \frac{\text{e}^x}{x}= +\infty}$.

~

$\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow-\infty} x\text{e}^x = \lim_{x\longrightarrow-\infty}\frac{x}{ \text{e}^{-x}}=
\lim_{X\longrightarrow+\infty}-\frac{X}{ \text{e}^{X}}=0}$\, (par inverse en utilisant le résultat précédent.)

~





\textbf{Théorème}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
 $$\lim_{x\longrightarrow 0} \frac{\text{e}^x-1}{x}=1 $$
\end{minipage}}
\end{center}

~

\textbf{Démonstration}

~

$\cfrac{\text{e}^{0+x}-\text{e}^0}{x}$ \, est le taux d'accroissement de la fonction $\exp$ en 0. 

~

Sa limite quand $x$ tend vers 0 est le nombre dérivé de la fonction exponentielle en $0$ qui est $\exp 0 =1$.

~

Donc $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\text{e}^x-1}{x}}=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\text{e}^{0+x}-\text{e}^0}{x}=1}$.


\subsubsection{Calcul de dérivées}

Nous savons que si $f$ est une fonction dérivable sur $\R$, 
$ (f(ax+b))'= a \times f'(ax+b) $.

~

En appliquant ce résultat à la fonction exponentielle, (avec $a=-k$ et $b=0$), on obtient : $$(\exp(-kx))'=-k\exp(-kx)$$

~

Plus généralement, on montre que :

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\R$, alors la fonction $\text{e}^u$ est dérivable sur $I$ et $$(\text{e}^u)'=u'\text{e}^u $$
\end{minipage}}
\end{center}

~

\textbf{Remarque} 

$\text{e}^u $ étant strictement positif, le signe de $(\text{e}^u)'$ est le même que celui de $u'$. 

~

Nous avons vu dans le chapitre précédent que : 
$\left(\sqrt{u}\right)'= \cfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ \,
et
$(u^n )'=nu'u^{n-1}$

On constate que ces dérivées satisfont toutes à la formule générale : $$(f(u(x)))'=u'(x)\times f'(u(x))$$

~

Exemple : $(\exp(-kx^2))'=-2kx\exp(-kx^2)$ 

 
 \end{document}    

  
