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%création des ensembles de nombres
\font\bbw=msbm10
\def\R{\hbox{\bbw R}}
\def\N{\hbox{\bbw N}}
\def\Z{\hbox{\bbw Z}}
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\def\Q{\hbox{\bbw Q}}


\begin{document}

\pagestyle{fancy}
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\lfoot{\small{Bernelas - Bays - Desclaux}}
\rfoot{\small{Lycée Les Eucalyptus 2019-2020}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
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\begin{center} \Large \textbf{\fbox{\begin{minipage}{0.6\textwidth}
  \begin{center} Fonctions de référence 1\end{center} 
\end{minipage}}} 
  \end{center}

\vspace{2ex}

\section{Les fonctions sinus et cosinus}

\subsection{Définitions}

Le plan étant muni d'un repère orthonormé $(O; I, J)$, on peut associer à tout réel $x$ un unique point $M$ sur le cercle trigonométrique. (voir cours de seconde)

La fonction \textbf{cosinus} est la fonction qui à tout réel $x$ associe \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots. On note : $$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $$

 La fonction \textbf{sinus} est la fonction qui à tout réel $x$ associe \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots. On note : $$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $$
 
Ainsi, les fonctions cosinus et sinus sont définies sur $\R$.

\subsection{Dérivées}

\subsubsection{Théorème admis}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
\vspace{1ex}

Les fonctions sinus et cosinus sont \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . 

Pour tout réel $x$  :
$$ (\sin x)'=\ldots \ldots \qquad \text{ et } \qquad (\cos x)'=\ldots \ldots $$
\end{minipage}}
\end{center}


\subsubsection{Calcul de dérivées}

Soit $a$ et $b$ deux réels :

$\bullet$ \quad la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\sin (ax+b)$ est dérivable sur $\R$ et pour tout réel $x$ :
$$f'(x)=\ldots \ldots \ldots \ldots$$

~

$\bullet$ \quad la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\cos (ax+b)$ est dérivable sur $\R$ et pour tout réel $x$ :
$$f'(x)=\ldots \ldots \ldots \ldots $$


~

\textbf{Démonstration :} 

~

\ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots


\ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots



~


\subsection{Propriétés}

\subsubsection{Périodicité}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
Pour tout réel $x$ : $$\sin (x+2\pi)= \ldots \ldots \qquad \text{et} \qquad \cos (x+2\pi)= \ldots \ldots $$
\end{minipage}}
\end{center}

~

On dit que les fonctions sinus et cosinus sont \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots .

\newpage

\textbf{Application :} il suffit de connaître les valeurs prises par les fonctions sinus et cosinus sur un intervalle d'amplitude $2\pi$ pour déterminer les valeurs de ces fonctions pour tout réel $x$. En particulier, pour le tracé des courbes représentatives, il suffit de tracer les courbes sur l'intervalle $[-\pi ; \pi ]$ par exemple puis de compléter par des translations successives de vecteur $2\pi \vec{i}$ et $-2\pi \vec{i}$. ($\vec{i}$ étant le vecteur unitaire en abscisse).


\subsubsection{Parité}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
Pour tout réel $x$ : $$\sin (-x)=\ldots \ldots \qquad \text{et} \qquad \cos (-x)=\ldots \ldots $$
\end{minipage}}
\end{center}

~

On dit que la fonction sinus est \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots et que la fonction cosinus est \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots .

~

\textbf{Conséquence :} dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction sinus est symétrique par rapport à l'origine du repère et la courbe représentative de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

~

\textbf{Application :} pour le tracé des courbes représentatives dans un repère orthogonal, on peut se restreindre à l'intervalle $[0;\pi]$, puis compléter sur l'intervalle $[-\pi ; \pi ]$ à l'aide des symétries précisées ci-dessus et enfin utiliser les translations comme précédemment.

\subsubsection{Limite}

\textbf{Propriété :} \qquad $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=  \ldots \ldots }$ 

~

\textbf{Démonstration}

La limite du quotient n'est pas immédiate puisqu'on obtient une forme indéterminée. On lève l'indétermination en utilisant la définition du nombre dérivé : 

~

$\cfrac{\sin (0+x)-\sin 0}{x}$ \, est le \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots ~ de la fonction sinus en 0. 

~

Sa limite quand $x$ tend vers 0 est le  \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots ~ de la fonction sinus en $0$ qui est  \ldots \ldots

~

Donc $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}}=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin (0+x)-\sin 0}{x}=1}$.

\subsection{Variations et représentations graphiques}

Grâce aux propriétés de périodicité et de parité énoncées plus haut, on peut limiter l'étude des variations à l'intervalle $[0; \pi]$.

Le signe des fonctions dérivées s'obtient avec le cercle trigonométrique.

~

\begin{figure}[htbp]
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\textbf{Fonction cosinus}

\begin{flushleft}
\begin{tikzpicture}
   \tkzTabInit[lgt=3,espcl=2.8,deltacl=0.4]{$x$ / 1 , $f'(x)=-\sin x$ / 1, $f(x)=\cos x$ / 2}{$0$, $\pi$}
\end{tikzpicture}
\end{flushleft}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
~ ~ ~ \textbf{Fonction sinus}

\begin{flushright}
\begin{tikzpicture}
   \tkzTabInit[lgt=2.8,espcl=2.2,deltacl=0.3]{$x$ / 1 , $f'(x)=\cos(x)$ / 1, $f(x)=\sin(x)$ / 2}{$0$, $\dfrac{\pi}{2}$, $\pi$}

\end{tikzpicture}
\end{flushright}
\end{minipage}
\end{figure}

~

~

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.95\textwidth]{fr_image1.pdf}
\caption{\it Courbe représentative de la fonction cosinus} \label{fig1}
\end{center}
\end{figure}

~

~

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.95\textwidth]{fr_image1.pdf}
\caption{\it Courbe représentative de la fonction sinus} \label{fig2}
\end{center}
\end{figure}

\newpage

\section{La fonction exponentielle}

\subsection{Théorème et définition}

\textbf{Théorème}
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
\vspace{1ex}
Il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $\R$ telle que : \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
\vspace{1ex}
\end{minipage}}
\end{center}

~

\textbf{Définition}

Cette fonction est appelée \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots\ldots \ldots \ldots . On note : 

$$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$$

Ainsi pour tout $x$ réel : \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots.

~

La fonction exponentielle est définie et continue sur $\R$ puisqu'elle est dérivable sur $\R$.

~

\textbf{Propriété}

Pour tout réel $x$, $\exp (x)\neq 0$.

Démonstration : soit $\phi$ la fonction définie pour tout $x$ réel par $\phi (x) =\exp (x)\exp (-x)$. 

La fonction $\phi$ est dérivable sur $\R$ comme produit de fonctions dérivables et 

\vspace{1ex}
 $\phi '(x)= \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $

\vspace{1ex}
Si $\phi$ a une dérivée nulle sur $\R$ alors $\phi$ est une fonction \ldots \ldots \ldots 

Or $\phi (0)=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$; on en déduit que, pour tout $x$ réel, $\phi (x)=\ldots $ , 

soit $\exp (x)\exp (-x)=\ldots$ , d'où on conclut que \ldots \ldots \ldots \ldots

~

\textbf{Démonstration du théorème}

L'existence d'une telle fonction est admise.

~

On démontre l'unicité : soit $g$ une fonction  dérivable sur $\R$ telle que : $g'=g$\, et $g(0)=1$.

On peut définir pour tout $x$ réel une fonction $u$ par $u(x)=\cfrac{g(x)}{\exp (x)} $ car $\exp (x)\neq 0$ pour tout $x$.

~

Alors $(u(x))'=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

\vspace{2ex}
La fonction $u$ de dérivée nulle est donc constante sur $\R$ et puisque $u(0)=1$, on en déduit que $u(x)=1$ pour tout $x$ réel.
Ceci signifie que $g(x)=\exp (x)$ pour tout $x$ réel.

~

\textbf{Propriété :} 

la fonction exponentielle est strictement positive : pour tout $x$ réel, $\exp (x)>0$.

Démonstration : la fonction exponentielle est continue sur $\R$ et $\exp (0)=1$ ; s'il existe un réel $x$ tel que $\exp (x) <0$\, alors d'après le théorème des valeurs intermédiaires, \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\subsection{Relation fonctionnelle}

\textbf{Théorème}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
Quels que soient les réels $a$ et $b$ :

$$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$$
\end{minipage}}
\end{center}


\textbf{Démonstration :} 

\vspace{2ex}
Soit $a$ un réel quelconque. ~ $\ldots \ldots \ldots$

~

\vspace{30ex}

~

\textbf{Remarque}

Soit $x$ un réel quelconque. A l'aide de la relation fonctionnelle, on peut écrire :

$\exp(x)=\exp(\frac{x}{2}+\frac{x}{2})=\exp(\frac{x}{2})\exp(\frac{x}{2}))=\left(\exp(\frac{x}{2})\right)^2$.

Puisqu'un carré est positif et que $\exp(x)\neq 0$, on montre à nouveau que $\exp(x)>0$ pour tout $x$.


\subsubsection{Propriétés}


\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
Quels que soient les réels $a$, $b$\, et l'entier relatif $n$ : 

\vspace{2ex}

~ $\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \qquad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \qquad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

\vspace{2ex}
\end{minipage}}
\end{center}

~

\textbf{Démonstration}

On utilise la relation fonctionnelle :

$\bullet$ \quad $\exp(a)=\exp((a-b)+b)=\exp(a-b)\exp(b)$\, 

et puisque $\exp(b)\neq 0$, on en déduit : $\exp (a-b)=\cfrac{\exp (a)}{\exp(b)}$

~

$\bullet$ \quad l'égalité précédente avec $a=0$ donne $\exp (-b)=\cfrac{\exp (0)}{\exp(b)}=\cfrac{1}{\exp(b)}$

~

$\bullet$ \quad Soit $P_n$ la propriété " $\exp (na)=(\exp a)^n$ "; 

nous allons d'abord démontrer par récurrence que $P_n$ est vraie pour tout $n\in \N$.

~

Initialisation :

\vspace{2ex}

Hérédité :

~

~

~

~

~

~

Conclusion:

~

Maintenant, si $n$ est un entier relatif négatif, $\exp(na)=\ldots \ldots \ldots$

\vspace{1ex}

or $(-n)\in \N$\,; on peut donc écrire  $\exp((-n)a)=\ldots \ldots \ldots$

\vspace{1ex}

On en déduit que : $\exp(na)=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $.

\subsubsection{Notations}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
\vspace{1ex}
On note e l'image de $1$ par la fonction exponentielle : $\ldots \ldots \ldots \ldots$.
\vspace{1ex}
\end{minipage}}
\end{center}

$\text{e}\simeq 2,718 \ldots$ et n'est pas un nombre rationnel; c'est un nombre qui a des propriétés commune à celle de $\pi$.

\vspace{2ex}

On peut alors écrire pour tout $n\in \Z$, $\exp(n)=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$. 

Cette écriture se prolonge à $\R$ :

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
Pour tout $x\in \R$, l'image de $x$ par la fonction exponentielle se note :
$$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$$
\end{minipage}}
\end{center}

~

On peut donc écrire : $\text{e}^0=\ldots$\, et $(\text{e}^x)'=\ldots \ldots$.

~

\textbf{Utilisation:} on peut écrire la relation fonctionnelle et les propriétés de la fonction exponentielle avec la nouvelle notation; on reconnaît alors les propriétés bien connues du calcul avec des exposants :

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
\vspace{1ex}
Quels que soient les réels $a$, $b$\, et l'entier relatif $n$ : 
$$\ldots \ldots \ldots \ldots \qquad \quad \ldots \ldots \ldots \ldots \qquad \quad \ldots \ldots \ldots \ldots \qquad \quad \ldots \ldots \ldots \ldots$$

\vspace{1ex}
\end{minipage}}
\end{center}

~

De plus, quels que soient les réels $a$, $b$\,: \, $\text{e}^{ab}=\left(\text{e}^{a}\right)^b$

Par exemple : $\left(\text{e}^{\frac{x}{2}}\right)^2=\text{e}^{x}$\, donc  $\text{e}^{\frac{x}{2}}=\sqrt{\text{e}^x}$ \,
et en particulier, $\text{e}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\text{e}}$.

\subsection{Variations et limites}

\textbf{Théorème}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
\vspace{1ex}
La fonction exponentielle est \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots.
\vspace{1ex}
\end{minipage}}
\end{center}

~

Par définition, $\exp'(x)=\exp (x)$\, et $\exp(x)>0$\, pour tout $x$ réel; puisque sa dérivée est strictement positive sur $\R$, on conclut que $\exp$ est strictement croissante sur $\R$.

~

\textbf{Corollaire : } 

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
\vspace{2ex}
\qquad \qquad $\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \qquad \text{ et } \qquad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$
\vspace{1ex}
\end{minipage}}
\end{center}
 
 
 En particulier : si $x <0$ alors $\text{e}^x <1$\, et si $x >0$ alors $\text{e}^x >1$.

~

\textbf{Théorème}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
 $$\lim_{x\longrightarrow +\infty} \text{e}^x=\ldots \ldots \ldots \qquad \text{et} \qquad \lim_{x\longrightarrow -\infty} \text{e}^x= \ldots \ldots$$
\end{minipage}}
\end{center}

~

\textbf{Démonstration}

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\text{e}^x-x$.

\vspace{18ex}

~

\textbf{Tableau de variation et représentation graphique}

On construit le tableau de variation à l'aide des résultats précédents.

La courbe passe par les points de coordonnées $(0; 1)$ et $(1;\text{e})$.

La tangente à la courbe au point d'abscisse $0$ a pour coefficient directeur $\text{e}^0=1$.

Puisque $\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow-\infty} \text{e}^x = 0}$, la courbe représentative de la fonction exponentielle admet en $-\infty$\ une asymptote d'équation $y=0$, soit l'axe des abscisses.

\begin{figure}[htbp]
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\begin{flushleft}
\begin{tikzpicture}
   \tkzTabInit[lgt=2.8,espcl=3,deltacl=0.5]{$x$ / 1 , $f'(x)=\exp x$ / 1, $f(x)=\exp x$ / 2}{$-\infty$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{, +, }
	\tkzTabVar{-/ $0$, +/ $+\infty$}
\end{tikzpicture}

\end{flushleft}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
\begin{flushright}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{fr_image2.pdf}
\end{flushright}
\end{minipage}
\end{figure}


\subsection{Compléments}

\subsubsection{Calcul de limites}

\textbf{Théorème}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
 $$\lim_{x\longrightarrow +\infty} \frac{\text{e}^x}{x}= \ldots \ldots  \qquad \text{et} \qquad \lim_{x\longrightarrow -\infty} x\text{e}^x= \ldots $$
\end{minipage}}
\end{center}

~

\textbf{Démonstration}

On considère la fonction $g$ définie sur $[0;+\infty[$ par $g(x)=\text{e}^x-\frac{x^2}{2}$\,.

\vspace{20ex}

~

$\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow-\infty} x\text{e}^x = \lim_{x\longrightarrow-\infty}\frac{x}{ \text{e}^{-x}}=
\lim_{X\longrightarrow+\infty}-\frac{X}{ \text{e}^{X}}=0}$\, (par inverse en utilisant le résultat précédent.)

~


\textbf{Théorème}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
 $$\lim_{x\longrightarrow 0} \frac{\text{e}^x-1}{x}= \ldots $$
\end{minipage}}
\end{center}

~

\textbf{Démonstration}

~

$\cfrac{\text{e}^{0+x}-\text{e}^0}{x}$ \, est le \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots

~

Sa limite quand $x$ tend vers 0 est le \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots

\ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots

~

Donc $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\text{e}^x-1}{x}}=\ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots$.


\subsubsection{Calcul de dérivées}

Nous savons que si $f$ est une fonction dérivable sur $\R$, 
$ (f(ax+b))'= a \times f'(ax+b) $.

~

En appliquant ce résultat à la fonction exponentielle, (avec $a=-k$ et $b=0$), on obtient : $$(\exp(-kx))'=\ldots  \ldots \ldots$$

~

Plus généralement, on montre que :

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\R$, alors la fonction $\text{e}^u$ est dérivable sur $I$ et $$(\text{e}^u)'=\ldots  \ldots \ldots $$
\end{minipage}}
\end{center}

~

\textbf{Remarque} 

$\text{e}^u $ étant strictement positif, le signe de $(\text{e}^u)'$ est le même que celui de $u'$. 

~

Nous avons vu dans le chapitre précédent que : 
$\left(\sqrt{u}\right)'= \cfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ \,
et
$(u^n )'=nu'u^{n-1}$

On constate que ces dérivées satisfont toutes à la formule générale : $$(f(u(x))'=u'(x)\times f'(u(x))$$

~

Exemple : $(\exp(-kx^2))'=\ldots  \ldots \ldots$

 
 \end{document}    
