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%création des ensembles de nombres
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\title[Diaporama du cours]{Cours de terminale S\\Généralités sur les fonctions}
\author{V. B. J. D. S. B.}
\institute{Lycée des EK}
\date{\today}
%\date{\today}


\begin{document}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}


\section {Limite d'une fonction à l'infini}

\subsection{Limite finie à l'infini}

\begin{frame}

\begin{block}{Définition}
Dire qu'une fonction $f$ a pour limite le nombre réel $\ell$ en $+\infty$ signifie que tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient  \alt<2->{\color<2>{blue}toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ assez grand. }{\ldots \ldots \ldots 

\ldots \ldots \ldots \ldots\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause

\end{block} \pause

~

On note $\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow +\infty}f(x)=\ell}$.

~ \pause

\textbf{Remarque :}

On définit de façon analogue $\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow -\infty}f(x)=\ell}$.
\end{frame}

\begin{frame}

\textbf{Graphiquement :}

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{fg_image1.pdf}
\caption{\it A gauche limite en $+\infty$ et à droite en $-\infty$} \label{fig1}
\end{center}
\end{figure}
\pause
Lorsque $f$ a pour limite $\ell$ en $+\infty$ (resp. en $-\infty$), on dit que, dans un repère, la droite $d$ 
d'équation $y=\ell$ est   \alt<3->{\color<3>{blue}asymptote horizontale à la courbe $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ (resp. en $-\infty$).}{\ldots \ldots \ldots 

\ldots \ldots \ldots \ldots\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause

\end{frame}

\begin{frame}

\textbf{Exemples :} \pause

 $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow+\infty}}\cfrac{1}{x}= \pause 0 $ \qquad \qquad \pause $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow+\infty}}\cfrac{1}{x^2}= \pause 0 $
 \qquad \qquad \pause $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow+\infty}}\cfrac{1}{\sqrt{x}}=\pause 0  $
 
 ~ \pause
 
 $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow-\infty}}\cfrac{1}{x}= \pause 0 $ \qquad \qquad \pause $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow-\infty}}\cfrac{1}{x^2}= \pause 0 $

\end{frame}

\subsection{Limite infinie à l'infini}

\begin{frame}

\begin{block}{Définition}

Dire qu'une fonction $f$ a pour limite $+\infty$ en $+\infty$ signifie que tout intervalle de la forme $]A ; +\infty[$, avec $A$ réel, contient \alt<2->{\color<2>{blue}toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ assez grand. }{\ldots \ldots \ldots  

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots} \pause
\pause

\end{block}

~

On note $\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow +\infty}f(x)=+\infty}$.\pause

~

\textbf{Remarque :}

On définit de manière analogue $\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow +\infty}f(x)=-\infty}$ , $\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow -\infty}f(x)=+\infty}$ , $\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow -\infty}f(x)=-\infty}$.

\end{frame}

\begin{frame}

\textbf{Exemples :}\pause

~

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow+\infty}}x=\pause +\infty $ \qquad \quad \pause $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow+\infty}}x^2=\pause +\infty $
\qquad \quad \pause$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow+\infty}}x^3=\pause +\infty$  

~

\qquad \quad\pause$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow+\infty}}\sqrt{x}=\pause +\infty $

~

\pause
 
$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow-\infty}}x= \pause-\infty $ \qquad \qquad \pause $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow-\infty}}x^2=\pause +\infty $

~

\qquad \qquad \pause$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow-\infty}}x^3=\pause -\infty $

\end{frame}

\section{Limite infinie d'une fonction en un réel a}

\subsection {Limite infinie}

\begin{frame}

\begin{block}{Définition}

Dire qu'une fonction $f$ a pour limite $+\infty$ en $a$ signifie que tout intervalle de la forme $]A ; +\infty[$, avec $A$ réel, contient \alt<2->{\color<2>{blue}toutes les valeurs de $f(x)$ dès que $x$ est assez proche de $a$.  }{\ldots \ldots \ldots  

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots} \pause

\end{block} \pause

~

On note $\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow a}f(x)=+\infty}$. \pause

~

\textbf{Remarque :}

On définit de façon analogue $\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow a}f(x)=-\infty}$.

\end{frame}

\subsection {Limite à droite ou à gauche}

\begin{frame}

\begin{block}{Définition}

Dire qu'une fonction $f$ a pour limite $+\infty$ en $a$ à droite (resp. à gauche) signifie que tout intervalle de la forme $]A ; +\infty[$, avec $A$ réel, contient \alt<2->{\color<2>{blue}toutes les valeurs de $f(x)$ dès que $x$ est assez proche de $a$,
$x$ restant strictement supérieur à $a$ (resp. strictement inférieur à $a$). }{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots } \pause

\end{block} \pause

~

On note $\displaystyle{\lim_{\stackrel{x\longrightarrow a}{x>a}}f(x)=+\infty}$ \, ou $\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow a^+}f(x)=+\infty}$. \pause

~

(resp. $\displaystyle{\lim_{\stackrel{x\longrightarrow a}{x<a}}f(x)=+\infty}$ \, ou$\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow a^-}f(x)=+\infty}$). \pause

~

\textbf{Remarque :}
on définit de façon analogue $\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow a^+}f(x)=-\infty}$ \, et $\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow a^-}f(x)=-\infty}$.

\end{frame}

\begin{frame}

\textbf{Graphiquement :}

\begin{figure}[htbp]

\begin{center}

\includegraphics[width=0.85\textwidth]{fg_image2.pdf}
\end{center}
\end{figure}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{block}{Définition}
Lorsque $f$ a pour limite $+\infty$ (ou $-\infty$) en $a$, (ou à droite en $a$ ou à gauche en $a$), 
 on dit que la droite d'équation $x=a$ est \alt<2->{\color<2>{blue}asymptote verticale à $\mathcal{C}_f$}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots } \pause

\end{block} \pause

\end{frame}

\begin{frame}

\textbf{Exemples :}

~

 $\displaystyle{\lim_{\stackrel{x\longrightarrow 0}{x>0}}\frac{1}{x}= }\pause +\infty $ \qquad \qquad \pause $\displaystyle{\lim_{\stackrel{x\longrightarrow 0}{x<0}}\frac{1}{x}= }\pause -\infty$ 

~

 \pause$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{x^2}= } \pause+\infty $
 \qquad \qquad \pause$\displaystyle{\lim_{\stackrel{x\longrightarrow 0}{x>0}}\frac{1}{\sqrt{x}}= }\pause +\infty $

\end{frame}


   \section {Détermination de limites}
   

 \subsection {Limites et opérations}

\begin{frame}

Les principaux résultats sur les calculs de limites ont été vus avec les suites.
  
On retient qu'on ne peut pas conclure directement dans les cas des formes indéterminées, du type :\pause

~

\begin{center}
"$\infty-\infty$",\pause \quad "$0\times \infty$",\pause \quad " $\cfrac{0}{0}$ ",\pause \quad " $\cfrac{\infty}{\infty}$ "
\end{center}

\end{frame}

\begin{frame}

\textbf{Exemple de recherche de limites :}

~

On considère la fonction $f$ définie sur $\R\backslash \{2\}$ par $f(x)=1+\cfrac{1}{x-2}$

~

Limite en $+\infty$ : \pause

$\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow +\infty} (x-2)=\pause+\infty}$ \,\pause et par inverse : $\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow +\infty} \frac{1}{x-2}=\pause0}$. \pause

~

Donc, par somme, $\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow +\infty} f(x)=\pause 1}$ \pause

~

On a alors une asymptote horizontale d'équation \pause $y=1$.

\end{frame}

\begin{frame}

Limite en $2^+$ et en $2^-$  :

$\displaystyle{\lim_{\stackrel{x\longrightarrow 2}{x>2}} (x-2)=\pause 0^+}$ \pause et par inverse : $\displaystyle{\lim_{\stackrel{x\longrightarrow 2}{x>2}} \frac{1}{x-2}=\pause+\infty}$. \pause

~

Donc, par somme,  $\displaystyle{\lim_{\stackrel{x\longrightarrow 2}{x>2}} f(x)=\pause+\infty.}$\pause

~

De plus, $\displaystyle{\lim_{\stackrel{x\longrightarrow 2}{x<2}} (x-2)=\pause0^-}$\pause \, et par inverse : $\displaystyle{\lim_{\stackrel{x\longrightarrow 2}{x<2}} \frac{1}{x-2}=\pause-\infty}$. \pause

~

Donc, par somme,  $\displaystyle{\lim_{\stackrel{x\longrightarrow 2}{x<2}} f(x)=\pause-\infty.}$ \pause

~

On a alors une asymptote verticale d'équation \pause $x=2$.

\end{frame}

\subsection{Limite d'une composée}

\begin{frame}

Pour décrire une fonction, on peut parfois la décomposer en enchaînements de fonctions plus simples.

$$x\stackrel{u}{\longrightarrow}u(x)\stackrel{v}{\longrightarrow}v\left(u(x)\right)$$

~

$$x\stackrel{v\circ u}{\longrightarrow}v\left(u(x)\right)$$

\end{frame}

\begin{frame}



\begin{block}{Définition}

Soient deux fonctions $u$ et $v$ définies sur deux ensembles $I$ et $J$ tels que l'image de $I$ par $u$ soit contenue dans $J$ : $u(I)\subset J$.

~

La fonction obtenue en appliquant successivement $u$, puis $ v$, s'appelle la \alt<2->{\color<2>{blue}composée de $u$ par $v$.}{\ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause

\end{block}\pause

~

Elle est notée $v\circ u$, ou parfois $v(u)$. \pause

~

Pour tout réel $x$ de $I$ :  $v\circ u(x)=v(u(x))$

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{block}{Théorème}

$a$, $b$ et $c$ désignent trois réels, ou $+\infty$ ou $-\infty$.

~

Si on a $\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow a}}u(x)=b$  et $\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow b}}v(x)=c $ 

~

alors  $\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow a}}v\circ u(x)= $\alt<2->{\color<2>{blue}\,$  c $.}{\, \ldots}\pause

\end{block}\pause

\end{frame}

\begin{frame}

\textbf{Exemple :}

Soit $f(x)=(-2x+1)^2$.

~

On peut décomposer $f$ en enchaînement de fonctions :\pause

$$x \longrightarrow -2x+1 \longrightarrow (-2x+1)^2$$ \pause

On a :

$$\lim_{x\longrightarrow +\infty}(-2x+1)=-\infty \quad \pause \text{et} \quad \lim_{X\longrightarrow -\infty}X^2=+\infty$$ \pause

et donc par composition :\pause $$\lim_{x\longrightarrow +\infty}f(x)=+\infty $$

\end{frame}

\subsection {Limite et comparaisons}

\begin{frame}

On dispose de théorèmes analogues à ceux déjà vus pour les suites.\pause

~

\begin{block}{Théorème}

Soient deux fonctions $f$ et $g$ définies sur un intervalle de la forme $]a ; +\infty[$ telles que pour tout réel $x>a$, on ait $f(x)\leq g(x)$. \pause

Minoration :     si $\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow +\infty}}f(x)=+\infty$, \quad alors $\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow +\infty}}g(x)= $ \alt<4->{\color<4>{blue}$+\infty$}{\ldots }\pause \pause

Majoration :     si $\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow +\infty}}g(x)=-\infty$, \quad alors $\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow +\infty}}f(x)= $\alt<6->{\color<6>{blue}$ -\infty$} {\ldots }\pause

\end{block} \pause

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{block}{Théorème des gendarmes}

On considère trois fonctions $f$, $g$ et $h$ définies sur un intervalle de la forme $]a ; +\infty[$ telles que pour tout réel $x>a$, on ait $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$.

On suppose que $\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow +\infty}}g(x)=\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow +\infty}}h(x)= \ell$ , où $\ell$ est un nombre réel. \pause

Alors \alt<3->{\color<3>{blue}$f$ admet pour limite $\ell$ en $+\infty$ : $\displaystyle{\lim_{x \longrightarrow +\infty}f(x)=\ell}$}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

~}\pause 

\end{block} \pause

~

\textbf{Remarque :} on obtient des théorèmes analogues en $-\infty$.

\end{frame}

\section{Continuité}

\subsection{Notion intuitive de continuité}

\begin{frame}

Une fonction définie sur un intervalle $I$ est continue sur $I$ si sa courbe représentative ne présente aucune rupture (on peut la tracer sans lever le crayon de la feuille).

\textbf{Exemples :}

\begin{figure}[htbp]

\begin{center}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{fg_image3.pdf}
\caption{\it La fonction carré est continue sur $\R$, la fonction inverse est continue sur $]-\infty; 0[$ et sur $]0;+\infty[$ mais n'est pas continue sur $\R$. $f$ est définie mais pas continue sur $[-3;2]$; il y a une rupture en $x=1$.} \label{fig3}
\end{center}
\end{figure}


\end{frame}

\begin{frame}

\begin{block}{Théorème (admis)}

Une fonction dérivable sur un intervalle $I$ est \alt<2->{\color<2>{blue}continue sur $I$.}{\ldots \ldots \ldots sur $I$.}\pause

~

\end{block} \pause

~

\textbf{Attention :} ne pas confondre " continuité " et " dérivabilité " : \pause

~

$\bullet$ \quad Une fonction $f$ est continue en $a$ si sa courbe $C_f$ ne présente pas de saut en son point d'abscisse $a$.\pause

~

$\bullet$ \quad Une fonction $f$ est dérivable en $a$ si sa courbe $C_f$ admet une tangente non verticale en son point d'abscisse $a$.

\end{frame}

\begin{frame}

\textbf{Remarque :}

La réciproque de ce théorème est \alt<2->{\color<2>{blue} fausse}{\ldots \ldots}\pause  \pause: les fonctions valeur absolue et racine carrée, par exemple, ne sont pas dérivables en $0$ mais sont continues en $0$, respectivement sur $\R$ et sur $[0 ; +\infty[$.

~ \pause

\textbf{Conséquences :}

~

$\bullet$ \quad Les fonctions " usuelles " (affines, carré, cube, racine carrée, inverse, valeur absolue) sont continues sur \alt<5->{\color<5>{blue}tout intervalle où elles sont définies.}{\ldots \ldots 

\ldots \ldots \ldots \ldots\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots }\pause

~ \pause

$\bullet$ \quad Les fonctions construites à partir de ces fonctions par somme, produit ou composition sont continues sur
\alt<7->{\color<7>{blue}tout intervalle où elles sont définies.}{\ldots \ldots 

\ldots \ldots \ldots\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause

\end{frame}

\subsection{Théorème des valeurs intermédiaires}

\begin{frame}

\textbf{Convention dans un tableau de variations :}

~

Une flèche dans le tableau de variations d'une fonction $f$ indique : \pause
\begin{itemize}
	\item la stricte croissance ou stricte décroissance de f sur l'intervalle correspondant ;
	\item la \alt<3->{\color<3>{blue}continuité de la fonction sur cet intervalle.}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause
\pause
\end{itemize}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{block}{Théorème des valeurs intermédiaires}
\end{block}

\begin{figure}[htbp]
\fbox{\begin{minipage}{0.5\textwidth}
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$
et $a$ et $b$ deux réels de $I$.

Pour tout $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, 
il existe \alt<2->{\color<2>{blue}au moins un réel $c$ compris 
entre $a$ et $b$ tel que
$f(c)=k$.}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\ldots \ldots \ldots}\pause \pause

Autrement dit, $f$ prend, entre $a$ et $b$, 
toute \alt<4->{\color<4>{blue}valeur intermédiaire entre $f(a)$ et $f(b)$.}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots }\pause \pause

\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[htbp]{0.45\textwidth}
\begin{center}

\includegraphics[width=0.85\textwidth]{fg_image4.pdf} \\ Illustration graphique
\end{center}
\end{minipage}}

\end{figure}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{block}{Corollaire}

Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $[a ;b]$. Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x)=k$ admet \alt<2->{\color<2>{blue}une unique solution dans l'intervalle $[a;b]$.}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\ldots \ldots }\pause \pause
\end{block}
 
 ~
 
\textbf{Remarque :}

Ce corollaire s'étend au cas d'intervalles ouverts ou semi-ouverts, bornés ou non bornés en remplaçant si besoin $f(a)$ et $f(b)$ par les limites de $f$ en $a$ et en $b$.

\end{frame}

\begin{frame}

\textbf{Illustration graphique :}

\begin{figure}[htbp]
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\begin{center}
$\bullet$ \quad Cas où f est strictement croissante

~

\includegraphics[width=0.9\textwidth]{fg_image6.pdf}
\end{center}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\begin{center}
$\bullet$ \quad Cas où f est strictement décroissante

~

\includegraphics[width=\textwidth]{fg_image5.pdf}
\end{center}
\end{minipage}

\end{figure}

\end{frame}

\begin{frame}

\textbf{Tableaux de variations :}

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{fg_image7.pdf}
\end{center}
\end{figure}

\end{frame}

\section{Calcul de dérivées}
	
\subsection{Dérivée d'une composée}

\begin{frame}

Dérivée de $x \longmapsto f(ax+b)$

\begin{block}{Théorème}

On considère une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $I$ et deux réels $a$ et $b$ fixés. On note $J$ l'intervalle formé des réels $x$ tels que $(ax+b)\in I$, et la fonction  $g: x\longmapsto f(ax+b)$.

Alors la fonction $g$ est dérivable sur $J$ et, pour tout $x$ de $J$ :
$$ g'(x)= \alt<2->{\color<2>{blue}a \times f'(ax+b)}{\ldots \ldots \ldots \ldots}\pause $$\pause

\end{block}

\end{frame}

\subsection{Dérivée d'une racine et d'une puissance}

\begin{frame}

Dérivée de $x \longmapsto \sqrt{u(x)}$\, et de $x \longmapsto \left(u(x)\right)^n$. 

~

\textbf{Propriété 1 :}

On considère une fonction $u$ strictement positive et dérivable sur un intervalle $I$. La fonction $g:x\longmapsto \sqrt{u(x)}$ est dérivable sur $I$ et, pour tout réel $x$ de $I$ :

$$g' (x)= \alt<2->{\color<2>{blue}\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}} }{\ldots \ldots \ldots }\pause $$\pause

 On retient : $\left(\sqrt{u}\right)'= \alt<4->{\color<4>{blue}\cfrac{u'}{2\sqrt{u}} }{\ldots \ldots \ldots}\pause $\pause

\end{frame}

\begin{frame}

\textbf{Propriété 2 :}

Soit $u$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$, et soit $n$ un entier naturel.

$\bullet$ \quad Si $n\geq 1$, alors la fonction $u^n$ est dérivable sur $I$ et $(u^n )'=\alt<2->{\color<2>{blue}nu'u^{n-1} .}{\ldots \ldots \ldots}\pause $\pause

$\bullet$ \quad Si $n\geq 1$, alors la fonction $\cfrac{1}{u^n}$  est dérivable pour tout réel $x$ tel que $u(x)\neq 0$ et :

$\left(\cfrac{1}{u^n}\right)'=\alt<4->{\color<4>{blue} -n\cfrac{u'}{u^{n+1}}}{\ldots \ldots \ldots}\pause $\pause \quad que l'on note aussi : $(u^{-n} )'=\alt<6->{\color<6>{blue}-nu'u^{-n-1}.}{\ldots \ldots \ldots}\pause $\pause

\end{frame}

\begin{frame}

\textbf{Remarque :}
ces deux propriétés sont des cas particuliers de la dérivée d'une fonction composée $$x\longmapsto v(u(x))$$

On admettra le résultat général : $$(v\circ u)'(x)=(v(u(x)))'=\alt<2->{\color<2>{blue}u'(x)\times v'(u(x)).}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause $$\pause

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{exampleblock}{Preuve de la propriété 2 (premier point)}

 Démontrons par récurrence que la propriété
 $P_n$ : "$u^n$ est dérivable sur $I$ et $(u^n )'=nu'u^{n-1}$ " est vraie pour tout $n\geq 1$. 
 
 ~ \pause
 
 \textbf{Initialisation :} \pause pour $n=1$, la fonction $u^1=u$ est dérivable sur $I$. \pause
 
 Sa dérivée est : $(u^1)'=u'=1.u'.u^0$, 
 donc la propriété est vraie au rang 1.
 
 \end{exampleblock}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{exampleblock}
 
 \textbf{Hérédité :} \pause supposons que, pour un certain entier $k$, $P_k$ est vraie, c'est-à-dire : 
 
 $u^k$ est dérivable sur $I$ et $(u^k)'=ku'u^{k-1}$. \pause
 
Montrons alors que $P_{k+1}$ est aussi vraie, c'est-à-dire : 

$u^{k+1}$ est dérivable sur $I$ et $(u^{k+1})'=(k+1)u'u^k$. \pause

$u^{k+1}$ est dérivable sur $I$ comme produit de fonctions dérivables sur $I$. ($u^{k+1}=u^k.u)$ \pause

$(u^{k+1})'=(u^k.u)'=\pause (u^k)'.u+u^k.u'=\pause ku'u^{k-1}.u+u^k.u'=\pause ku'u^k+u^k.u'=\pause(k+1)u'u^k$.

~ \pause

\textbf{Conclusion :} $P_n$ est vraie pour tout $n\in \N$.

\end{exampleblock}

\end{frame}

 \end{document}    
