\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[francais]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}

\usepackage{textcomp}

\usepackage{graphicx}

\usepackage{caption}
\usepackage{fancyhdr}

%\usepackage[colorlinks,citecolor=blue,urlcolor=blue,linkcolor=blue,pagebackref=true]{hyperref}

\usepackage{enumerate}
\usepackage{pgf}

\usepackage{times}

\usepackage{xcolor}
\usepackage{framed}

\setlength{\oddsidemargin}{-0.2cm}
\setlength{\textwidth}{16.8cm}
\setlength{\topmargin}{-2.5cm}
\setlength{\textheight}{26.8cm}
\parindent 0.8cm

%création des ensembles de nombres
\font\bbw=msbm10
\def\R{\hbox{\bbw R}}
\def\N{\hbox{\bbw N}}
\def\Z{\hbox{\bbw Z}}
\def\D{\hbox{\bbw D}}
\def\Q{\hbox{\bbw Q}}


\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead{}
\fancyfoot{}
\lfoot{\small{Bernelas - Bays - Desclaux}}
\rfoot{\small{Lycée Les Eucalyptus 2019-2020}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\renewcommand \headrulewidth{0pt}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}

\begin{center} \Large \textbf{\fbox{Généralités sur les fonctions}} 
  \end{center}

\section {Limite d'une fonction à l'infini}

\subsection{Limite finie à l'infini}

\textbf{Définition :}

Dire qu'une fonction $f$ a pour limite le nombre réel $\ell$ en $+\infty$ signifie que tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ assez grand.

~

On note $\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow +\infty}f(x)=\ell}$.

~

\textbf{Remarque :}

On définit de façon analogue $\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow -\infty}f(x)=\ell}$.

~

\textbf{Graphiquement :}

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{fg_image1.pdf}
\caption{\it A gauche limite en $+\infty$ et à droite en $-\infty$} \label{fig1}
\end{center}
\end{figure}

Lorsque $f$ a pour limite $\ell$ en $+\infty$ (resp. en $-\infty$), on dit que, dans un repère, la droite $d$ 

d'équation $y=\ell$ est  asymptote horizontale à la courbe $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ (resp. en $-\infty$).

~

\textbf{Exemples :}

 $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow+\infty}}\cfrac{1}{x}= 0 $ \qquad \qquad $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow+\infty}}\cfrac{1}{x^2}= 0 $
 \qquad \qquad $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow+\infty}}\cfrac{1}{\sqrt{x}}=0  $
 
 ~
 
 $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow-\infty}}\cfrac{1}{x}= 0 $ \qquad \qquad $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow-\infty}}\cfrac{1}{x^2}= 0 $

\subsection{Limite infinie à l'infini}

 
\textbf{Définition :}

Dire qu'une fonction $f$ a pour limite $+\infty$ en $+\infty$ signifie que tout intervalle de la forme $]A ; +\infty[$, avec $A$ réel, contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ assez grand.

~

On note $\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow +\infty}f(x)=+\infty}$.

~

\textbf{Remarque :}

On définit de manière analogue $\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow +\infty}f(x)=-\infty}$ , $\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow -\infty}f(x)=+\infty}$ , $\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow -\infty}f(x)=-\infty}$.

~

\textbf{Exemples :}

~

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow+\infty}}x= +\infty $ \qquad \quad $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow+\infty}}x^2= +\infty $
\qquad \quad $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow+\infty}}x^3= +\infty$ \qquad \quad $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow+\infty}}\sqrt{x}= +\infty $

~

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow-\infty}}x= -\infty $ \qquad \qquad $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow-\infty}}x^2= +\infty $
\qquad \qquad $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow-\infty}}x^3= -\infty $


\section{Limite infinie d'une fonction en un réel $a$}

\subsection{Limite infinie}

\textbf{Définition :}

Dire qu'une fonction $f$ a pour limite $+\infty$ en $a$ signifie que tout intervalle de la forme $]A ; +\infty[$, avec $A$ réel, contient toutes les valeurs de $f(x)$ dès que $x$ est assez proche de $a$.

~

On note $\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow a}f(x)=+\infty}$.

~

\textbf{Remarque :}

On définit de façon analogue $\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow a}f(x)=-\infty}$.

~

\subsection {Limite à droite ou à gauche}
 
 
\textbf{Définition :}

Dire qu'une fonction $f$ a pour limite $+\infty$ en $a$ à droite (resp. à gauche) signifie que tout intervalle de la forme $]A ; +\infty[$, avec $A$ réel, contient toutes les valeurs de $f(x)$ dès que $x$ est assez proche de $a$,
$x$ restant strictement supérieur à $a$ (resp. strictement inférieur à $a$).

~

On note $\displaystyle{\lim_{\stackrel{x\longrightarrow a}{x>a}}f(x)=+\infty}$ \, ou $\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow a^+}f(x)=+\infty}$.

~

(resp. $\displaystyle{\lim_{\stackrel{x\longrightarrow a}{x<a}}f(x)=+\infty}$ \, ou$\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow a^-}f(x)=+\infty}$).

~

\textbf{Remarque :}

On définit de façon analogue $\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow a^+}f(x)=-\infty}$ \, et $\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow a^-}f(x)=-\infty}$.

~   


\textbf{Graphiquement :}

\begin{figure}[htbp]
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
\begin{center}

\includegraphics[width=0.85\textwidth]{fg_image2.pdf}
\end{center}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[htbp]{0.5\textwidth}
\textbf{Définition :}
lorsque $f$ a pour limite $+\infty$ (ou $-\infty$) 

en $a$, (ou à droite en $a$ ou à gauche en $a$), 
 
 on dit que la droite d'équation $x=a$ \qquad
 
 est asymptote verticale à $\mathcal{C}_f$.\end{minipage}

\end{figure}

\textbf{Exemples :}

 $\displaystyle{\lim_{\stackrel{x\longrightarrow 0}{x>0}}\frac{1}{x}= } +\infty $ \qquad \qquad $\displaystyle{\lim_{\stackrel{x\longrightarrow 0}{x<0}}\frac{1}{x}= } -\infty$ \qquad \qquad $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{x^2}= } +\infty $
 \qquad \qquad $\displaystyle{\lim_{\stackrel{x\longrightarrow 0}{x>0}}\frac{1}{\sqrt{x}}= } +\infty $
 
 ~


   \section {Détermination de limites}
   

 \subsection {Limites et opérations}
 
 Les principaux résultats sur les calculs de limites ont été vus avec les suites.
  
On retient qu'on ne peut pas conclure directement dans les cas des formes indéterminées, du type :

\begin{center}
"$\infty-\infty$", "$0\times \infty$", " $\frac{0}{0}$ ", " $\frac{\infty}{\infty}$ "
\end{center}

~
 
\textbf{Exemple de recherche de limites :}

On considère la fonction $f$ définie sur $\R\backslash \{2\}$ par $f(x)=1+\cfrac{1}{x-2}$

~

Limite en $+\infty$ :

$\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow +\infty} (x-2)=+\infty}$\, et par inverse : $\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow +\infty} \frac{1}{x-2}=0}$.

~

Donc, par somme, $\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow +\infty} f(x)=1}$

~

On a alors une asymptote horizontale d'équation $y=1$.

~

~

Limite en $2^+$ et en $2^-$  :

$\displaystyle{\lim_{\stackrel{x\longrightarrow 2}{x>2}} (x-2)=0^+}$ et par inverse : $\displaystyle{\lim_{\stackrel{x\longrightarrow 2}{x>2}} \frac{1}{x-2}=+\infty}$.

~

Donc, par somme,  $\displaystyle{\lim_{\stackrel{x\longrightarrow 2}{x>2}} f(x)=+\infty}$

~

De plus, $\displaystyle{\lim_{\stackrel{x\longrightarrow 2}{x<2}} (x-2)=0^-}$ et par inverse : $\displaystyle{\lim_{\stackrel{x\longrightarrow 2}{x<2}} \frac{1}{x-2}=-\infty}$.

~

Donc, par somme,  $\displaystyle{\lim_{\stackrel{x\longrightarrow 2}{x<2}} f(x)=-\infty}$

~

On a alors une asymptote verticale d'équation $x=2$.

~


\subsection{Limite d'une composée}

Pour décrire une fonction, on peut parfois la décomposer en enchaînements de fonctions plus simples.

$$x\stackrel{u}{\longrightarrow}u(x)\stackrel{v}{\longrightarrow}v\left(u(x)\right)$$


$$x\stackrel{v\circ u}{\longrightarrow}v\left(u(x)\right)$$

\textbf{Définition :}

Soient deux fonctions $u$ et $v$ définies sur deux ensembles $I$ et $J$ tels que l'image de $I$ par $u$ soit contenue dans $J$ : $u(I)\subset J$.

~

La fonction obtenue en appliquant successivement $u$, puis $ v$, s'appelle la composée de $u$ par $v$.

~

Elle est notée $v\circ u$, ou parfois $v(u)$.

~

Pour tout réel $x$ de $I$ :  $v\circ u(x)=v(u(x))$ 

~

\textbf{Théorème :}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
$a$, $b$ et $c$ désignent trois réels, ou $+\infty$ ou $-\infty$.

Si on a $\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow a}}u(x)=b$  et $\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow b}}v(x)=c $ \quad alors  $\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow a}}v\circ u(x)=c$ 
\end{minipage}}
\end{center}

~

\textbf{Exemple :}

Soit $f(x)=(-2x+1)^2$.

On peut décomposer $f$ en enchaînement de fonctions :

$$x \longrightarrow -2x+1 \longrightarrow (-2x+1)^2$$

On a :

$$\lim_{x\longrightarrow +\infty}(-2x+1)=-\infty \quad \text{et} \quad \lim_{X\longrightarrow -\infty}X^2=+\infty$$

et donc par composition : $$\lim_{x\longrightarrow +\infty}f(x)=+\infty $$

\subsection {Limite et comparaisons}

On dispose de théorèmes analogues à ceux déjà vus pour les suites.

\vspace{1ex}

\textbf{Théorème :}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
Soient deux fonctions $f$ et $g$ définies sur un intervalle de la forme $]a ; +\infty[$ telles que pour tout réel $x>a$, on ait $f(x)\leq g(x)$.

Minoration :     si $\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow +\infty}}f(x)=+\infty$, \quad alors $\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow +\infty}}g(x)= +\infty$ 

Majoration :     si $\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow +\infty}}g(x)=-\infty$, \quad alors $\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow +\infty}}f(x)= -\infty$ 

\end{minipage}}
\end{center}

~

\textbf{Théorème des gendarmes :}
 \begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
On considère trois fonctions $f$, $g$ et $h$ définies sur un intervalle de la forme $]a ; +\infty[$ telles que pour tout réel $x>a$, on ait $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$.

On suppose que $\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow +\infty}}g(x)=\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow +\infty}}h(x)= \ell$ , où $\ell$ est un nombre réel.

~

Alors $f$ admet pour limite $\ell$ en $+\infty$ : $\displaystyle{\lim_{x \longrightarrow +\infty}f(x)=\ell}$

\end{minipage}}
\end{center}

~

\textbf{Remarque :} on obtient des théorèmes analogues en $-\infty$.

\section{Continuité}

\subsection{Notion intuitive de continuité}

Une fonction définie sur un intervalle $I$ est continue sur $I$ si sa courbe représentative ne présente aucune rupture (on peut la tracer sans lever le crayon de la feuille).

\vspace{1ex}

\textbf{Exemples :}

\begin{figure}[htbp]

\begin{center}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{fg_image3.pdf}
\caption{\it La fonction carré, la fonction inverse et une fonction $f$} \label{fig3}
\end{center}
\end{figure}
La fonction carré est continue sur $\R$, la fonction inverse est continue sur $]-\infty; 0[$ et sur $]0;+\infty[$ mais n'est pas continue sur $\R$. $f$ est définie mais pas continue sur $[-3;2]$; il y a une rupture en $x=1$.

\vspace{1ex}

\textbf{Théorème (admis) :}
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
~

Une fonction dérivable sur un intervalle $I$ est continue sur $I$.

~

\end{minipage}}
\end{center}

\textbf{Attention :} ne pas confondre " continuité " et " dérivabilité " :

$\bullet$ \quad Une fonction $f$ est continue en $a$ si sa courbe $C_f$ ne présente pas de saut en son point d'abscisse $a$.

\vspace{1ex}

$\bullet$ \quad Une fonction $f$ est dérivable en $a$ si sa courbe $C_f$ admet une tangente non verticale en son point d'abscisse $a$.


~

\textbf{Remarque :}

La réciproque de ce théorème est fausse  : les fonctions valeur absolue et racine carrée, par exemple, ne sont pas dérivables en $0$ mais sont continues en $0$, respectivement sur $\R$ et sur $[0 ; +\infty[$.

~

\textbf{Conséquences :}

$\bullet$ \quad Les fonctions " usuelles " (affines, carré, cube, racine carrée, inverse, valeur absolue) sont continues sur tout intervalle où elles sont définies.

$\bullet$ \quad Les fonctions construites à partir de ces fonctions par somme, produit ou composition sont continues sur
tout intervalle où elles sont définies.


\subsection{Théorème des valeurs intermédiaires }

\textbf{Convention dans un tableau de variations :}

Une flèche dans le tableau de variations d'une fonction $f$ indique :
\begin{itemize}
	\item la stricte croissance ou stricte décroissance de f sur l'intervalle correspondant ;
	\item la continuité de la fonction sur cet intervalle.
\end{itemize}

~

\textbf{Théorème des valeurs intermédiaires :}


\begin{figure}[htbp]
\fbox{\begin{minipage}{0.55\textwidth}
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$

 et $a$ et $b$ deux réels de $I$.

Pour tout $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, 

il existe au moins un réel $c$ compris 

entre $a$ et $b$ tel que
$f(c)=k$.

Autrement dit, $f$ prend, entre $a$ et $b$, 

toute valeur intermédiaire entre $f(a)$ et $f(b)$.

\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[htbp]{0.4\textwidth}
\begin{center}

\includegraphics[width=0.85\textwidth]{fg_image4.pdf} \\ Illustration graphique
\end{center}
\end{minipage}}

\end{figure}


\textbf{Corollaire :}

Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $[a ;b]$. Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution dans l'intervalle $[a;b]$.

 
 ~
 
\textbf{Remarque :}

Ce corollaire s'étend au cas d'intervalles ouverts ou semi-ouverts, bornés ou non bornés en remplaçant si besoin $f(a)$ et $f(b)$ par les limites de $f$ en $a$ et en $b$.

~

\textbf{Illustration graphique :}

\begin{figure}[htbp]
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\begin{center}
$\bullet$ \quad Cas où f est strictement croissante

~

\includegraphics[width=0.9\textwidth]{fg_image6.pdf}
\end{center}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\begin{center}
$\bullet$ \quad Cas où f est strictement décroissante

~

\includegraphics[width=\textwidth]{fg_image5.pdf}
\end{center}
\end{minipage}

\end{figure}

\textbf{Tableaux de variations :}

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{fg_image7.pdf}
\end{center}
\end{figure}

	\section{Calcul de dérivées}

\subsection{Dérivée de $x \longmapsto f(ax+b)$}

\textbf{Théorème :}

On considère une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $I$ et deux réels $a$ et $b$ fixés. On note $J$ l'intervalle formé des réels $x$ tels que $(ax+b)\in I$, et la fonction  $g: x\longmapsto f(ax+b)$.

Alors la fonction $g$ est dérivable sur $J$ et, pour tout $x$ de $J$ :
$$ g'(x)= a \times f'(ax+b) $$


\subsection{Dérivée de $x \longmapsto \sqrt{u(x)}$ et $x \longmapsto \left(u(x)\right)^n$}

\textbf{Propriété 1 :}

On considère une fonction $u$ strictement positive et dérivable sur un intervalle $I$. La fonction $g:x\longmapsto \sqrt{u(x)}$ est dérivable sur $I$ et, pour tout réel $x$ de $I$ :

$$g' (x)= \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}} $$

 On retient : $\left(\sqrt{u}\right)'= \cfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ 

~

\textbf{Propriété 2 :}

Soit $u$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$, et soit $n$ un entier naturel.

$\bullet$ \quad Si $n\geq 1$, alors la fonction $u^n$ est dérivable sur $I$ et $(u^n )'=nu'u^{n-1}$ 

$\bullet$ \quad Si $n\geq 1$, alors la fonction $\cfrac{1}{u^n}$  est dérivable pour tout réel $x$ tel que $u(x)\neq 0$ et :

$\left(\cfrac{1}{u^n}\right)'= -n\cfrac{u'}{u^{n+1}}$  que l'on note aussi : $(u^{-n} )'=-nu'u^{-n-1}$ 

~

\textbf{Remarque :}
ces deux propriétés sont des cas particuliers de la dérivée d'une fonction composée 

\vspace{1ex}

$x\longmapsto v(u(x))$.
On admettra le résultat général : $(v\circ u)'(x)=(v(u(x)))'=u'(x)\times v'(u(x))$.

~

\textbf{Preuve de la propriété 2 (premier point):}

 Démontrons par récurrence que la propriété
 $P_n$ : "$u^n$ est dérivable sur $I$ et $(u^n )'=nu'u^{n-1}$ " est vraie pour tout $n\geq 1$. 
 
 \vspace{1ex}
 
 \textbf{Initialisation :} pour $n=1$, la fonction $u^1=u$ est dérivable sur $I$. 
 
 Sa dérivée est : $(u^1)'=u'=1.u'.u^0$, 
 donc la propriété est vraie au rang 1.
 
 \vspace{1ex}
 
 \textbf{Hérédité :} supposons que, pour un certain entier $k$, $P_k$ est vraie, c'est-à-dire : 
 
 $u^k$ est dérivable sur $I$ et $(u^k)'=ku'u^{k-1}$.
 
Montrons alors que $P_{k+1}$ est aussi vraie, c'est-à-dire : 

$u^{k+1}$ est dérivable sur $I$ et $(u^{k+1})'=(k+1)u'u^k$.

$u^{k+1}$ est dérivable sur $I$ comme produit de fonctions dérivables sur $I$. ($u^{k+1}=u^k.u)$

$(u^{k+1})'=(u^k.u)'=(u^k)'.u+u^k.u'=ku'u^{k-1}.u+u^k.u'=ku'u^k+u^k.u'=(k+1)u'u^k$.

\vspace{1ex}

\textbf{Conclusion :} $P_n$ est vraie pour tout $n\in \N$.



 \end{document}    
