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%création des ensembles de nombres
\font\bbw=msbm10
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\def\Q{\hbox{\bbw Q}}


\title[Diaporama du cours]{Cours de terminale S\\Fonctions de référence\\La fonction logarithme népérien}
\author{V. B. J. D. S. B.}
\institute{Lycée des EK}
\date{\today}


\begin{document}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}



\section{Définition et propriétés}
\subsection{Définition}

\begin{frame}

La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur $\R$. Le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires permet d'affirmer que quel que soit le réel $a$ strictement positif, il existe un réel unique $x$ tel que $\text{e}^x=a$.

~

\begin{block}{Définition}

Si $a$ est un réel strictement positif, la solution unique sur $\R$ de l'équation  $\text{e}^x=a$, d'inconnue $x$, s'appelle \alt<2->{\color<2>{blue} \textbf{logarithme népérien} de $a$, et on note $x=\ln a$. }{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots} \pause

\end{block}

\end{frame}

\subsection{Définition}

\begin{frame}

\begin{block}{Définition}

La fonction logarithme népérien est définie sur $]0;+\infty[$ par : \alt<2->{\color<2>{blue} $x \longmapsto \ln x$.}{\ldots \ldots \ldots}\pause \pause

Autrement dit, pour tout $x$ strictement positif, $$\alt<4->{\color<4>{blue}y=\ln x \Longleftrightarrow \text{e}^y=x}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots }$$ \pause
\pause 

\end{block}

~

On dit que la fonction $\ln$ est la \alt<6->{\color<6>{blue}\textbf{fonction réciproque}}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots} de la fonction $\exp$. \pause \pause

~

Ainsi : $\ln 1=0 $\, puisque $\text{e}^0=1$\,  et $\ln \text{e}=1$\, puisque $\text{e}^1=\text{e}$.

\end{frame}

\begin{frame}

De plus : si $\ln x =y$\, alors $x=\text{e}^y$\, et $\cfrac{1}{x}=\text{e}^{-y}$\, soit $\ln \left(\cfrac{1}{x}\right)=-y$. 

~ \pause

On obtient donc, pour tout réel $x$ strictement positif:

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.6\textwidth}
\alt<3->{\color<3>{blue}$$\ln \frac{1}{x}=-\ln x$$}{$$\ldots \ldots \ldots \ldots$$

~}
\end{minipage}}
\end{center} \pause 

\end{frame}

\subsection{Propriété}

\begin{frame}

\begin{block}{Propriété}

Pour tout réel $x$, $\ln (\text{e}^x)=x$\, 

~

et pour tout réel $x$ strictement positif, $\text{e}^{\ln x}=x$

\end{block}

\end{frame}

\section{Variations et limites}

\subsection{Propriété}

\begin{frame}

\begin{block}{Propriété}
La fonction logarithme népérien est \alt<2->{\color<2>{blue}continue et dérivable sur $]0;+\infty[$\, et $\ln'(x)=\cfrac{1}{x}$\,.}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

~
} \pause \pause

\end{block}


\begin{exampleblock}{Démonstration partielle}

On admet que la fonction $\ln $ est continue et dérivable sur $]0;+\infty[$.\pause

Si on pose $f(x)=\exp (\ln x)=x$, 

alors $f'(x)=$\alt<5->{\color<5>{blue}$\ln '(x) \times \exp (\ln x)= \ln '(x) \times x$.}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause 

Or $f'(x)=1$, d'où $\ln '(x)=$\alt<7->{\color<7>{blue}$\cfrac{1}{x}$\, .}{\ldots}\pause

\end{exampleblock}
  
\end{frame}

\subsection{Théorème}

\begin{frame}

\begin{block}{Théorème}
La fonction logarithme népérien  est \alt<2->{\color<2>{blue}strictement croissante sur $]0;+\infty[$.}
{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause

\end{block} \pause

$\ln'(x)=\cfrac{1}{x}$ \, et $\cfrac{1}{x}>0$ \, pour tout $x>0$; puisque sa dérivée est strictement positive sur $]0;+\infty[$, on conclut que la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$.

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{block}{Corollaire}
Pour tout réels $a$ et $b$ strictement positifs,
$$\alt<2->{\color<2>{blue}a<b \Longleftrightarrow \ln a< \ln b \qquad \text{ et } \qquad  a=b \Longleftrightarrow \ln a = \ln b}{ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}$$ \pause \pause

\end{block}

~

En particulier : $0<x <1$ équivaut à $\ln x <0$\, et  $x >1$ équivaut à $\ln x >0$.

\end{frame}

\subsection{Théorème}

\begin{frame}

\begin{block}{Théorème}

$$\lim_{x\longrightarrow +\infty} \ln x=\alt<2->{\color<2>{blue}+\infty}{\ldots \ldots}\pause \pause \qquad \text{et} \qquad \lim_{\stackrel{x\longrightarrow 0}{x>0}} \ln x= \alt<4->{\color<4>{blue}-\infty}{\ldots \ldots}$$ \pause

\end{block} \pause

\begin{exampleblock}{Démonstration}

On utilise la définition d'une limite infinie à l'infini : \alt<6->{\color<6>{blue}quel que soit le réel $A$, si $x>\text{e}^A$ alors $\ln x > A$; donc l'intervalle $]A;+\infty[$ contient toutes les valeurs de $\ln x$ pour $x$ assez grand.}{\ldots \ldots \ldots \ldots 

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 
\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots }\pause \pause


Ensuite : $\displaystyle{\lim_{\stackrel{x\longrightarrow 0}{x>0}} \ln x=\lim_{\stackrel{x\longrightarrow 0}{x>0}} -\ln \frac{1}{x}}$\, ; 

or, \alt<8->{\color<8>{blue}$\displaystyle{\lim_{\stackrel{x\longrightarrow 0}{x>0}} \frac{1}{x}=+\infty}$\, et $\displaystyle{\lim_{X\longrightarrow +\infty} -\ln X=-\infty}$}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

~ }\pause \pause

~

Donc, par composition, on obtient  \alt<10->{\color<10>{blue}$\displaystyle{\lim_{\stackrel{x\longrightarrow 0}{x>0}} \ln x=-\infty}$.}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots }\pause

\end{exampleblock}

\end{frame}

\subsection{Tableau de variation et représentation graphique}

\begin{frame}

On construit le tableau de variation à l'aide des résultats précédents. Puisque la fonction $\ln$ est la réciproque de la fonction $\exp$, les courbes représentatives de ces deux fonctions sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y=x$.

~

La courbe passe par les points de coordonnées $(1; 0)$ et $(\text{e};1)$.

~

La tangente à la courbe au point d'abscisse $1$ a pour coefficient directeur $\ln '(1)=1$.

~

Puisque $\displaystyle{\lim_{\stackrel{x\longrightarrow 0}{x>0}} \ln x=-\infty}$, la courbe représentative de la fonction logarithme népérien admet une asymptote d'équation $x=0$, soit l'axe des ordonnées.

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{center}

~

\textbf{Fonction logarithme népérien}

~

~

\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
$\begin{array}{|c|lcr|}
\hline
x &  0 ~ \qquad  & & ~ \quad +\infty \\
\hline 
f'(x)=\frac{1}{x} & & ~ ~ & \\
\hline
 & & & \\
f(x)=\ln x &    & &  \\ 
 & & & \\
\hline
\end{array}$
\end{center}
\pause
\begin{figure}
\begin{pgfpicture}{0cm}{-3cm}{7cm}{4cm}
% les axes se coupent a (0,0.75)
\begin{pgfscope} 
\pgfsetlinewidth{1pt} 
\color{blue} 
\pgfline{\pgfxy(2.95,4.47)}{\pgfxy(2.95,6.8)}\pause
\pgfnodebox{Node1}[virtual]{\pgfxy(4.5,6.5)}{$+$}{2pt}{2pt}\pause
\pgfnodebox{Node2}[virtual]{\pgfxy(3.3,4.7)}{$-\infty$}{2pt}{2pt}\pause
\pgfnodebox{Node3}[virtual]{\pgfxy(5.8,5.9)}{$+\infty$}{2pt}{2pt}\pause
\pgfsetendarrow{\pgfarrowto}
\pgfnodeconnline{Node2}{Node3}
\end{pgfscope} 
\end{pgfpicture}
\end{figure}

\end{frame}


\begin{frame}

~ 

\alt<2->{
\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.58\textwidth]{fr_image3a.pdf}
\caption{\it Courbe représentative de la fonction $\ln$} \label{fig1}
\end{center}
\end{figure}}
{\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.6\textwidth]{fr_image3.pdf}
\caption{\it Courbe représentative de la fonction $\ln$} \label{fig1}
\end{center}
\end{figure}}\pause

\end{frame}

\section{Relation fonctionnelle}
\subsection{Théorème}

\begin{frame}

La fonction $\ln$ est la réciproque de la fonction $\exp$. On peut donc déduire une relation fonctionnelle pour la fonction $\ln$ à partir de celle existant pour la fonction $\exp$ :

pour tout réels $x$ et $y$, $\exp(x)\exp(y)=\exp (x+y)$ 

donc $\ln (\exp(x)\exp(y))=\ln (\exp (x+y))=x+y$;

si on pose $a=\exp(x)$ et $b=\exp(y)$\,, soit $x=\ln a$ et $y= \ln b$\, on obtient :

~

\begin{block}{Théorème}
Quels que soient les réels $a$ et $b$\, strictement positifs  :
$$\alt<2->{\color<2>{blue}\ln (a\times b)=\ln a + \ln b}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}$$\pause

\end{block}

\end{frame}

\begin{frame}

\textbf{Remarque}

Si $a=b$, la relation fonctionnelle nous donne : $\ln (a^2)=2\ln a$.

~

On peut alors en déduire : $\ln x = \ln ((\sqrt{x})^2)=2\ln (\sqrt{x})$\,, 

~

soit $\ln (\sqrt{x})=\frac{1}{2}\ln x$.

\end{frame}

\subsection{Propriétés}

\begin{frame}

\begin{block}{Propriétés}

Quels que soient les réels $a$, $b$\, strictement positifs et l'entier relatif $n$ : 
\alt<2->{\color<2>{blue}$$\ln \left(\frac{a}{b}\right)=\ln a -\ln b \qquad \qquad \ln\left(\frac{1}{b}\right)=-\ln b$$ 
$$\ln (a^n)=n \ln a$$}{$$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \qquad \qquad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $$

 $$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $$}\pause

\end{block}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{exampleblock}{Démonstration}

$\bullet$ \quad La deuxième propriété a déjà été prouvée. \pause

~

$\bullet$ \quad  pour la première propriété, on utilise la relation fonctionnelle :

 $$\ln \frac{a}{b}=\alt<3->{\color<3>{blue}\ln \left(a\times \cfrac{1}{b}\right)=\ln a +\ln \cfrac{1}{b}=\ln a -\ln b.}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}$$\pause 

\end{exampleblock}

\end{frame}


\begin{frame}

\begin{exampleblock}{Démonstration}

\quad pour la troisième propriété notée $P_n$ : " $\ln (a^n)=n \ln a$ "; 

nous allons d'abord démontrer par récurrence que $P_n$ est vraie pour tout $n\in \N$.\pause

~ 

Initialisation : \alt<3->{\color<3>{blue}$\ln (a^0)= \ln 1=0$\, et $0\ln a=0$\, donc $P_0$ est vraie.}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause

~

Hérédité : supposons que la propriété est vraie pour un certain entier naturel $k$;
soit \alt<5->{\color<5>{blue}$\ln (a^k)=k \ln a$.}{\ldots \ldots \ldots \ldots} \pause  \pause

Alors, \alt<7->{\color<7>{blue}$\ln (a^{k+1})= \ln (a^k\times a)=\ln(a^k)+\ln a=k\ln a +\ln a$ 
d'après l'hypothèse de récurrence,

donc $\ln (a^{k+1})=(k+1)\ln a$\, et $P_{k+1}$ est vraie.}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots  

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots }\pause \pause

~

Conclusion : \alt<9->{\color<9>{blue} $P_n$ est vraie pour tout $n\in \N$.}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots }\pause

\end{exampleblock}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{exampleblock}{Démonstration}

Maintenant, si $n$ est un entier relatif négatif, $$\ln (a^n)=\ln \cfrac{1}{a^{-n}}=-\ln (a^{-n})$$ \pause

or $(-n)\in \N$\,; on peut donc écrire  $\ln (a^{-n})=(-n)\ln a$ \pause

~

On en déduit que : $\ln (a^n)=n \ln a$.
\end{exampleblock}

\end{frame}

\section{Compléments}

\subsection{Calcul de limites}

\begin{frame}

\begin{block}{Théorème}

$$\lim_{x\longrightarrow +\infty} \frac{\ln x}{x}=\alt<2->{\color<2>{blue}0}{\ldots }\pause \pause \qquad \text{et} \qquad \lim_{x\longrightarrow 0} \frac{\ln (1+x)}{x}= \alt<4->{\color<4>{blue}1}{ \ldots}$$ \pause

\end{block}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{exampleblock}{Démonstration}

$\bullet$ \quad On sait que pour tout $a$ réel, $a<\exp (a)$\, ,
donc pour tout $a$ strictement positif, $\ln a \leq a$. (Croissance de la fonction $\ln$).\pause

 On en déduit que pour tout $x$ strictement positif $ \ln \sqrt{x} \leq \sqrt{x}$\, d'où $\frac{1}{2} \ln x \leq \sqrt{x} $\, et donc $\ln x \leq 2\sqrt{x}$.

~ \pause

Alors, pour tout $x\geq 1$ : $0\leq \cfrac{\ln x}{x} \leq \cfrac{2\sqrt{x}}{x}$\,, 

c'est-à-dire : $0\leq \cfrac{\ln x}{x} \leq \cfrac{2}{\sqrt{x}}$\, . \pause

De plus $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{2}{\sqrt{x}}=0}$\, , donc par application du théorème des gendarmes, 
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\ln x}{x}=0}$.
\end{exampleblock}

\end{frame}

\begin{frame}

~

\textbf{Remarque}

On pouvait aussi écrire $\cfrac{\ln x}{x}=\cfrac{X}{\exp(X)}=\cfrac{1}{\frac{\exp(X)}{X}}$\, , 

~

et appliquer les théorèmes sur la composition et l'inverse de limites. 

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{exampleblock}{Démonstration}

$\bullet$ \quad $\cfrac{\ln (1+x)}{x}=\cfrac{\ln (1+x)-\ln 1}{x}$ \, est 

~

\alt<2->{\color<2>{blue}le taux d'accroissement de la fonction $\ln$ en 1.}{\ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause 

~

Sa limite quand $x$ tend vers 0 est le \alt<4->{\color<4>{blue}nombre dérivé de la fonction $\ln$ en $1$ qui est $1$.}{\ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots

\ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots }\pause \pause

~

Donc $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln (1+x)}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln (1+x)-\ln 1}{x}=}$\alt<6->{\color<6>{blue}$1$.}{ \ldots}\pause

\end{exampleblock}

\end{frame}

\subsection{Calcul de dérivées}

\begin{frame}

On montre que :

\begin{block}{Propriété}

si $u$ est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$ de $\R$, alors la fonction composée $\ln \circ  u$, notée aussi $\ln u$, est dérivable sur $I$ et $$(\ln \circ u)'(x)=\alt<2->{\color<2>{blue}\frac{u'(x)}{u(x)}}{\ldots \ldots} $$ \pause \pause

\end{block}

~

Par exemple, on obtient pour tout $x>-\frac{b}{a}$ : $$(\ln (ax+b))'=\alt<4->{\color<4>{blue}\frac{a}{ax+b}}{\ldots \ldots}$$\pause

\end{frame}

\begin{frame}

\textbf{Remarque} 

$u $ étant strictement positive, le signe de $(\ln u)'$ est le même que celui de $u'$. \pause

~

Cette dérivée satisfait à la formule générale : $$(f(u(x))'=u'(x)\times f'(u(x))$$

\end{frame}


 \end{document}    
