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%création des ensembles de nombres
\font\bbw=msbm10
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\def\N{\hbox{\bbw N}}
\def\Z{\hbox{\bbw Z}}
\def\D{\hbox{\bbw D}}
\def\Q{\hbox{\bbw Q}}


\title[Diaporama du cours]{Cours de terminale S\\Fonctions de référence\\La fonction exponentielle}
\author{V. B. J. D. S. B.}
\institute{Lycée des EK}
\date{\today}


\begin{document}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}



\section{Théorème et définition}
\subsection{Théorème}

\begin{frame}

\begin{block}{Théorème}

Il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $\R$ telle que : $$\alt<2->{\color<2>{blue}f'=f \, \text{ et } \, f(0)=1  }{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}$$ \pause

\end{block}

\end{frame}

\subsection{Définition}

\begin{frame}

\begin{block}{Définition}

Cette fonction est appelée \alt<2->{\color<2>{blue}\textbf{fonction exponentielle}.}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots\ldots \ldots \ldots} \pause
\pause 

~

On note : $$\alt<4->{\color<4>{blue}\exp : x\in \R \longmapsto \exp (x)}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}$$ \pause \pause

Ainsi pour tout $x$ réel : \alt<6->{\color<6>{blue}$\exp' (x)=\exp(x)$\, et $\exp (0)=1$.}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots.} \pause \pause

~

La fonction exponentielle est définie et continue sur $\R$ puisqu'elle est dérivable sur $\R$.

\end{block}
\end{frame}

\subsection{Propriété}

\begin{frame}

Pour tout réel $x$, $\exp (x)\neq 0$. \pause

Démonstration : soit $\phi$ la fonction définie pour tout $x$ réel par $\phi (x) =\exp (x)\exp (-x)$. 

La fonction $\phi$ est dérivable sur $\R$ comme produit de fonctions dérivables et 

 $\phi '(x)=$\alt<3->{\color<3>{blue}($\exp (x))'\exp(-x) +\exp (x) (\exp (-x))'=\exp (x)\exp (-x)-\exp (x)\exp (-x)=0$}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
 
 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause

Si $\phi$ a une dérivée nulle sur $\R$ alors $\phi$ est une fonction 

\alt<5->{\color<5>{blue}constante.}{\ldots \ldots \ldots}\pause \pause

Or $\phi (0)=\alt<7->{\color<7>{blue}\exp (0)\exp (0)=1; }{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}$\pause \pause \, on en déduit que, pour tout $x$ réel, $\phi (x)=\alt<9->{\color<9>{blue}1, }{\ldots}$ \pause \pause 

soit $\exp (x)\exp (-x)=\alt<11->{\color<11>{blue}1}{\ldots}$, \pause \pause d'où on conclut que \alt<13->{\color<13>{blue}$\exp (x)\neq 0$.}{\ldots \ldots \ldots}\pause

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{exampleblock}{Démonstration du théorème}

\pause L'existence d'une telle fonction est admise.

On démontre l'unicité : \pause soit $g$ une fonction  dérivable sur $\R$ telle que : $g'=g$\, et $g(0)=1$.

On peut définir pour tout $x$ réel une fonction $u$ par $u(x)=\cfrac{g(x)}{\exp (x)} $ car $\exp (x)\neq 0$ pour tout $x$.\pause

Alors $(u(x))'=$\alt<5->{\color<5>{blue}$\frac{g'(x)\exp (x)-g(x)\exp' (x)}{(\exp (x))^2}=\frac{g(x)\exp (x)-g(x)\exp (x)}{(\exp (x))^2}=0$}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
\ldots \ldots  }\pause \pause

La fonction $u$ de dérivée nulle est donc constante sur $\R$ et puisque $u(0)=1$, on en déduit que $u(x)=1$ pour tout $x$ réel.
Ceci signifie que $g(x)=\exp (x)$ pour tout $x$ réel.

\end{exampleblock}

\end{frame}

\subsection{Propriété}

\begin{frame}

La fonction exponentielle est strictement positive : pour tout $x$ réel, $\exp (x)>0$. \pause

Démonstration : la fonction exponentielle est continue sur $\R$ et $\exp (0)=1$ ; s'il existe un réel $x$ tel que $\exp (x) <0$\, alors d'après le théorème des valeurs intermédiaires, \alt<3->{\color<3>{blue}il existe $a$ réel tel que $\exp (a) =0$. Or ceci est impossible puisque
  pour tout réel $x$, $\exp (x)\neq 0$.}{\ldots \ldots \ldots \ldots 
  
\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}
  
\end{frame}

\section{Relation fonctionnelle}
\subsection{Théorème}

\begin{frame}

\begin{block}{Théorème}
Quels que soient les réels $a$ et $b$ :
$$\alt<2->{\color<2>{blue}\exp (a+b)=\exp(a)\exp(b)}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}$$\pause

\end{block}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{exampleblock}{Démonstration}
\color{blue}
Soit $a$ un réel quelconque. On pose, pour tout $x$ réel, $g(x)=\frac{\exp (x+a)}{\exp (x)}$\, ; \pause

$g$ est définie et dérivable sur $\R$ avec 

$g'(x)= \frac{\exp' (x+a)\exp (x)-\exp (x+a)\exp' (x)}{(\exp (x))^2}$

$\qquad =\frac{\exp (x+a)\exp (x)-\exp (x+a)\exp (x)}{(\exp (x))^2}$\, \pause

donc $g'(x)=0$\, pour tout $x$ réel. La fonction $g$ de dérivée nulle est donc constante sur $\R$, 

soit $g(x)=g(0)=\cfrac{\exp(a)}{\exp(0)}=\exp(a)$\, pour tout $x$ réel. \pause

En particulier pour $x=b$, on obtient $g(b)=\cfrac{\exp (a+b)}{\exp (b)}=\exp(a)$\ 

d'où on déduit que $\exp (a+b)=\exp(a)\exp(b)$.

\end{exampleblock}

\end{frame}

\begin{frame}

\textbf{Remarque}

Soit $x$ un réel quelconque. A l'aide de la relation fonctionnelle, on peut écrire :

~

$\exp(x)=\exp(\frac{x}{2}+\frac{x}{2})=\exp(\frac{x}{2})\exp(\frac{x}{2}))=\left(\exp(\frac{x}{2})\right)^2$.

~

Puisqu'un carré est positif et que $\exp(x)\neq 0$, on montre à nouveau que $\exp(x)>0$ pour tout $x$.

\end{frame}


\subsection{Propriétés}

\begin{frame}

\begin{block}{Propriétés}

Quels que soient les réels $a$, $b$\, et l'entier relatif $n$ : 
\alt<2->{\color<2>{blue}$$\exp (a-b)=\frac{\exp (a)}{\exp(b)} \qquad \qquad \exp(-b)=\frac{1}{\exp(b)}$$ 
$$\exp (na)=(\exp a)^n$$}{$$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \qquad \qquad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $$

 $$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $$}\pause

\end{block}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{exampleblock}{Démonstration}

On utilise la relation fonctionnelle :

~

$\bullet$ \quad $\exp(a)=\exp((a-b)+b)=\exp(a-b)\exp(b)$\, 

et puisque $\exp(b)\neq 0$, on en déduit : $\exp (a-b)=\cfrac{\exp (a)}{\exp(b)}$

~

$\bullet$ \quad l'égalité précédente avec $a=0$ donne $\exp (-b)=\cfrac{\exp (0)}{\exp(b)}=\cfrac{1}{\exp(b)}$

~

\end{exampleblock}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{exampleblock}{Démonstration}

$\bullet$ \quad Soit $P_n$ la propriété " $\exp (na)=(\exp a)^n$ "; 

nous allons d'abord démontrer par récurrence que $P_n$ est vraie pour tout $n\in \N$.\pause

~ \color{blue}

Initialisation : $\exp (0\times a)=\exp(0)=1$\, et $(\exp a)^0=1$\, donc $P_0$ est vraie.\pause

~

Hérédité : supposons que la propriété est vraie pour un certain entier naturel $k$;
soit $\exp (ka)=(\exp a)^k$. \pause
Alors,

 $\exp ((k+1)a)=\exp(ka+a)=\exp(ka)\exp(a)=(\exp a)^k\exp(a)$ d'après l'hypothèse de récurrence,\pause

donc $\exp ((k+1)a)=(\exp(a))^{k+1}$\, et $P_{k+1}$ est vraie.\pause

~

Conclusion : $P_n$ est vraie pour tout $n\in \N$.

\end{exampleblock}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{exampleblock}{Démonstration}

Maintenant, si $n$ est un entier relatif négatif, 

$\exp(na)=\alt<2->{\color<2>{blue}\cfrac{1}{\exp(-na)}}{\ldots \ldots \ldots}$\pause \pause

~

or $(-n)\in \N$\,; on peut donc écrire  $\exp((-n)a)=\alt<4->{\color<4>{blue}(\exp(a))^{-n}}{\ldots \ldots \ldots}$\pause \pause

~

On en déduit que : $\exp(na)=\alt<6->{\color<6>{blue}\cfrac{1}{(\exp(a))^{-n}}=(\exp a)^n.}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}$\pause

\end{exampleblock}

\end{frame}

\subsection{Notations}

\begin{frame}

\begin{block}{Notation}

On note e l'image de $1$ par la fonction exponentielle : $$\alt<2->{\color<2>{blue}\exp(1)=\text{e} .}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}$$ \pause \pause

\end{block}

~

$\text{e}\simeq 2,718 \ldots$ et n'est pas un nombre rationnel; c'est un nombre qui a des propriétés commune à celle de $\pi$.

~ \pause

On peut alors écrire pour tout $n\in \Z$, 

$\exp(n)=\alt<5->{\color<5>{blue}\exp(n\times 1)=(\exp(1))^n=\text{e}^n .}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots} $ \pause

\end{frame}

\begin{frame}

Cette écriture se prolonge à $\R$ :

\begin{block}{Notation}
Pour tout $x\in \R$, l'image de $x$ par la fonction exponentielle se note :
$$\alt<2->{\color<2>{blue}\exp(x)=\text{e}^x}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}$$ \pause \pause

\end{block}

~

On peut donc écrire : $\text{e}^0=\alt<4->{\color<4>{blue}1}{\ldots}$\, \pause \pause et $(\text{e}^x)'=\alt<6->{\color<6>{blue}\text{e}^x}{\ldots}$.\pause

\end{frame}


\begin{frame}

\textbf{Utilisation:} on peut écrire la relation fonctionnelle et les propriétés de la fonction exponentielle avec la nouvelle notation; on reconnaît alors les propriétés bien connues du calcul avec des exposants : \pause

\begin{block}

Quels que soient les réels $a$, $b$\, et l'entier relatif $n$ : 
\alt<3->{\color<3>{blue}$$\text{e}^{a+b}=\text{e}^{a}\text{e}^{b} \qquad \text{e}^{a-b}=\frac{\text{e}^{a}}{\text{e}^{b}} \qquad \text{e}^{-b}=\frac{1}{\text{e}^{b}} \qquad \text{e}^{na}=\left(\text{e}^{a}\right)^n$$}{$$\ldots \ldots \ldots \ldots \qquad \ldots \ldots \ldots \ldots \qquad \ldots \ldots \ldots \ldots \qquad \ldots \ldots \ldots \ldots$$}\pause \pause

\end{block}

~

De plus, quels que soient les réels $a$, $b$\,: \, $\text{e}^{ab}=\left(\text{e}^{a}\right)^b$ \pause

Par exemple : $\left(\text{e}^{\frac{x}{2}}\right)^2=\text{e}^{x}$\, donc  $\text{e}^{\frac{x}{2}}=\sqrt{\text{e}^x}$ \,
et en particulier, $\text{e}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\text{e}}$.

\end{frame}



\section{Variations et limites}
\subsection{Théorème}

\begin{frame}

\begin{block}{Théorème}

La fonction exponentielle est \alt<2->{\color<2>{blue}strictement croissante sur $\R$.}{ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause

\end{block}

~

Par définition, $\exp'(x)=\exp (x)$\, et $\exp(x)>0$\, pour tout $x$ réel; puisque sa dérivée est strictement positive sur $\R$, on conclut que $\exp$ est strictement croissante sur $\R$.

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{block}{Corollaire}

$$\alt<2->{\color<2>{blue}a<b \Longleftrightarrow \text{e}^a< \text{e}^b \qquad \text{ et } \qquad  a=b \Longleftrightarrow \text{e}^a = \text{e}^b}{ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}$$ \pause \pause

\end{block}

~

 En particulier : si $x <0$ alors $\text{e}^x <1$\, et si $x >0$ alors $\text{e}^x >1$.

\end{frame}

\subsection{Théorème}

\begin{frame}

\begin{block}{Théorème}

$$\lim_{x\longrightarrow +\infty} \text{e}^x=\alt<2->{\color<2>{blue}+\infty}{\ldots \ldots}\pause \pause \qquad \text{et} \qquad \lim_{x\longrightarrow -\infty} \text{e}^x= \alt<4->{\color<4>{blue}0}{ \ldots}$$ \pause

\end{block}


\end{frame}

\begin{frame}

\begin{exampleblock}{Démonstration}

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\text{e}^x-x$. \pause

~

\color{blue}$f'(x)=\text{e}^x-1$\, et d'après le corollaire précédent, $f'(x)\geq 0$. \pause

La fonction $f$ est donc croissante et de plus $f(0)=1$. \pause

On en déduit que, pour tout $x\in [0;+\infty[$,\, $f(x)> 0$\, 

d'où : $\text{e}^x > x$. \pause

~

$\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow+\infty} x =+\infty }$\, donc, par comparaison, $\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow +\infty} \text{e}^x= +\infty}$. \pause

~

$\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow-\infty} \text{e}^x = \lim_{x\longrightarrow-\infty}\frac{1}{ \text{e}^{-x}}=
\lim_{X\longrightarrow+\infty}\frac{1}{ \text{e}^{X}}=0}$\, (par inverse en utilisant le résultat précédent).

\end{exampleblock}


\end{frame}

\subsection{Tableau de variation et représentation graphique}

\begin{frame}

On construit le tableau de variation à l'aide des résultats précédents.

~

La courbe passe par les points de coordonnées $(0; 1)$ et $(1;\text{e})$.

~

La tangente à la courbe au point d'abscisse $0$ a pour coefficient directeur $\text{e}^0=1$.

~

Puisque $\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow-\infty} \text{e}^x = 0}$, la courbe représentative de la fonction exponentielle admet en $-\infty$\ une asymptote d'équation $y=0$, soit l'axe des abscisses.

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{center}

\textbf{Fonction exponentielle}

~

\begin{tikzpicture}
   \tkzTabInit[lgt=2.8,espcl=3,deltacl=0.5]{$x$ / 1 , $f'(x)=\exp x$ / 1, $f(x)=\exp x$ / 2}{$-\infty$, $+\infty$} \pause \color{blue}
	\tkzTabLine{, +, } \pause
	\tkzTabVar{-/ $0$, +/ $+\infty$} \pause
\end{tikzpicture}

\end{center}

\end{frame}


\begin{frame}

~ 

\alt<2->{
\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{fr_image2a.pdf}
\caption{\it Courbe représentative de la fonction exponentielle} \label{fig1}
\end{center}
\end{figure}}
{\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{fr_image2.pdf}
\caption{\it Courbe représentative de la fonction exponentielle} \label{fig1}
\end{center}
\end{figure}}\pause

\end{frame}

\section{Compléments}

\subsection{Calcul de limites}

\begin{frame}

\begin{block}{Théorème}

$$\lim_{x\longrightarrow +\infty} \frac{\text{e}^x}{x}=\alt<2->{\color<2>{blue}+\infty}{\ldots \ldots}\pause \pause \qquad \text{et} \qquad \lim_{x\longrightarrow -\infty} x\text{e}^x= \alt<4->{\color<4>{blue}0}{ \ldots}$$ \pause

\end{block}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{exampleblock}{Démonstration}

On considère la fonction $g$ définie sur $[0;+\infty[$ par $g(x)=\text{e}^x-\frac{x^2}{2}$\,.\pause

\color{blue}{$g'(x)=\text{e}^x-x$\, et d'après la démonstration précédente, $g'(x)> 0$. \pause

La fonction $g$ est donc croissante et de plus $g(0)=1$. \pause

On en déduit que, pour tout $x\in [0;+\infty[$,\, $g(x)> 0$, soit $\text{e}^x > \frac{x^2}{2}$ \, d'où : $\cfrac{\text{e}^x}{x} > \cfrac{x}{2}$ \,. \pause

$\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow+\infty} \cfrac{x}{2} =+\infty }$\, donc, par comparaison, \pause $\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow +\infty} \frac{\text{e}^x}{x}= +\infty}$.} \pause

~

$\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow-\infty} x\text{e}^x = \lim_{x\longrightarrow-\infty}\frac{x}{ \text{e}^{-x}}=
\lim_{X\longrightarrow+\infty}-\frac{X}{ \text{e}^{X}}=0}$\, (par inverse en utilisant le résultat précédent.)

\end{exampleblock}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{block}{Théorème}
 $$\lim_{x\longrightarrow 0} \frac{\text{e}^x-1}{x}=\alt<2->{\color<2>{blue}1}{\ldots} $$

\end{block}\pause \pause

~

\begin{exampleblock}{Démonstration}

$\cfrac{\text{e}^{0+x}-\text{e}^0}{x}$ \, est le \alt<4->{\color<4>{blue}taux d'accroissement de la fonction $\exp$ en 0.}{\ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause 

~

Sa limite quand $x$ tend vers 0 est le \alt<6->{\color<6>{blue}nombre dérivé de la fonction exponentielle en $0$ qui est $\exp 0 =1$.}{\ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots

\ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause

~

Donc $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\text{e}^x-1}{x}=}$\alt<8->{\color<8>{blue}$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\text{e}^{0+x}-\text{e}^0}{x}=1}$.}{ \ldots \ldots \ldots  \ldots \ldots \ldots  \ldots  \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause

\end{exampleblock}

\end{frame}

\subsection{Calcul de dérivées}

\begin{frame}

Nous savons que si $f$ est une fonction dérivable sur $\R$, 
$ (f(ax+b))'= a \times f'(ax+b) $. \pause

~

En appliquant ce résultat à la fonction exponentielle, (avec $a=-k$ et $b=0$), on obtient : 
$$(\exp(-kx))'=\alt<3->{\color<3>{blue}-k\exp(-kx)}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}$$ \pause \pause

Plus généralement, on montre que :

\begin{block}

si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\R$, alors la fonction $\text{e}^u$ est dérivable sur $I$ et $$(\text{e}^u)'=\alt<5->{\color<5>{blue}u'\text{e}^u }{\ldots}$$ \pause

\end{block}

\end{frame}

\begin{frame}

\textbf{Remarque} 

$\text{e}^u $ étant strictement positif, le signe de $(\text{e}^u)'$ est le même que celui de $u'$. \pause

~

Nous avons vu dans le chapitre précédent que : 
$\left(\sqrt{u}\right)'= \cfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ \,
et
$(u^n )'=nu'u^{n-1}$

On constate que ces dérivées satisfont toutes à la formule générale : $$(f(u(x)))'=u'(x)\times f'(u(x))$$ \pause

~

Exemple : $(\exp(-kx^2))'=\alt<4->{\color<4>{blue}-2kx\exp(-kx^2)}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}$\pause

\end{frame}

 \end{document}    
