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%création des ensembles de nombres
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\begin{document}

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\lfoot{\small{Bernelas-Bays}}
\rfoot{\small{Lycée Les Eucalyptus}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
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	\begin{center} \Large \textbf{\fbox{\begin{minipage}{0.6\textwidth}
  \begin{center}Terminale S (2016-2017)\\Géométrie dans l'espace\end{center} 
\end{minipage}}} 
  \end{center}

\vspace{6ex}


\section {Positions relatives de droites et de plans}

\subsection{Positions relatives de deux droites}

Deux droites de l'espace sont:

~

$\bullet$ \quad soit \textbf{coplanaires}; elles sont alors

\begin{minipage}[h]{0.4\textwidth}	


 \qquad soit sécantes, 

~

~

~

\qquad soit parallèles, et dans ce cas elles sont

~

\qquad \qquad \qquad  strictement parallèles

~

~

~

\qquad \qquad \qquad ou confondues

  \end{minipage}
   \begin{minipage}[h]{0.5\textwidth}	
	\begin{center}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{espaceim1.jpg}\\
\end{center}
\end{minipage}

~

~




\begin{minipage}[h]{0.4\textwidth}	


$\bullet$ \quad soit \textbf{non coplanaires}

  \end{minipage}
   \begin{minipage}[h]{0.5\textwidth}	
	\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{espaceim2.jpg}\\
\end{center}
\end{minipage}



\subsection{Positions relatives d'une droite et d'un plan }

Une droite et un plan de l'espace sont :

 $\bullet$ soit sécants, et l'intersection est alors un point ;

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\begin{minipage}{0.8\textwidth}
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{espaceim3.jpg}
\end{minipage}
\end{center}
\end{figure}
  
	$\bullet$ soit parallèles et dans ce cas :

\begin{minipage}[h]{0.4\textwidth}	

la droite est strictement parallèle au plan, 

~

~

~

~

ou la droite est contenue dans le plan.

  \end{minipage}
   \begin{minipage}[h]{0.5\textwidth}	
	\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{espaceim4.jpg}\\
\end{center}
\end{minipage}

\subsection {Positions relatives de deux plans }

Deux plans de l'espace sont: 

   
	
\begin{minipage}[h]{0.4\textwidth}	

$\bullet$ soit sécants, et dans ce cas l'intersection est une droite ;

  \end{minipage}
   \begin{minipage}[h]{0.5\textwidth}	
	\begin{center}
\includegraphics[width=0.6\textwidth]{espaceim5.jpg}\\
\end{center}
\end{minipage}
 
$\bullet$ soit parallèles,
et dans ce cas ils sont

\begin{minipage}[h]{0.4\textwidth}	

\qquad  strictement parallèles,

~

~

~

\qquad ou confondus.

  \end{minipage}
   \begin{minipage}[h]{0.5\textwidth}	
	\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{espaceim6.jpg}\\
\end{center}
\end{minipage}

~

~

\textbf{Exemple du cube}

~

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\begin{minipage}{0.8\textwidth}
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{espaceim7.jpg}
\end{minipage}
\end{center}
\end{figure}


\section {Parallélisme}
 
 
\subsection{Entre droites}

$\bullet$ \quad Deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles.

$\bullet$ \quad Si deux droites sont parallèles, alors tout plan qui coupe l'une coupe aussi l'autre.


\subsection{Entre plans}

$\bullet$ \quad Deux plans parallèles à un même troisième sont parallèles entre eux.

$\bullet$ \quad Si deux droites sécantes d'un plan sont parallèles à un second plan, alors les deux plans sont parallèles.

$\bullet$ \quad Un plan coupe deux plans parallèles selon des droites parallèles.

~

\textbf{Remarque}
 	
 Toutes les propriétés de géométrie plane restent valables dans un plan de l'espace.


\subsection{Entre droites et plans}

$\bullet$ \quad Si deux plans sont parallèles, alors toute droite parallèle à l'un est parallèle à l'autre.

~

$\bullet$ \quad Si une droite est parallèle à une seconde, alors elle est parallèle à tous les plans contenant cette seconde droite.

~

$\bullet$ \quad Si une droite est parallèle à deux plans sécants, alors elle est parallèle à leur droite d'intersection.

~

$\bullet$ \quad \textbf{Théorème du toit (preuve dans la suite du cours)}

\begin{minipage}[h]{0.45\textwidth}	
On considère deux plans $P$ et $P'$ ayant pour intersection la droite $\Delta$.

On considère également deux droites $d$ et $d'$, telles que :

$\bullet$ \quad $d$ est contenue dans $P$;

$\bullet$ \quad $d'$ est contenue dans $P'$;

$\bullet$ \quad $d$ et $d'$ sont parallèles entre elles.

Alors les droites $d$ et $d'$ sont également parallèles à la droite $\Delta$.
  \end{minipage}
   \begin{minipage}[h]{0.45\textwidth}	
	\begin{center}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{espaceim8.jpg}\\
\end{center}
\end{minipage}


	\section{Orthogonalité}

\subsection{Orthogonalité de droites}

\textbf{Définition}

\begin{minipage}[h]{0.45\textwidth}	
	Deux droites de l'espace sont orthogonales si leurs parallèles passant par un point quelconque sont perpendiculaires.
  \end{minipage}
   \begin{minipage}[h]{0.45\textwidth}	
	\begin{center}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{espaceim9.jpg}\\
\end{center}
\end{minipage}

~

~

\textbf{Propriété}

Si deux droites sont parallèles, alors tout droite orthogonale à l'une est orthogonale à l'autre.


\subsection{Orthogonalité d'une droite et d'un plan}

\textbf{Définition}

	

\begin{minipage}[h]{0.45\textwidth}	
Une droite $d$ est orthogonale à un plan $P$ si elle est orthogonale à toute droite de ce plan.	
  \end{minipage}
   \begin{minipage}[h]{0.45\textwidth}	
	\begin{center}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{espaceim10.jpg}\\
\end{center}
\end{minipage}

~

\textbf{Propriétés}

$\bullet$ \quad Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.

$\bullet$ \quad Si deux droites sont parallèles, tout plan orthogonal à l'une est alors orthogonal à l'autre.

 $\bullet$ \quad Si deux droites sont orthogonales à un même plan, alors elles sont parallèles.

 $\bullet$ \quad Si deux plans sont parallèles, toute droite orthogonale à l'un est orthogonale à l'autre.

$\bullet$ \quad Si deux plans sont orthogonaux à une même droite, alors ils sont parallèles.



 \section{Géométrie vectorielle dans l'espace}

\subsection{Notion de vecteur dans l'espace}

\textbf{Définition}

Un vecteur  de l'espace est défini par une direction de l'espace, un sens et une norme (longueur).

~

\textbf{Remarque}

Les vecteurs de l'espace suivent les mêmes règles de construction qu'en géométrie plane; relation de Chasles, colinéarité, etc \ldots restent valides.


\subsection{Caractérisation d'un plan} 

\textbf{Définition}

\begin{minipage}[h]{0.45\textwidth}	
Soient $A$ un point de l'espace, et deux vecteurs de l'espace $\stackrel{\rightarrow}{u}$ et $\stackrel{\rightarrow}{v}$ non colinéaires.

L'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $\stackrel{\longrightarrow}{AM}=x\stackrel{\rightarrow}{u}+y\stackrel{\rightarrow}{v}$, avec $x$ et $y$ des réels, est le plan passant par $A$ et dirigé par $\stackrel{\rightarrow}{u}$ et $\stackrel{\rightarrow}{v}$.
  \end{minipage}
   \begin{minipage}[h]{0.45\textwidth}	
	\begin{center}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{espaceim11.jpg}\\
\end{center}
\end{minipage}

~

\textbf{Remarques}
\begin{itemize}
	\item Dans ces conditions, le triplet $(A ; \stackrel{\rightarrow}{u} , \stackrel{\rightarrow}{v})$ est un repère du plan.
	
	\item Un plan est ainsi totalement déterminé par un point et deux vecteurs non colinéaires.
	
	\item Les plans  $(A ; \stackrel{\rightarrow}{u} , \stackrel{\rightarrow}{v})$ et  $(B ; \stackrel{\rightarrow}{u} , \stackrel{\rightarrow}{v})$ (caractérisés par un point et deux vecteurs) sont parallèles pour tous points $A$ et $B$.
\end{itemize}

\subsection{Vecteurs coplanaires}

\textbf{Définition}

On dit que des vecteurs sont coplanaires si et seulement si leurs représentants de même origine $A$ ont leurs extrémités dans un même plan passant par $A$.

~

\textbf{Propriétés}
\begin{itemize}
\item Trois vecteurs $\stackrel{\rightarrow}{u}$, $\stackrel{\rightarrow}{v}$ et $\stackrel{\rightarrow}{w}$ sont coplanaires s'il existe trois réels $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ non tous nuls tels que :
$$\alpha \stackrel{\rightarrow}{u}+\beta \stackrel{\rightarrow}{v}+\gamma \stackrel{\rightarrow}{w}=\stackrel{\rightarrow}{0}$$
\item Trois vecteurs $\stackrel{\rightarrow}{u}$, $\stackrel{\rightarrow}{v}$ et $\stackrel{\rightarrow}{w}$ ne sont pas coplanaires si et seulement si l'égalité $\alpha \stackrel{\rightarrow}{u}+\beta \stackrel{\rightarrow}{v}+\gamma \stackrel{\rightarrow}{w}=\stackrel{\rightarrow}{0}$ implique   $\alpha=\beta=\gamma=0$.

\end{itemize}


~

\textbf{Remarques}

\begin{itemize}
	\item Si $\stackrel{\rightarrow}{u}$ et $\stackrel{\rightarrow}{v}$ ne sont pas colinéaires, il suffit en fait de montrer qu'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que $\stackrel{\rightarrow}{w}=a\stackrel{\rightarrow}{u}+b\stackrel{\rightarrow}{v}$ pour montrer la coplanarité des trois vecteurs.
	\item Deux vecteurs sont toujours coplanaires.
\end{itemize}

~

\textbf{Théorème}

Quatre points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont coplanaires si et seulement si les vecteurs $\stackrel{\longrightarrow}{AB}$, $\stackrel{\longrightarrow}{AC}$ et $\stackrel{\longrightarrow}{AD}$ sont coplanaires.

~

\textbf{Propriété et définition}

Soit $\stackrel{\rightarrow}{u}$ un vecteur de l'espace et $\stackrel{\rightarrow}{i}$, $\stackrel{\rightarrow}{j}$ et $\stackrel{\rightarrow}{k}$ trois vecteurs non coplanaires.

Alors il existe un unique triplet de réels $x$, $y$ et $z$ tels que $\stackrel{\rightarrow}{u}=x\stackrel{\rightarrow}{i}+y\stackrel{\rightarrow}{j}+z\stackrel{\rightarrow}{k}$.

$(x; y; z)$ sont les coordonnées du vecteur $\stackrel{\rightarrow}{u}$ dans la base $(\stackrel{\rightarrow}{i}, \stackrel{\rightarrow}{j}, \stackrel{\rightarrow}{k})$.


\subsection{Application : démonstration du théorème du toit}

\textbf{Rappel du théorème}



\begin{minipage}[h]{0.45\textwidth}	
On considère deux plans $P$ et $P'$ ayant pour intersection la droite $\Delta$.

On considère également deux droites $d$ et $d'$, telles que :

$\bullet$ \quad $d$ est contenue dans $P$;

$\bullet$ \quad $d'$ est contenue dans $P'$;

$\bullet$ \quad $d$ et $d'$ sont parallèles entre elles.

Alors les droites $d$ et $d'$ sont également parallèles à la droite $\Delta$.
  \end{minipage}
   \begin{minipage}[h]{0.45\textwidth}	
	\begin{center}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{espaceim8.jpg}\\
\end{center}
\end{minipage}
	 
~

~


\textbf{Démonstration}

$d$ et $d'$ sont parallèles : on note $\stackrel{\rightarrow}{u}$ un vecteur directeur de $d$ et de $d'$, et $\stackrel{\rightarrow}{w}$ un vecteur directeur de $\Delta$.

On veut montrer que $\stackrel{\rightarrow}{u}$ et $\stackrel{\rightarrow}{w}$ sont colinéaires (et donc par suite, $d$ et $d'$ seront bien parallèles à $\Delta$).

Notons $(\stackrel{\rightarrow}{u}, \stackrel{\rightarrow}{v})$ un couple de vecteurs directeurs du plan $P$, et $(\stackrel{\rightarrow}{u}, \stackrel{\rightarrow}{v'})$ un couple de vecteurs directeurs du plan $P'$. Les vecteurs $\stackrel{\rightarrow}{u}$, $\stackrel{\rightarrow}{v}$ et $\stackrel{\rightarrow}{v'}$ sont non coplanaires, puisque les plans $P$ et $P'$ sont sécants.

La droite $\Delta$ est contenue dans $P$, donc $\stackrel{\rightarrow}{w}$, $\stackrel{\rightarrow}{u}$ et $\stackrel{\rightarrow}{v}$ sont coplanaires. Ainsi il existe des réels $x_1$ et $y_1$ tels que $\stackrel{\rightarrow}{w}=x_1 \stackrel{\rightarrow}{u}+y_1\stackrel{\rightarrow}{v}$.

De même, la droite $\Delta$ est contenue dans $P'$, donc $\stackrel{\rightarrow}{w}$, $\stackrel{\rightarrow}{u}$ et $\stackrel{\rightarrow}{v'}$ sont coplanaires. Ainsi il existe des réels $x_2$ et $y_2$ tels que $\stackrel{\rightarrow}{w}=x_2 \stackrel{\rightarrow}{u}+y_2\stackrel{\rightarrow}{v'}$.

Ainsi, $x_1 \stackrel{\rightarrow}{u}+y_1\stackrel{\rightarrow}{v}=x_2 \stackrel{\rightarrow}{u}+y_2\stackrel{\rightarrow}{v'}$.

Donc $(x_1-x_2 )\stackrel{\rightarrow}{u}=y_2\stackrel{\rightarrow}{v'}-y_1\stackrel{\rightarrow}{v}$.

Comme les vecteurs $\stackrel{\rightarrow}{u}$, $\stackrel{\rightarrow}{v}$ et $\stackrel{\rightarrow}{v'}$ ne sont pas coplanaires, on a forcément $x_1-x_2=y_1=y_2=0$.


Ainsi $\stackrel{\rightarrow}{w}=x_1\stackrel{\rightarrow}{u}$, et donc $\stackrel{\rightarrow}{u}$ et $\stackrel{\rightarrow}{w}$ sont colinéaires, ce qui prouve que $d$ et $d'$ sont bien parallèles à $\Delta$.


\section{Repérage dans l'espace}

\subsection{Repères de l'espace}

\textbf{Définition}

Si $\stackrel{\rightarrow}{i}$, $\stackrel{\rightarrow}{j}$ et $\stackrel{\rightarrow}{k}$ sont trois vecteurs non coplanaires et $O$ un point fixe, alors on munit l'espace du repère $(O;\stackrel{\rightarrow}{i}, \stackrel{\rightarrow}{j}, \stackrel{\rightarrow}{k})$.

D'après la définition des coordonnées d'un vecteur, il existe un unique triplet $(x ; y ; z)$ tel que pour tout point $M$ de l'espace, on a $\stackrel{\longrightarrow}{OM}=x\stackrel{\rightarrow}{i}+y\stackrel{\rightarrow}{j}+z\stackrel{\rightarrow}{k}$.

$x$ est l'abscisse du point $M$, $y$ est l'ordonnée du point $M$ et $z$ est la cote.

On dit que le repère est orthonormé si $\stackrel{\rightarrow}{i}$, $\stackrel{\rightarrow}{j}$ et $\stackrel{\rightarrow}{k}$ sont trois vecteurs deux à deux orthogonaux et de même norme $||\stackrel{\rightarrow}{i}||=||\stackrel{\rightarrow}{j}||=||\stackrel{\rightarrow}{k}||=1$.


\subsection{Colinéarité et alignement dans l'espace} 

\textbf{Théorèmes}

$\bullet$ \quad Deux vecteurs non nuls $\stackrel{\rightarrow}{u}(x;y;z)$ et $\stackrel{\rightarrow}{v}(x';y';z')$ sont colinéaires si et seulement si il existe un réel $k$ tel que $\stackrel{\rightarrow}{u}=k\stackrel{\rightarrow}{v}$, c'est-à-dire tel que $
\left\{
\begin{array}{ccc}
	x & = & kx' \\
	y & = & ky' \\
	z & = & kz' \\
\end{array}
\right. $

$\bullet$ \quad Si $A(x_A  ; y_A  ; z_A )$ et $B(x_B  ; y_B  ; z_B )$, alors le vecteur $\stackrel{\longrightarrow}{AB}$ a pour coordonnées $(x_B-x_A; y_B-y_A ;z_B-z_A)$.

$\bullet$ \quad Trois points $A$, $B$ et $C$ de l'espace sont alignés si et seulement si il existe un réel $k$ tel que $\stackrel{\longrightarrow}{AB}=k\stackrel{\longrightarrow}{AC}$.


\subsection{Milieu, distance} 

\textbf{Théorèmes}

$\bullet$ \quad Le milieu $I$ du segment $[AB]$ a pour coordonnées : $\left(\frac{x_A+x_B}{2}  ; \frac{y_A+y_B}{2}  ; \frac{z_A+z_B}{2}\right)$.

Dans un repère orthonormé :

$\bullet$ \quad La norme du vecteur $\stackrel{\rightarrow}{u}$ est $||\stackrel{\rightarrow}{u}||=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

$\bullet$ \quad La distance $AB$ est : $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$\, .


\section{Représentations paramétriques}

\subsection{Représentations paramétriques d'une droite}

\textbf{Théorème}

$M(x ; y ; z)$ appartient à la droite $\Delta$ passant par $A(x_A  ; y_A  ; z_A )$ et de vecteur directeur non nul $\stackrel{\rightarrow}{u}(a; b; c)$ si et seulement si il existe un réel $t$ tel que :
$$
\left\{
\begin{array}{ccc}
	x & = & at+x_A \\
	y & = & bt+y_A \\
	z & = & ct+z_A \\
\end{array}
\right. $$ 

\textbf{Preuve}

$M\in\Delta$ si et seulement si les vecteurs $\stackrel{\longrightarrow}{AM}(x-x_A; y-y_A; z-z_A )$ et $\stackrel{\rightarrow}{u}(a; b; c)$ sont colinéaires, c'est-à-dire si et seulement si il existe un réel $t$ tel que $\stackrel{\longrightarrow}{AM}=t\stackrel{\rightarrow}{u}$, ce qui équivaut à :
$$
\left\{
\begin{array}{ccc}
	x -x_A& = & at \\
	y -y_A& = & bt \\
	z -z_A& = & ct \\
\end{array}
\right. $$ 

\textbf{Définition}

~

$
\left\{
\begin{array}{ccc}
	x & = & at+x_A \\
	y & = & bt+y_A \\
	z & = & ct+z_A \\
\end{array}
\right. $  , $t\in\R$, est appelé \textbf{représentation paramétrique} de la droite $\Delta$.

~

~

\textbf{Remarques}

\begin{itemize}
	\item Il existe plusieurs représentations paramétriques pour une même droite : chaque représentation dépend du choix du point $A$ et du vecteur directeur $\stackrel{\rightarrow}{u}$.
	\item Si on restreint $t\in\R^+$, alors $\stackrel{\longrightarrow}{AM}$ et $\stackrel{\rightarrow}{u}$ sont de même sens et on obtient alors une représentation paramétrique de la demi-droite d'origine $A$ et de même sens que $\stackrel{\rightarrow}{u}$.
\end{itemize}

\subsection{Représentations paramétriques d'un plan}

\textbf{Théorème}

$M(x ; y ; z)$ appartient au plan $P$ passant par $A(x_A  ; y_A  ; z_A )$ et de vecteurs directeurs non colinéaires $\stackrel{\rightarrow}{u}(a; b; c)$ et $\stackrel{\rightarrow}{v}(a'; b'; c')$ si et seulement si il existe deux réels $t$ et $t'$ tels que :
$$
\left\{
\begin{array}{ccc}
	x & = & at+a't'+x_A \\
	y & = & bt+b't'+y_A \\
	z & = & ct+c't'+z_A \\
\end{array}
\right. $$ 

~

\textbf{Définition}

~

$
\left\{
\begin{array}{ccc}
	x & = & at+a't'+x_A \\
	y & = & bt+b't'+y_A \\
	z & = & ct+c't'+z_A \\
\end{array}
\right. $, $t\in\R$ et $t'\in\R$,  est appelé \textbf{représentation paramétrique} du plan P.

~

~

\textbf{Remarque}

Il existe plusieurs représentations paramétriques pour un même plan : chaque représentation dépend du choix du point $A$ et des vecteurs $\stackrel{\rightarrow}{u}$ et $\stackrel{\rightarrow}{v}$.



 \end{document}    
