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\parindent 0.8cm

%création des ensembles de nombres
\font\bbw=msbm10
\def\R{\hbox{\bbw R}}
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\begin{document}

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\lfoot{\small{Bernelas-Bays}}
\rfoot{\small{Lycée Les Eucalyptus}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
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	\begin{center} \Large \textbf{\fbox{\begin{minipage}{0.6\textwidth}
  \begin{center}Terminale S (2016-2017)\\Géométrie dans l'espace\end{center} 
\end{minipage}}} 
  \end{center}

\vspace{6ex}


\section {Positions relatives de droites et de plans}

\subsection{Positions relatives de deux droites}

Deux droites de l'espace sont:

~

$\bullet$ \quad soit \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots elles sont alors

\begin{minipage}[h]{0.4\textwidth}	


\qquad soit \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

~

~

~

\qquad soit \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots  et dans ce cas elles sont

~

\qquad \qquad \qquad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

~

~

~

\qquad \qquad \qquad ou \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

  \end{minipage}
   \begin{minipage}[h]{0.5\textwidth}	
	\begin{center}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{espaceim1.jpg}\\
\end{center}
\end{minipage}

~

~




\begin{minipage}[h]{0.4\textwidth}	


$\bullet$ \quad soit \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

  \end{minipage}
   \begin{minipage}[h]{0.5\textwidth}	
	\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{espaceim2.jpg}\\
\end{center}
\end{minipage}



\subsection{Positions relatives d'une droite et d'un plan }

Une droite et un plan de l'espace sont :

 $\bullet$ soit \ldots \ldots \ldots \ldots, et l'intersection est alors un \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ;

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\begin{minipage}{0.8\textwidth}
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{espaceim3.jpg}
\end{minipage}
\end{center}
\end{figure}
  
	$\bullet$ soit \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots et dans ce cas :

\begin{minipage}[h]{0.4\textwidth}	

la droite est \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

~

~

~

~

ou la droite est \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots.

  \end{minipage}
   \begin{minipage}[h]{0.5\textwidth}	
	\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{espaceim4.jpg}\\
\end{center}
\end{minipage}

\subsection {Positions relatives de deux plans }

Deux plans de l'espace sont: 

   
	
\begin{minipage}[h]{0.4\textwidth}	

$\bullet$ soit \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots, et dans ce cas l'intersection est une droite ;

  \end{minipage}
   \begin{minipage}[h]{0.5\textwidth}	
	\begin{center}
\includegraphics[width=0.6\textwidth]{espaceim5.jpg}\\
\end{center}
\end{minipage}
 
$\bullet$ soit \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots,
et dans ce cas ils sont

\begin{minipage}[h]{0.4\textwidth}	

\qquad \qquad  \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

~

~

~

\qquad \qquad  \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

  \end{minipage}
   \begin{minipage}[h]{0.5\textwidth}	
	\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{espaceim6.jpg}\\
\end{center}
\end{minipage}

~

~

\textbf{Exemple du cube}

~

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\begin{minipage}{0.8\textwidth}
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{espaceim7.jpg}
\end{minipage}
\end{center}
\end{figure}


\section {Parallélisme}
 
 
\subsection{Entre droites}

$\bullet$ \quad Deux droites parallèles à une même troisième sont  \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

$\bullet$ \quad Si deux droites sont parallèles, alors tout plan qui coupe l'une  \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots


\subsection{Entre plans}

$\bullet$ \quad Deux plans parallèles à un même troisième sont \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

$\bullet$ \quad Si deux droites sécantes d'un plan sont parallèles à un second plan, alors les deux plans sont \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

$\bullet$ \quad Un plan coupe deux plans parallèles selon \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

~

\textbf{Remarque}
 	
 Toutes les propriétés de géométrie plane \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots


\subsection{Entre droites et plans}

$\bullet$ \quad Si deux plans sont parallèles, alors toute droite parallèle à l'un est \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

~

$\bullet$ \quad Si une droite est parallèle à une seconde, alors elle est parallèle \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

~

$\bullet$ \quad Si une droite est parallèle à deux plans sécants, alors elle est parallèle \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

~

$\bullet$ \quad \textbf{Théorème du toit (preuve dans la suite du cours)}

\begin{minipage}[h]{0.45\textwidth}	
On considère deux plans $P$ et $P'$ ayant pour intersection la droite $\Delta$.

On considère également deux droites $d$ et $d'$, telles que :

$\bullet$ \quad $d$ est contenue dans $P$;

$\bullet$ \quad $d'$ est contenue dans $P'$;

$\bullet$ \quad $d$ et $d'$ sont parallèles entre elles.

Alors \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
  \end{minipage}
   \begin{minipage}[h]{0.45\textwidth}	
	\begin{center}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{espaceim8.jpg}\\
\end{center}
\end{minipage}


	\section{Orthogonalité}

\subsection{Orthogonalité de droites}

\textbf{Définition}



\begin{minipage}[h]{0.45\textwidth}	
Deux droites de l'espace sont orthogonales si leurs parallèles passant par un point quelconque sont \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots	\ldots \ldots 
  \end{minipage}
   \begin{minipage}[h]{0.45\textwidth}	
	\begin{center}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{espaceim9.jpg}\\
\end{center}
\end{minipage}

~

\textbf{Propriété}

Si deux droites sont parallèles, alors tout droite orthogonale à l'une est \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots	\ldots \ldots 


\subsection{Orthogonalité d'une droite et d'un plan}

\textbf{Définition}

	

\begin{minipage}[h]{0.45\textwidth}	
Une droite $d$ est orthogonale à un plan $P$ si elle est orthogonale à \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots	\ldots \ldots 
  \end{minipage}
   \begin{minipage}[h]{0.45\textwidth}	
	\begin{center}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{espaceim10.jpg}\\
\end{center}
\end{minipage}

~

\textbf{Propriétés}

$\bullet$ \quad Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots	

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

$\bullet$ \quad Si deux droites sont parallèles, tout plan orthogonal à l'une est alors \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots	\ldots \ldots 

 $\bullet$ \quad Si deux droites sont orthogonales à un même plan, alors elles sont \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots	\ldots

 $\bullet$ \quad Si deux plans sont parallèles, toute droite orthogonale à l'un est \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots	\ldots \ldots 

$\bullet$ \quad Si deux plans sont orthogonaux à une même droite, alors ils sont \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots	\ldots



 \section{Géométrie vectorielle dans l'espace}

\subsection{Notion de vecteur dans l'espace}

\textbf{Définition}

Un vecteur  de l'espace est défini par \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots	\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots	\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots	\ldots

~

\textbf{Remarque}

Les vecteurs de l'espace suivent les mêmes règles de construction qu'en géométrie plane; relation de Chasles, colinéarité, etc \ldots restent valides.


\subsection{Caractérisation d'un plan} 

\textbf{Définition}

\begin{minipage}[h]{0.45\textwidth}	
Soient $A$ un point de l'espace, et deux vecteurs de l'espace $\stackrel{\rightarrow}{u}$ et $\stackrel{\rightarrow}{v}$ non colinéaires.

L'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $\stackrel{\longrightarrow}{AM}=x\stackrel{\rightarrow}{u}+y\stackrel{\rightarrow}{v}$, avec $x$ et $y$ des réels, est \ldots

 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots	\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots	\ldots \ldots
  \end{minipage}
   \begin{minipage}[h]{0.45\textwidth}	
	\begin{center}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{espaceim11.jpg}\\
\end{center}
\end{minipage}

~

\textbf{Remarques}

\begin{itemize}
	\item Dans ces conditions, le triplet $(A ; \stackrel{\rightarrow}{u} , \stackrel{\rightarrow}{v})$ est un \ldots \ldots	\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
	
	\item Un plan est ainsi totalement déterminé par \ldots \ldots	\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots	\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
	
	\item Les plans  $(A ; \stackrel{\rightarrow}{u} , \stackrel{\rightarrow}{v})$ et  $(B ; \stackrel{\rightarrow}{u} , \stackrel{\rightarrow}{v})$ (caractérisés par un point et deux vecteurs) sont \ldots \ldots	\ldots \ldots \ldots 
	
	pour tous points $A$ et $B$.
\end{itemize}

\subsection{Vecteurs coplanaires}

\textbf{Définition}

On dit que des vecteurs sont coplanaires si et seulement si leurs représentants de même origine $A$ ont leurs extrémités dans un même plan passant par $A$.

~

\textbf{Propriétés}
\begin{itemize}
\item Trois vecteurs $\stackrel{\rightarrow}{u}$, $\stackrel{\rightarrow}{v}$ et $\stackrel{\rightarrow}{w}$ sont coplanaires s'il existe trois réels $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ non tous nuls tels que :
$$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$$
\item Trois vecteurs $\stackrel{\rightarrow}{u}$, $\stackrel{\rightarrow}{v}$ et $\stackrel{\rightarrow}{w}$ ne sont pas coplanaires si et seulement si l'égalité \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 

implique \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\end{itemize}

~

\textbf{Remarques}

\begin{itemize}
	\item Si $\stackrel{\rightarrow}{u}$ et $\stackrel{\rightarrow}{v}$ ne sont pas colinéaires, il suffit en fait de montrer qu'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots pour montrer la coplanarité des trois vecteurs.
	\item Deux vecteurs sont \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
\end{itemize}

~

\textbf{Théorème}

Quatre points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont coplanaires si et seulement si \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots  

~

\textbf{Propriété et définition}

Soit $\stackrel{\rightarrow}{u}$ un vecteur de l'espace et $\stackrel{\rightarrow}{i}$, $\stackrel{\rightarrow}{j}$ et $\stackrel{\rightarrow}{k}$ trois vecteurs non coplanaires.

Alors il existe un unique triplet de réels $x$, $y$ et $z$ tels que $\stackrel{\rightarrow}{u}=x\stackrel{\rightarrow}{i}+y\stackrel{\rightarrow}{j}+z\stackrel{\rightarrow}{k}$.

$(x; y; z)$ sont les \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots dans la base $(\stackrel{\rightarrow}{i}, \stackrel{\rightarrow}{j}, \stackrel{\rightarrow}{k})$.


\subsection{Application : démonstration du théorème du toit}

\textbf{Rappel du théorème}



\begin{minipage}[h]{0.45\textwidth}	
On considère deux plans $P$ et $P'$ ayant pour intersection la droite $\Delta$.

On considère également deux droites $d$ et $d'$, telles que :

$\bullet$ \quad $d$ est contenue dans $P$;

$\bullet$ \quad $d'$ est contenue dans $P'$;

$\bullet$ \quad $d$ et $d'$ sont parallèles entre elles.

Alors \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 
  \end{minipage}
   \begin{minipage}[h]{0.45\textwidth}	
	\begin{center}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{espaceim8.jpg}\\
\end{center}
\end{minipage}
	 
~

~


\textbf{Démonstration}

$d$ et $d'$ sont parallèles : on note $\stackrel{\rightarrow}{u}$ un vecteur directeur de $d$ et de $d'$, et $\stackrel{\rightarrow}{w}$ un vecteur directeur de $\Delta$.

On veut montrer que $\stackrel{\rightarrow}{u}$ et $\stackrel{\rightarrow}{w}$ sont colinéaires (et donc par suite, $d$ et $d'$ seront bien parallèles à $\Delta$).

Notons $(\stackrel{\rightarrow}{u}, \stackrel{\rightarrow}{v})$ un couple de vecteurs directeurs du plan $P$, et $(\stackrel{\rightarrow}{u}, \stackrel{\rightarrow}{v'})$ un couple de vecteurs directeurs du plan $P'$. Les vecteurs $\stackrel{\rightarrow}{u}$, $\stackrel{\rightarrow}{v}$ et $\stackrel{\rightarrow}{v'}$ sont \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

La droite $\Delta$ est contenue dans $P$, donc $\stackrel{\rightarrow}{w}$, $\stackrel{\rightarrow}{u}$ et $\stackrel{\rightarrow}{v}$ sont \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots Ainsi il existe des réels $x_1$ et $y_1$ tels que \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

De même, la droite $\Delta$ est contenue dans $P'$, donc $\stackrel{\rightarrow}{w}$, $\stackrel{\rightarrow}{u}$ et $\stackrel{\rightarrow}{v'}$ sont \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots Ainsi il existe des réels $x_2$ et $y_2$ tels que \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

Ainsi, \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

Donc \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

Comme les vecteurs $\stackrel{\rightarrow}{u}$, $\stackrel{\rightarrow}{v}$ et $\stackrel{\rightarrow}{v'}$ ne sont pas coplanaires, on a forcément \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots


Ainsi $\stackrel{\rightarrow}{w}=$\ldots \ldots, et donc \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots


\section{Repérage dans l'espace}

\subsection{Repères de l'espace}

\textbf{Définition}

Si $\stackrel{\rightarrow}{i}$, $\stackrel{\rightarrow}{j}$ et $\stackrel{\rightarrow}{k}$ sont trois vecteurs non coplanaires et $O$ un point fixe, alors on munit l'espace du repère $(O;\stackrel{\rightarrow}{i}, \stackrel{\rightarrow}{j}, \stackrel{\rightarrow}{k})$.

D'après la définition des coordonnées d'un vecteur, il existe un unique triplet $(x ; y ; z)$ tel que pour tout point $M$ de l'espace, on a $\stackrel{\longrightarrow}{OM}=x\stackrel{\rightarrow}{i}+y\stackrel{\rightarrow}{j}+z\stackrel{\rightarrow}{k}$.

$x$ est l'\ldots \ldots \ldots \ldots\ldots  du point $M$, $y$ est l'\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots du point $M$ et $z$ est la \ldots \ldots \ldots \ldots

On dit que le repère est orthonormé si $\stackrel{\rightarrow}{i}$, $\stackrel{\rightarrow}{j}$ et $\stackrel{\rightarrow}{k}$ sont trois vecteurs deux à deux orthogonaux et de même norme $||\stackrel{\rightarrow}{i}||=||\stackrel{\rightarrow}{j}||=||\stackrel{\rightarrow}{k}||=1$.


\subsection{Colinéarité et alignement dans l'espace} 

\textbf{Théorèmes}

$\bullet$ \quad Deux vecteurs non nuls $\stackrel{\rightarrow}{u}$ et $\stackrel{\rightarrow}{v}$ sont colinéaires si et seulement si il existe un réel $k$ tel que \ldots \ldots \ldots \ldots, c'est-à-dire tel que $
\left\{
\begin{array}{ccc}
	\ldots & \ldots & \ldots \\
	\ldots & \ldots & \ldots \\
	\ldots & \ldots & \ldots \\
\end{array}
\right. $

~

$\bullet$ \quad Si $A(x_A  ; y_A  ; z_A )$ et $B(x_B  ; y_B  ; z_B )$, alors le vecteur $\stackrel{\longrightarrow}{AB}$ a pour coordonnées \ldots \ldots \ldots \ldots\ldots \ldots

\ldots \ldots \ldots \ldots\ldots \ldots
 

$\bullet$ \quad Trois points $A$, $B$ et $C$ de l'espace sont alignés si et seulement si il existe un réel $k$ tel que 

\ldots \ldots \ldots \ldots


\subsection{Milieu, distance} 

\textbf{Théorèmes}

$\bullet$ \quad Le milieu $I$ du segment $[AB]$ a pour coordonnées : \ldots \ldots \ldots \ldots\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots\ldots 

Dans un repère orthonormé :

$\bullet$ \quad La norme du vecteur $\stackrel{\rightarrow}{u}$ est $||\stackrel{\rightarrow}{u}||=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$.

~

$\bullet$ \quad La distance $AB$ est donnée par : $AB=\ldots \ldots \ldots \ldots\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots\ldots \ldots$


\section{Représentations paramétriques}

\subsection{Représentations paramétriques d'une droite}

\textbf{Théorème}

$M(x ; y ; z)$ appartient à la droite $\Delta$ passant par $A(x_A  ; y_A  ; z_A )$ et de vecteur directeur non nul $\stackrel{\rightarrow}{u}(a; b; c)$ si et seulement si il existe un réel $t$ tel que :
$$
\left\{
\begin{array}{ccc}
	x & = & \ldots \ldots \ldots \\
	y & = & \ldots \ldots \ldots \\
	z & = & \ldots \ldots \ldots \\
\end{array}
\right. $$ 

\textbf{Preuve}

$M\in\Delta$ si et seulement si les vecteurs $\stackrel{\longrightarrow}{AM}(x-x_A; y-y_A; z-z_A )$ et $\stackrel{\rightarrow}{u}(a; b; c)$ sont colinéaires, c'est-à-dire si et seulement si il existe un réel $t$ tel que \ldots \ldots \ldots \ldots , ce qui équivaut à :
$$
\left\{
\begin{array}{ccc}
	\ldots & \ldots & \ldots \\
	\ldots & \ldots & \ldots \\
	\ldots & \ldots & \ldots \\
\end{array}
\right. $$ 

\textbf{Définition}

~

$
\left\{
\begin{array}{ccc}
	x & = & at+x_A \\
	y & = & bt+y_A \\
	z & = & ct+z_A \\
\end{array}
\right. $  , $t\in\R$, est appelé \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

~

~

\textbf{Remarques}

\begin{itemize}
	\item Il existe plusieurs représentations paramétriques pour une même droite : chaque représentation dépend \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
	\item Si on restreint $t\in\R^+$, alors $\stackrel{\longrightarrow}{AM}$ et $\stackrel{\rightarrow}{u}$ sont de même sens et on obtient alors une représentation paramétrique de \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
\end{itemize}

\subsection{Représentations paramétriques d'un plan}

\textbf{Théorème}

$M(x ; y ; z)$ appartient au plan $P$ passant par $A(x_A  ; y_A  ; z_A )$ et de vecteurs directeurs non colinéaires $\stackrel{\rightarrow}{u}(a; b; c)$ et $\stackrel{\rightarrow}{v}(a'; b'; c')$ si et seulement si il existe un couple de réels $t$ et $t'$ tels que :
$$
\left\{
\begin{array}{ccc}
	x & = & \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots  \\
	y & = & \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
	z & = & \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
\end{array}
\right. $$ 

~

\textbf{Définition}

~

$
\left\{
\begin{array}{ccc}
	x & = & at+a't'+x_A \\
	y & = & bt+b't'+y_A \\
	z & = & ct+c't'+z_A \\
\end{array}
\right. $, $t\in\R$ et $t'\in\R$,  est appelé \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

~

~

\textbf{Remarque}

Il existe plusieurs représentations paramétriques pour un même plan : chaque représentation dépend \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots



 \end{document}    
