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%création des ensembles de nombres
\font\bbw=msbm10
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\begin{document}

\pagestyle{fancy}
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\lfoot{\small{Bernelas - Bays - Desclaux}}
\rfoot{\small{Lycée Les Eucalyptus 2019-2020}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
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\begin{center} \Large \textbf{\fbox{Les nombres complexes}} 
  \end{center}

\vspace{2ex}


\section {Les nombres complexes}

\subsection{Définition}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
~

Il existe un ensemble, noté $\C$, d'éléments appelés \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots , tels que :
\begin{itemize}
\item  $\C$ contient l'ensemble \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ;
\item  $\C$ contient un élément $i$ tel que \ldots \ldots \ldots ;
\item  $\C$ est muni d'une addition et d'une multiplication qui suivent des règles de calcul \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ;
\item  tout nombre complexe $z$ s'écrit de manière unique sous la forme $z= \ldots \ldots $ ~ où $a$ et $b$ sont deux réels. Cette écriture est appelée la \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
\end{itemize}
\end{minipage}}
\end{center} 

\subsection{Vocabulaire}

\begin{itemize}
\item On dit que le réel $a$ est la \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots de $z$ et on la note $a=\ldots \ldots \ldots $
\item On dit que $b$ est la \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots de $z$ et on la note $b=\ldots \ldots \ldots  $
\item Tout nombre complexe de la forme $z=bi$ ($b$ réel) est appelé \ldots \ldots \ldots \ldots
\end{itemize}

\subsection{Conséquences}

\begin{itemize}
\item Dire que le nombre complexe $z$ est réel équivaut à dire que \ldots \ldots \ldots \ldots
\item Dire que le nombre complexe $z$ est imaginaire pur équivaut à dire que \ldots \ldots \ldots \ldots
\end{itemize}

\subsection{Propriétés}

\begin{itemize}
\item Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots :
$$a+bi=a'+b'i \Longleftrightarrow \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $$
\item  En particulier : $$a+bi=0 \Longleftrightarrow a= \ldots \, \text{ et } \, b= \ldots $$
\end{itemize}


\section {Opérations sur les complexes}


\subsection {Calculs}
 
Grâce aux propriétés de l'ensemble $\C$, on calcule dans $\C$ comme dans $\R$, en tenant compte de $i^2=-1$. Ainsi, en notant $z=a+bi$ et $z'=a'+b'i$, on a :

~

$\bullet$ \, somme : $z+z'= \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $.
 
 ~
 
$\bullet$	\, produit : $zz'= \ldots \ldots \ldots \ldots\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $.
 
 ~
 
$\bullet$  \, identités remarquables : elles restent valables dans $\R$, en particulier : $$(a+bi)(a-bi)=\ldots \ldots \ldots \ldots $$
 
 ~
 
$\bullet$  \, inverse : si $z\neq 0$, \quad $\cfrac{1}{z}= \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $
 
   
\subsection {Conjugué}
   
\textbf{Définition}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
Le conjugué d'un nombre complexe $z=a+bi$ est le nombre complexe \ldots \ldots \ldots 

 On le note $\overline{z}$.
\end{minipage}}
\end{center}

Exemples :

Si $z=2+6i$, alors $\overline{z}= \ldots \ldots \ldots $ ; si $z=4$ alors $\overline{z}= \ldots $ ; si $z=-2i$ alors $\overline{z}= \ldots $.

\vspace{1ex}

Conséquence :
Si $z=a+bi$, alors $z+\overline{z}=2a$ \, et \, $z-\overline{z}=2bi$ , d'où : $$z+\overline{z}= \ldots \ldots \ldots  \qquad \text{et} \qquad z-\overline{z}= \ldots \ldots \ldots $$

Il en résulte que :

-  "Le nombre complexe $z$ est réel" équivaut à "$z= \ldots $ \, ".

- "Le nombre complexe $z$ est imaginaire pur" équivaut à "$z+\overline{z}= \ldots $ \, ".

\vspace{2ex}

\textbf{Propriétés}

$\overline{z+z'}= \ldots \ldots \ldots  $
\qquad \qquad
$\overline{zz'}= \ldots \ldots \ldots $
\qquad \qquad
$\overline{z^n}= \ldots \ldots $ \, pour tout naturel $n$.

~

si $z'\neq 0$ : $\overline{\left(\cfrac{1}{z'}\right)}= \ldots \ldots $ \, et \, $\overline{\left(\cfrac{z}{z'}\right)}= \ldots \ldots $

~

\textbf{Remarque}

$\overline{\overline{z}}= \ldots $
\qquad \qquad
$z\overline{z}= \ldots \ldots \ldots $

\section {Equation du second degré à coefficients réels}

\textbf{Théorème}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
~

Dans $\C$, l'équation $az^2+bz+c=0$, $a\neq 0$, $a$, $b$, $c$ réels, a toujours des solutions.

~

On note $\Delta$ le discriminant de cette équation : $\Delta=b^2-4ac$.

~

$\bullet$ \, si $\Delta>0$, l'équation a deux solutions réelles : $z_1= \ldots \ldots \ldots \ldots $\, et $z_2= \ldots \ldots \ldots \ldots $

~

$\bullet$ \, si $\Delta=0$, l'équation a une solution double réelle : $z_1=z_2= \ldots \ldots $

~

$\bullet$ \, si $\Delta<0$, l'équation a deux solutions complexes conjuguées : 

$$z_1= \ldots \ldots \ldots \ldots \, \qquad \text{ et } z_2= \ldots \ldots \ldots \ldots \, \qquad \text{ avec } z_2= \ldots \, $$

\vspace{1ex}			
\end{minipage}}
\end{center}

~

\textbf{Conséquence}

Dans $\C$, le trinôme $az^2+bz+c$ se factorise toujours sous la forme : $az^2+bz+c=a(z-z_1)(z-z_2)$.

~

\textbf{Démonstration}

On écrit le trinôme $az^2+bz+c$ sous la forme canonique :

\vspace{1ex}

\qquad \qquad $az^2+bz+c= \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $

~

Puisque $a\neq 0$, résoudre dans $\C$ l'équation $az^2+bz+c=0$, c'est résoudre l'équation

$$ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $$

~

$\bullet$ \, si $\Delta>0$ ou si $\Delta=0$, on sait que l'équation a deux solutions dans $\R$ et deux seulement (distinctes ou égales). Elle a donc deux solutions complexes et deux seulement puisque $\R$ est inclus dans $\C$.

~

$\bullet$ \, si $\Delta<0$, alors $\sqrt{-\Delta}$ existe et avec $i^2=-1$, on a \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \, Donc :

$$ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots  $$

~

Ainsi l'équation a deux solutions :

$$z_1= \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \quad \text{ et } z_2= \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \quad \text{ avec } z_2=\overline{z_1}.$$

~
 
 \textbf{Exemple :}
 
Résoudre dans $\C$ l'équation : $4z^2-12z+153=0$
 
 ~
 
 On calcule le discriminant : $\Delta= \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $ 
 
 ~
 
 L'équation admet deux solutions complexes conjuguées :
 
 $$z_1= \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \, \text{ et } z_2= \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $$
 
 $$S= \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $$


\section {Représentation géométrique d'un nombre complexe}


\subsection{Définition }

Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct $(O; \stackrel{\rightarrow}{u}, \stackrel{\rightarrow}{v})$ :

~

$\bullet$ \, à tout complexe $z=a+bi$ avec $a$ et $b$ réels, on associe le point $M(a; b)$ et le  vecteur $\stackrel{\rightarrow}{w}(a; b)$ appelés \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots et \, \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots de $z$.

~

$\bullet$ \, à tout point $M(a; b)$ et à tout vecteur $\stackrel{\rightarrow}{w}(a; b)$ on associe le nombre complexe $z=a+bi$, appelé \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \, et \, \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

~

Le plan est alors appelé plan complexe.

~


\begin{figure}[htbp]
\begin{minipage}{0.9\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{comp_image1.pdf}
\end{center}
\end{minipage}
\end{figure}

\subsection{Remarques}

$\bullet$ \quad  Le point image d'un réel appartient à l' \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \, Dans le plan complexe, l'axe des abscisses est appelé axe \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

$\bullet$ \quad Le point image d'un imaginaire pur appartient à l' \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \, Dans le plan complexe, l'axe des ordonnées est appelé axe des \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\subsection{Propriétés}

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O; \stackrel{\rightarrow}{u}, \stackrel{\rightarrow}{v})$.

On considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$. Alors :

~

$\bullet$ \quad Le vecteur $\stackrel{\longrightarrow}{AB}$ a pour affixe \ldots \ldots \ldots \ldots

~

$\bullet$ \quad Le milieu $I$ du segment $[AB]$ a pour affixe \, \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

~

On considère les vecteurs $\stackrel{\rightarrow}{w}$ et $\stackrel{\rightarrow}{w'}$ d'affixes respectives $z$ et $z'$, et le réel $\lambda$.

$\bullet$ \quad $\stackrel{\rightarrow}{w}+ \stackrel{\rightarrow}{w'}$ a pour affixe \ldots \ldots \ldots 

$\bullet$ \quad $\lambda \stackrel{\rightarrow}{w}$ a pour affixe \ldots \ldots \ldots 

~

\textbf{Preuve :}

Il s'agit simplement d'une autre écriture des propriétés déjà connues pour les coordonnées.

\section{Forme trigonométrique d'un nombre complexe}

	\subsection{Module et argument}
	
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O; \stackrel{\rightarrow}{u}, \stackrel{\rightarrow}{v})$.

\vspace{1ex}

\textbf{Définition}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
Soit $z$ un nombre complexe et $M$ son image dans le plan complexe. 

Le \textbf{module} de $z$, noté $|z |$, est \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 

Si $z$ est non nul, on appelle \textbf{argument} de $z$, noté $\arg(z)$, toute mesure en radian de 

\vspace{1ex}

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\vspace{1ex}
\end{minipage}}
\end{center}

~

\begin{figure}[htbp]
\begin{minipage}{0.9\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.6\textwidth]{comp_image2.pdf}
\end{center}
\end{minipage}
\end{figure}

~

\textbf{Exemples}

$|i|= \ldots $ \, et $\arg(i)= \ldots $ \, $(2\pi)$

$|-3|= \ldots $ \, et $\arg(-3)= \ldots $ \, $(2\pi)$

~

\textbf{Propriétés}

$\bullet$ \quad Pour tout nombre complexe $z$, $z\overline{z}= \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $

\vspace{2ex}

$\bullet$ \quad  Pour tout nombre complexe $z$,  $|-z|= \ldots \ldots \ldots \ldots $ 

\vspace{2ex}

$\bullet$ \quad Pour tout nombre complexe non nul $z$ : $$\arg(-z)= \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $$
$$\arg(\overline{z})= \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $$

$\bullet$ \quad $z$ est un réel, $(z\neq 0 )$, si et seulement si \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\vspace{2ex}

$\bullet$ \quad $z$ est un imaginaire pur, $(z\neq 0 )$, si et seulement si \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\subsection{Forme trigonométrique}

\textbf{Définition}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
\vspace{1ex}
Tout nombre complexe non nul s'écrit sous la forme suivante, dite \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots :
$$z=r(\cos\theta +i \sin \theta) \qquad \text{ avec } \quad r=|z| \, \text{ et } \, \theta=\arg(z) \quad (2\pi)$$ 
\end{minipage}}
\end{center}

\subsection{Passage d'une forme à l'autre}

$\bullet$ \quad  Si la forme algébrique de $z$ est $z=a+bi$, avec $z\neq 0$, alors sa forme trigonométrique est :

\vspace{1ex}
\noindent $z=r(\cos \theta +i \sin \theta)$ \, avec $r= \ldots \ldots \ldots  $ \, et $\theta$ tel que $\cos \theta= \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$\, et $\sin \theta = \ldots \ldots \ldots \ldots$

\vspace{2ex}

$\bullet$ \quad  Si la forme trigonométrique de $z$ est $z=r(\cos \theta +i \sin \theta)$, alors sa forme algébrique est :
$z=a+bi$\, avec $a= \ldots \ldots \ldots $ et $b= \ldots \ldots \ldots $

\subsection{Propriétés}

On considère $z\neq 0$ et $z'\neq0$.

\vspace{2ex}

$\bullet$ \quad Produit

Module : $|z\times z'|= \ldots \ldots \ldots \ldots  $ \qquad \qquad ~ Argument : $\arg(zz')=  \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \quad (2\pi)$

\vspace{2ex}

$\bullet$ \quad Puissance

Module : $|z^n|= \ldots \, $ \quad pour $ n\in \Z $ \qquad \qquad Argument : $\arg(z^n)= \ldots \ldots \ldots \ldots  \quad (2\pi)$

\vspace{2ex}

$\bullet$ \quad Inverse

Module : $\left|\cfrac{1}{z}\right|= \ldots $ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad ~ Argument : $\arg(\cfrac{1}{z})= \ldots \ldots \ldots \quad (2\pi)$

\vspace{2ex}

$\bullet$ \quad Quotient

Module : $\left|\cfrac{z}{z'}\right|= \ldots $ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad Argument : $\arg(\cfrac{z}{z'})= \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \quad (2\pi)$

\vspace{2ex}

$\bullet$ \quad Somme 

Inégalité triangulaire : $|z+z'|\leq \ldots \ldots \ldots \ldots $

\vspace{2ex}

$\bullet$ \quad Géométrie

Soient $A$, $B$ et $C$ trois points distincts du plan complexe, d'affixes respectives $z_A$, $z_B$ et $z_C$.

$$|z_B-z_A|=AB \, \text{ et } \, arg(z_B-z_A)=(\stackrel{\rightarrow}{u} ; \stackrel{\longrightarrow}{AB} ) \quad (2\pi)$$

$$\left|\frac{z_B-z_C}{z_A-z_C}\right|=\frac{CB}{CA} \, \text{ et } \, arg\left(\frac{z_B-z_C}{z_A-z_C}\right)=(\stackrel{\longrightarrow}{CA} ; \stackrel{\longrightarrow}{CB} ) \quad (2\pi)$$

~

Par conséquent, les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 

~

et les droites $(BC)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires si et seulement si \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

\section{Notation exponentielle et applications.}

\subsection{Notation exponentielle}

Tout nombre complexe de module $1$ s'écrit $z=\cos\theta + i \sin \theta$ avec $\theta=\arg(z)$\, $(2\pi)$.

~

On note $f$ la fonction qui à tout réel $\theta$ associe le nombre complexe $f(\theta)=\cos\theta + i \sin \theta$. 

On se propose de démontrer que pour tous réels $\theta$ et $\theta'$, $f(\theta+\theta')=f(\theta)\times f(\theta')$ et $f(0)=1$.

~

$f(\theta)\times f(\theta')= \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots  $

~

\qquad \qquad \quad $= \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $

~

Soit : $f(\theta)\times f(\theta')= \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $

~

De plus, $f(0)=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $

~

Ainsi, comme la fonction exponentielle, $f$ « transforme les sommes en produits » et $f(0)=1$.

~

D'où l'idée de poser \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \, L'égalité $f(\theta+\theta')=f(\theta)\times f(\theta')$ démontrée s'écrit 

~

alors \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots  , ce qui justifie cette notation exponentielle.

~

\textbf{Définition}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
Le complexe de module $1$ dont un argument est $\theta$\, est noté $\text{e}^{i\theta}$\, avec :
$$\text{e}^{i\theta}= \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $$
\end{minipage}}
\end{center}

~

\textbf{Exemples}

$\text{e}^{i\pi}= \ldots $ \qquad; \quad $\text{e}^{i\frac{\pi}{2}}= \ldots $ 

~

\textbf{Notation exponentielle de la forme trigonométrique}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
Tout nombre complexe non nul de module $r$ et d'argument $\theta$ s'écrit sous la forme suivante, dite \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots  :
$$z=r\text{e}^{i\theta}\quad \text{ avec } \quad r=|z| \quad \text{ et } \theta =\arg(z) \quad (2\pi)$$
\end{minipage}}
\end{center}


\subsection{Propriétés}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
Pour tout réels $\theta$ et $\theta'$ :
$$\text{e}^{-i\theta}= \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots  $$
$$\text{e}^{i\theta}\times \text{e}^{i\theta'}= \ldots \ldots \ldots  \qquad \qquad \left(\text{e}^{i\theta} \right)^n= \ldots \ldots  $$
$$\frac{1}{\text{e}^{i\theta}}= \ldots \ldots \ldots \ldots \qquad \qquad \frac{\text{e}^{i\theta}}{ \text{e}^{i\theta'}}= \ldots \ldots \ldots  $$
\end{minipage}}
\end{center}
	
\subsection{Applications en trigonométrie}

A l'aide de ces formules, on retrouve les formules d'addition et de duplication vues en Première en écrivant les membres de gauche et de droite sous forme trigonométrique :

~

Par exemple :

$\text{e}^{i(\theta -\theta')}=\text{e}^{i\theta}\times \text{e}^{-i\theta'}$ \, s'écrit :

\vspace{1ex}
\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 

\vspace{1ex}
\qquad \qquad \qquad $=$ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 

\vspace{1ex}
\qquad \qquad \qquad $=$ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

~

Ainsi on retrouve bien :

\vspace{1ex}
$\cos (\theta-\theta')= \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $ \, et \, $\sin(\theta-\theta')= \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $

~

Autre exemple :

$\text{e}^{i(\theta +\theta)}=\text{e}^{2i\theta}=\text{e}^{i\theta}\times \text{e}^{i\theta}$ \, s'écrit : 

\vspace{1ex}
\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 

\vspace{1ex}
\qquad \qquad \qquad $=$ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots  \ldots

\vspace{1ex}
\qquad \qquad \qquad $=$ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

~

Ainsi on retrouve bien :

\vspace{1ex}
$\cos (2\theta)=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $ \, et \, $\sin(2\theta)=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $


 \end{document}    
